11.2 平面的基本事实与推论(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“平面的基本事实与推论”核心知识点，系统梳理平面的三个基本事实（公理）及三个推论，明确点、线、面位置关系的符号表示方法，为立体几何入门构建基础学习支架，承接平面概念引入，为后续空间位置关系学习奠定逻辑基础。 该资料以生活实例（如门固定、桌面平整检查）引入问题培养数学抽象，通过表格整合文字、图形、符号语言发展直观想象，题型通法总结（如反证法证共面）提升逻辑推理。课中助力教师清晰授课，课后跟踪训练与习题帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

11.2　平面的基本事实与推论 1.借助日常生活中的实物，理解平面的基本事实与推论（数学抽象）. 2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（直观想象）. 3.能运用平面的基本事实及推论去解决有关问题（逻辑推理）. 　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整. 【问题】　你知道如此做的原理吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　平面的基本事实与推论 1.平面的三个基本事实 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事 实1 经过　　　　　的3个点，　　　一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据； ②判定点线共面 基本事 实2 如果一条直线上的　　 　 　　在一个平面内，那么这条直线在这个　　　　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内 基本事 实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　　　 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上 2.基本事实的推论 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面（如图①）. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图②）. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图③）. 【想一想】 1.经过一条直线和一个点一定能确定一个平面，对吗？ 2.过不共线的4点，有且只有一个平面，对吗？ 1.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（　　） A.P∈a，a∥α　　　　　B.a∩α＝P C.P∈a，P∉α D.P∈a，a⊂α 2.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝　　　. 题型一｜点、线共面问题 【例1】　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 尝试解答 通性通法 证明点、线共面问题的常用方法 （1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； （3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”. 【跟踪训练】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心.求证：S，P，O，Q四点共面. 题型二｜点共线、线共点问题 【例2】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点（相交于一点）. 尝试解答 通性通法 1.证明三点共线的方法 （1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在这两个平面的交线上； （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 2.证明三线共点的步骤 （1）首先说明两条直线共面且交于一点； （2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交； （3）得到交线也过此点，从而得到三线共点. 【跟踪训练】 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P，Q，R三点共线. 题型三｜两平面的交线问题 【例3】　如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线，并说明画法. （1）过点G及直线AC； （2）过三点E，F，D1. 尝试解答 通性通法 　　基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 【跟踪训练】 　如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是梯形ABDC所在平面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线. 1.下图中正确表示两个相交平面的是（　　） 2.下列说法中正确的是（　　） A.相交直线上的三个点可以确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线必在同一平面内 3.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是　　　　. 4.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.求证：a，b，c三条直线必过同一点. 提示：完成课后作业　第十一章　11.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2　平面的基本事实与推论 【基础落实】 新知初探 知识点 1.不在一条直线上　有且只有　两个点　平面内　公共直线 想一想 1.提示：不对，若点在直线上，则不能确定一个平面. 2.提示：不对.过不共线的4点不一定存在一个平面，如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点便无法作出一个平面. 自我诊断 1.C　由于点P在平面α外，所以有P∉α，又直线a经过点P，所以P∈a.故选C. 2.C　 解析：∵α∩β＝l，直线AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴直线AB∩β＝C. 【典例研析】 【例1】　证明：法一（纳入平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α. 因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（辅助平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 跟踪训练 证明：如图，连接SP，SQ，并延长分别交AD，BC于点M，N，连接MN. 因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心， 所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN. 由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN， 所以MN⊂平面SMN，所以O∈平面SMN. 又P∈SM，Q∈SN，SM⊂平面SMN，SN⊂平面SMN， 所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN， 所以S，P，O，Q四点共面. 【例2】　证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰. 所以AB，CD必定相交于一点. 设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β＝l， 所以M∈l. 即AB，CD，l共点（相交于一点）. 跟踪训练 证明：法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二　∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. 又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R三点共线. 【例3】　解：（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N，连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线.如图1所示. （2）画法：连接EF并延长交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q，连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N，连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图2所示. 跟踪训练 解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 则点S在两平面的交线上， 由于AB∥CD，AB＞CD，∴分别延长AC和BD交于点E，如图所示， ∵E∈AC，AC⊂平面SAC， ∴E∈平面SAC. 同理，E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE， 则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线. 随堂检测 1.D　A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画；D中交线及实、虚线均正确.故选D. 2.D　A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个.B错误，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，不一定确定一个平面.C错误，如图①，空间四边形ABCD1，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形.D正确，如图②，因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，因为b∥c，所以直线b，c确定一个平面β.又l⊂α，l⊂β，由“经过两条相交直线有且只有一个平面”推出α与β重合，推出a，b，c，l共面. 3.1或4　 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面. 4.证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ. 由于直线a和b不平行， ∴a，b必相交. 设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P. ∴a，b，c三条直线相交于同一点. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $