11.1.3 多面体与棱柱-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦多面体与棱柱，系统讲解多面体定义、相关概念及棱柱的定义、结构特征、分类与计算，通过从多面体基础概念到棱柱专项知识的递进，构建清晰的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“逐点理清”模式，结合“多维理解”细化概念、“微点练明”即时巩固，通过正方体切割、长方体表面爬行等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理转化，提升空间观念与运算能力。教师可依托结构化内容高效教学，学生能系统掌握知识并应用于实际问题。

多面体与棱柱 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 11.1.3 课时目标 1.能根据棱柱的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法. 2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和进行相关计算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 多面体　 逐点清(二) 棱　柱　 逐点清(三) 棱柱中的相关计算　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　多面体 01 1.多面体的定义及相关概念 (1)定义 一般地，由若干个_____________所围成的封闭几何体称为多面体. 多维理解 平面多边形 (2)相关概念 名称 概念 面 围成多面体的各个_________ 棱 相邻两个面的_________ 顶点 棱与棱的_________ 面对角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段中，除去多面体的_______的线段 体对角线 连接不在________上两个顶点的线段 截面 一个几何体和一个平面相交所得到的_________ (包含它的内部) 表面积(全面积) 多面体所有面的面积之和 多边形 公共边 公共点 棱 同一面 平面图形 2.凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体. 1.(多选)关于如图所示的几何体的说法正确的是 (　　) A.该几何体是一个多面体 B.该几何体有9条棱，5个顶点 C.该几何体有7个面 D.该几何体有6个面 √ 微点练明 解析：在A中，由多面体的概念知该几何体是一个多面体，故A正确；在B中，由多面体的概念知该几何体有9条棱，5个顶点，故B正确；在C中，由多面体的概念知该几何体有6个面，故C错误，D正确. √ √ 2.下列几何体不是多面体的是 (　　) √ 3.一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为16π，则它的棱数为 (　　) A.24 B.22 C.18 D.16 √ 解析：∵凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为16π，故每个面的内角和可看成16π÷8=2π，故每个面应为四边形.由于两个面共用一条棱，故它的棱数为=16. 4.如图，截去正方体的一角变成的多面体有_________条棱.  12 解析：截去正方体的一角变成的多面体与原正方体相比少了一个顶点，多了一个面，棱数不变. 逐点清(二)　棱　柱 02 1.棱柱的定义及相关概念 多维理解 定义 图形及表示 相关概念 有两个面互相_____，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是_____________ 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 或棱柱AD' 底面(底)：两个互相_____的面；侧面：其他各面；侧棱：两个侧面的_______；高：过棱柱一个底面上的________________，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高 棱柱_____________________称为棱柱的侧面积. 平行 平行四边形 平行 公共边 任意一个顶点 所有侧面的面积之和 2.棱柱的分类 (1)特殊几何体 直棱柱：棱柱的_______垂直于底面； 斜棱柱：不是直棱柱的棱柱； 正棱柱：底面是__________的_________. (2)按底面的形状分类 三棱柱：底面是______；四棱柱：底面是_______；…；平行六面体：底面是_____________；直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体. 侧棱 正多边形 直棱柱 三角形 四边形 平行四边形 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的底面互相平行.(　　) (2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.(　　) (3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.(　　) 微点练明 √ √ × 2.下列命题中，正确的是 (　　) A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 √ 解析：由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下： 图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但相邻两个四边形公共边不都相互平行，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的几何体不是正方体，C错；根据棱柱的定义知D正确. 3.设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这四个集合之间的关系是 (　　) A.P⫋N⫋M⫋Q B.Q⫋M⫋N⫋P C.P⫋M⫋N⫋Q D.Q⫋N⫋M⫋P √ 解析：根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⫋ {正四棱柱} ⫋{长方体}⫋ {直四棱柱}，故选B. 4.已知如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么? 解：长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗?若是，请指出它们的底面. 解：用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1. 逐点清(三)　棱柱中的相关计算 03 [典例]　(1)一个直平行六面体的侧棱长是9，底面相邻的两边的长都是6，夹角是60°，则此直平行六面体的体对角线长是 (　　) A.3 　B.3 C.3或3 　D. 多维理解 解析：直平行六面体的体对角线有4条，共2对，分别相等，底面菱形的对角线长分别是6和6，由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是=3或=3. √ (2)一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 解析：如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，令体对角线A1C=15，B1D=9，∴a2+52=152，b2+52=92，∴a2=200，b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2=+===64， ∴AB=8.∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160. |思|维|建|模| 　　求解棱柱问题的常用解题策略 　　求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形.立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解.若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面两边BC∶AB=7∶24，对角面ACC1A1的面积是50.求该长方体的侧面积. 微点练明 解：如图，设BC=7a，AB=24a，AA1=b， ∴AC==25a， ∴对角面ACC1A1的面积为S=AC·AA1=25ab=50， 解得ab=2，∴长方体的侧面积S=2×24ab+2×7ab=62ab=124. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3，4，5，现有一只小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值. 解：把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示，利用勾股定理可得AC1的长分别为. 由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列图形中，能折成三棱柱的是 (　　) √ √ √ 解析：C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是 (　　) A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 √ √ 解析：A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是 (　　) A.8 B.16 C.8+12 D.8+16 √ 解析：由底面边长为2，体对角线长为4，知该直棱柱的高为2，所以表面积为2×2×2+2×2×4=8+16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.长方体交于一个顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线的长为(　　) A.2 B.3 C.6 D. √ 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，因为长方体的三个面的面积分别是，令解得所以长方体的体对角线长为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为 (　　) A.三角形　　　　　 B.四边形 C.五边形 D.六边形 √ √ 解析：如图，截面的形状只可能为四边形和六边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为 (　　) A.2 B.2 C.4 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开， 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了 (　　) A.36 B.72 C.108 D.240 √ 解析：由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1.边长为3的正方体表面积为6×3×3=54，每个小正方体的表面积为6×1×1=6，27个小正方体的表面积之和为6×27=162，162-54=108，所以表面积之和比原来增加了108. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 (　　) A.(1)(2) 　B.(2)(3) 　 C.(3)(4) 　D.(1)(4) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：(1)图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是(2)(3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线__________条.  10 解析：由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5=10(条). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为____________.  解析：该三棱柱的表面积为2×+3×(4×2)=24+2. 24+2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图(1)所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为____________.  (2+)a2 解析：由已知得正方体的棱长为a，则正方体的表面积为3a2，新几何体的表面积比原来多了两个阴影部分的面积，少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面积为3a2+2×a2-2×a2=(2+)a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有__________条.  24 解析：由题可知，如图，正方体每个面中有4条棱，所以该阿基米德多面体的棱共有4×6=24条. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要__________m2铁板(精确到0.1 m2).  解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长为0.46 m.所以S侧=ch=6×0.46×1.6=4.416(m2).所以S表=S侧+S上底+S下底=4.416+2××0.462×6≈5.6(m2).故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板. 5.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)已知一个直四棱柱的底面是边长为5 cm的正方形，侧棱长都是8 cm，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面?几个顶点?几条棱?(3分) 解：由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状?面积是多少?(7分) 解：将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8 cm，长为直四棱柱的底面边长的四倍，即5×4 =20(cm)，所以长为20 cm，所以侧面展开图面积为8×20=160(cm2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中. (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，对吗?(5分) 解：不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形. (2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，对吗?(5分) 解：对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $