11.1.3 多面体与棱柱-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦多面体与棱柱，系统讲解多面体定义、性质及棱柱的概念、分类、表面积计算等核心知识。通过日常生活包装盒情境导入，结合思考问题引导学生从具体实例抽象出多面体充要条件，再过渡到棱柱特征，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象、数学抽象与数学运算核心素养，如通过正方体礼品盒展开图、蚂蚁爬行最短路径等实例，培养空间观念。采用概念辨析、分层训练及课堂小结梳理知识，学生提升空间想象与解题能力，教师可借助丰富例题与分层作业优化教学效率。

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.3　多面体与棱柱 学习任务 1．能够通过棱柱的直观图理解棱柱，掌握棱柱的概念和基本特征．(直观想象) 2．能够运用棱柱的基本概念体会图形的基本关系．(数学抽象) 3．了解棱柱的表面积公式和计算方法．(数学运算) 11.1.3　多面体与棱柱 日常生活中的很多物体(如各式各样的包装盒)都可以抽象成多面体． 必备知识·情境导学探新知 思考：(1)你能总结出一个几何体是多面体的充要条件吗？ (2)你能对常见几何体进行合理分类吗？ 11.1.3　多面体与棱柱 知识点1　多面体及有关概念 1．定义 由若干个__________所围成的封闭几何体称为多面体． 平面多边形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 2．相关概念(如图所示) (1)多面体的面、棱与顶点 围成多面体的__________称为多面体的面，相邻两个面的______称为多面体的棱，棱与棱的______称为多面体的顶点． 各个多边形 公共边 公共点 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (2)多面体的面对角线与体对角线 一个多面体中，连接______上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接__________上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线． (3)多面体的截面与表面积 一个几何体和一个平面相交所得到的________(包含它的____)，称为这个几何体的一个截面，如图中多面体的一个截面ACE． 多面体所有面的________称为多面体的表面积(或全面积)． 同一面 不在同一面 平面图形 内部 面积之和 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 3．凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的______，则称这样的多面体为凸多面体． 4．正多面体 各个面都是______________且过各顶点的棱数都____的多面体一般称为正多面体． 同一侧 全等的正多边形 相等 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 思考1．(1)观察下面物体，你能说出各组图形的共同点吗？ (2)观察下列多面体，有什么共同特点？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [提示]　(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成． (2)有两个面相互平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 思考2．(1)长方体、正方体是多面体吗？ (2)最简单的多面体由几个面所围成？ [提示]　(1)是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义． (2)4个． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 知识点2　棱柱的有关概念及分类 1．棱柱 (1)定义 如果一个多面体有两个面________，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是__________，这样的多面体称为棱柱． 互相平行 平行四边形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (2)图示及相关概念 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的____(底面水平放置时，分别称为______、______)，其他各面称为棱柱的____，相邻两个侧面的公共边称为棱柱的____． 底面 上底面 下底面 侧面 侧棱 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (3)棱柱的表示 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AD′． (4)棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的____所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 垂线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 2．棱柱的分类 棱柱 特别地，底面是正多边形的直棱柱称为_______． 正棱柱 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 3．几种特殊的四棱柱 (1)平行六面体：底面是__________的棱柱称为平行六面体． (2)直平行六面体：侧棱与底面____的平行六面体称为直平行六面体． (3)长方体：底面是____的直平行六面体称为长方体． 平行四边形 垂直 矩形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (4)正方体：棱长都相等的______称为正方体． 它们之间的关系如下： 长方体 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱可以看作由平面图形平移得到． (　　) (2)棱柱的的每个面都是平行四边形． (　　) (3)棱柱的两底面是全等的正多边形．　 (　　) (4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．　 (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [提示]　(1)棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体． (2)棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，如三棱柱，五棱柱等． (3)棱柱两底面全等，但不一定是正多边形． (4)有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 2．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 D　[对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；对于D，棱柱中至少有两个面互相平行，故正确．] 3．下列集合间关系错误的是(　　) A．{正方体}{长方体} B．{长方体}{直平行六面体} C．{正四棱柱}{长方体} D．{直平行六面体}{正四棱柱} √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 D　[∵正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，∴{正方体}{长方体}，A正确；∵底面是矩形的直平行六面体是长方体，∴{长方体}{直平行六面体}，B正确；∵底面是正方形的长方体为正四棱柱，∴{正四棱柱}{长方体}，C正确；∵正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，∴D错误．故选D．] 4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，每个矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2． 72　[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．] 72 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 类型1　棱柱的有关概念 【例1】　(1)(多选)下列命题中不正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 关键能力·合作探究释疑难 √ √ √ 11.1.3　多面体与棱柱 (2)下列说法： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (1)ABC　(2)A　[(1)柱体是有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形的几何体．所以A，B选项错误．对于C选项，如果一个棱柱有两个平行的侧面是矩形，这个棱柱可能是斜棱柱，错误．对于D选项，根据直棱柱的定义可知正确． (2)①不正确，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；②不正确，当底面是菱形时就不是正方体；③不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；④正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推断此时的平行六面体是直平行六面体．] 发现规律　判断一个几何体是棱柱的方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是______；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否____． