11.1.4 棱锥与棱台-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦棱锥与棱台的定义、结构特征及相关计算，从多面体概念切入，衔接棱柱知识，通过“逐点清”分模块梳理棱锥（概念、分类、表示、结构特征）、棱台（概念、分类、结构特征）及计算，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以“多维理解+微点练明+思维建模”为主线，通过正四棱台“斗”的侧面积计算等实例培养数学眼光，棱锥棱台定义辨析题发展数学思维，公式推导与符号表示强化数学语言。助力学生夯实空间观念，教师可高效开展概念教学与能力训练。

棱锥与棱台 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 11.1.4 课时目标 1.能根据棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念及表示方法. 2.能运用棱锥、棱台的特征描述现实生活中简单物体的结构和进行相关计算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 棱　锥　 逐点清(二) 棱　台　 逐点清(三) 棱锥、棱台的相关计算　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　棱　锥 01 1.棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 多维理解 底面 棱锥中，是__________的那个面称为棱锥的底面 侧面 有__________的各三角形称为棱锥的侧面 顶点 各侧面的____________称为棱锥的顶点 侧棱 相邻两侧面的_________称为棱锥的侧棱 高 过______________作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高 图示 多边形 公共顶点 公共顶点 公共边 棱锥的顶点 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的_________. 侧面积 2.棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥. 3.棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.例如，如上图所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥____________或棱锥_________. 4.正棱锥 如果棱锥的底面是_________，且棱锥的顶点与底面中心的连线______底面，则称这个棱锥为正棱锥.可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是____________，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的_______. P-ABCD P-AC 正多边形 垂直于 等腰三角形 斜高 5.棱锥的结构特征 几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面的截面 正棱 锥 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 一个正多边形 顶点与底面的中心的连线 与底面相似 其他 棱锥 三角形 有一个公共顶点 一个多边形 顶点到底 面的距离 与底面 相似 1.下列关于棱锥的说法正确的是 (　　) A.四棱锥共有四条棱 B.五棱锥共有五个面 C.六棱锥的顶点有六个 D.任何棱锥都只有一个底面 √ 微点练明 解析：四棱锥共有八条棱，故A错误；五棱锥共有六个面，故B错误；六棱锥的顶点有七个，故C错误；由棱锥的定义知D正确. 2.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 (　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 √ 解析：正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，则h2+r2=l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D. 3.(多选)一个几何体的棱数是偶数，则这个几何体可能是 (　　) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 √ 解析：三棱锥有6条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱有12条棱. √ √ 4.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； 解：如图所示，三棱锥A1-AB1D1(或三棱锥A-A1BD，三棱锥B-AB1C，三棱锥C-BDC1，三棱锥D-ACD1，三棱锥B1-A1BC1，三棱锥C1-B1CD1，三棱锥D1-A1C1D，答案不唯一). (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. 解：如图所示，三棱锥B1-ACD1(或三棱锥A1-BDC1答案不唯一). 逐点清(二)　棱　台 02 1.棱台的概念 多维理解 棱台 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图示 续表 上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面 下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面 侧面 除去上底面和下底面，其余各面称为棱台的侧面 侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱 高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高 表示 棱台可用上底面与下底面的顶点的字母来表示，如图中的棱台可表示为棱台ABCD-A1B1C1D1 2.棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 3.正棱台 由________截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的_______；而且，正棱台的侧面都全等，且都是_____________，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的________. 正棱锥 高 等腰梯形 斜高 1.下面四个几何体中，是棱台的是 (　　) √ 微点练明 