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 提醒：判断一个说法错误时，可用举反例的方法． 四边形 平行 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [跟进训练] 1．如图，下列几何体中为棱柱的是_________(填写序号)． (1)(3)(5) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (1)(3)(5)　[棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．观察图形，满足棱柱概念的几何体有(1)(3)(5)．] 类型2　多面体的表面展开图 【例2】　(1)某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　) A　　 　　B　　 　 C　　　　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (2)下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　) √ A　　 　 B　　 　 C 　 　 　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (1)A　(2)C　[(1)两个 不能并列相邻，B、D错误；两个 不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定． (2)将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．] 反思领悟　多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [跟进训练] 2．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是　(　　) √ A．定 B．有 C．收 D．获 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 B　[这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．] 类型3　多面体的计算问题 【例3】　【链接教材P67例1、P69例3】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (1)一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发，沿表面爬行到另外一点B1，求蚂蚁爬行的最短路程； (2)一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发，沿表面经过线段A1B1上一点爬行到另外一点C1，求蚂蚁爬行的最短路程． [思路引导]　将长方体展开，利用两点之间线段最短求解最值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [解]　(1)A，B1在长方体的同一个面内，由平面几何知识知，蚂蚁爬行的最短路线为线段AB1，其长度为AB1＝＝． (2)沿C1D1剪开，使点A，B，A1，B1，C1，D1在一个平面内，沿直线段AC1爬行路程最短，可求得直线段AC1的长为＝＝4． [母题探究] (变条件)将例题条件改为“一只蚂蚁从点A出发，沿表面爬行到点C1”，求蚂蚁爬行的最短路程． [解]　将长方体沿一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有三种情况： (1)沿C1D1剪开，AC1＝4； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 (2)若沿AD剪开，使点A，D，A1，D1，C1，B1在一个平面内，可求得AC1＝＝＝3； (3)若沿CC1剪开，使点A，A1，B，B1，C，C1在一个平面内， 可求得AC1＝＝，相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为． 【教材原题·P67例1、P69例3】 例1　如图11-1-23所示的多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形． (1)写出AB所在直线与△EBC所在平面的位置关系，并用符号表示； (2)求这个多面体的表面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [解]　(1)不难看出，AB所在直线与△EBC所在平面有且只有一个公共点，即 AB∩平面EBC＝B． (2)一个边长为2的等边三角形，其高为，面积为×2×＝，又因为给定多面体是一个八面体，因此表面积为8． 例3　如图11-1-27是棱长都为1的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，且∠DAB＝60°． (1)写出直线AB与直线CC1，直线AC1与平面ABCD，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的位置关系； (2)求这个直平行六面体的表面积； (3)求线段AC1的长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [解]　(1)直线AB与直线CC1异面，直线AC1∩平面ABCD＝A，平面ABCD∥平面A1B1C1D1． (2)底面ABCD是如图11-1-28所示的菱形，由已知可得 BD＝1，AC＝， 因此该底面的面积为×1×＝． 又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为＋4． (3)因为是直平行六面体，所以CC1⊥平面ABCD，从而CC1⊥AC． 在Rt△ACC1中，由AC＝，CC1＝1可知AC1＝2． 反思领悟　求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤 此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形．(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段．(3)计算此线段的长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 [跟进训练] 3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为AB1，A1C1上的点，且A1N＝AM＝2MB1，P，Q分别为BB1，B1C1上的动点，则折线MPQN长度的最小值为________． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 　[如图所示，将正方体的面AB1，BC1，A1C1展开成如图所示的形状， 由图可得，当M，P，Q，N在一条直线上时，折线MPQN的长度最小． 作ON，OM分别与正方形的边平行， 因为正方体的棱长为3，且A1N＝AM＝2MB1，所以ON＝3，OM＝2， 所以MN＝＝，即折线MPQN长度的最小值为．] 1．下列说法中正确的是(　　) A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 学习效果·课堂评估夯基础 √ 11.1.3　多面体与棱柱 C　[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错误；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错误；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错误．] 2．长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体对角线长是(　　) A． B．3 C．2 D．3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 A　[设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，因为长方体的三个面的面积分别是， 不妨令解得 所以长方体的体对角线长为＝．] 3．(多选)如图所示，不是正四面体的展开图的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D CD　[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现选项A，B可折成正四面体，选项C，D无论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．故选CD．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 4．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D　[由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2． 所以S侧＝1×2×4＝8．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ [提示]　根据棱柱的概念，侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 2．直棱柱的特征有哪些？ [提示]　(1)侧棱垂直于底面； (2)侧面都是矩形； (3)侧面垂直于底面； (4)侧棱长等于直棱柱的高； (5)侧面展开图是矩形，此矩形的面积即为棱柱的侧面积； (6)两底面与平行于底面的截面全等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 3．正棱柱除了满足直棱柱的特征，还具有哪些特征？ [提示]　(1)侧面都是全等的矩形； (2)底面是全等的正多边形． [提示]　(1)分别求各侧面的面积，然后求和．在求各侧面的面积时，首先要判断出各侧面的具体形状，然后求出它们的面积并求和． (2)作斜棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)，则斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积． 4．斜三棱柱的侧面积有哪两种求法？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 章末综合测评(一)　动量守恒定律 √ 一、选择题 1．下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是(　　) ①同一棱柱的侧棱平行且相等； ②一个棱柱至少有5个面； ③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱； ④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体． A．1 B．2 C．3 D．4 课时分层作业(十一)　多面体与棱柱 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 58 B　[根据棱柱的特征，可知同一棱柱的侧棱平行且相等，故①正确；三棱柱有5个面，故②正确；根据正棱柱的定义，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故③错误；根据平行六面体的定义可知，每个面都是平行四边形，故④错误．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 2．下列选项中的图形经过折叠不能围成棱柱的是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D　 D　[观察所给的图形，A，B，C选项均可围成棱柱，D选项围成的几何体是棱柱缺少一个面，无法围成棱柱．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 60 3．下列说法正确的个数是(　　) ①各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面； ④六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 61 A　[各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故①错误；底面是矩形的直平行六面体是长方体，仅底面是矩形，侧棱不一定与底面垂直，故②错误；正六棱柱的相对侧面也平行，故③错误；根据棱柱的定义可知，六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故④正确，正确的说法只有1个．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 62 √ 4．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 A　[所求长方体的表面积 S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 63 √ 5．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为(　　) A．4 B． C．2 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 64 B　[设长方体的三条棱的长分别为x，y，z， 则可得体对角线的长为＝＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 65 二、填空题 6．侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为________． 5　[正四棱柱的底面为正方形，设底面边长为a，侧棱长为b，则有a2＝8，所以a＝2，则四棱柱的体对角线为＝＝5．] 5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 66 7．已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 67 2　[根据平面展开图，还原几何体如图所示： 故第二个和第四个为三棱柱，三棱柱有2个．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 68 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，点O是线段BD1上的动点，则OM的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 69 　[连接BM，MD1， 在△BMD1中，BM＝MD1＝，BD1＝2，则点M到BD1的距离为＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 70 三、解答题 9．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1． (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 71 [解]　(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，且长方体的顶点都在这两个面上，其余各面都是矩形(作侧面)，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱． (2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 72 √ 10．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 73 D　[如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 74 √ 11．在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为 (　　) A． B．ab C．()ab D．ab 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 75 C　[如图， 由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形，侧面BB1C1C为矩形． 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a， ∴BC＝a．∴＝a·b＝ab． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 76 ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a， ∴点B到直线AA1的距离为a sin 60°＝a． ∴＝＝b·a＝ab． ∴S侧＝2×ab＋ab＝()ab．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 77 12．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 78 (1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是____________(答案不唯一)． (2)若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是__________________(答案不唯一)． ②(或③或④) ①③⑤(或②③④) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 79 (1)②(或③或④)　(2)①③⑤(或②③④)　[(1)由已知条件可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④． (2)以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④，还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 80 13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M．求： (1)三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 81 [解]　将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． (1)因为矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2， 所以三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2． (2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，所以最短路线长为 BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M， 所以A1M＝AM，即＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 82 14．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V－E＋F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一．现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 83 正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球”．则“巴克球”的顶点个数为(　　) √ A．180 B．120 C．60 D．30 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.3　多面体与棱柱 84 C　[依题意，设巴克球顶点数V、棱数E及面数F，则F＝20＋12＝32，每条棱被两个面共用，故棱数E＝＝90，所以由V－E＋F＝2得，V－90＋32＝2，解得V＝60．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 85 $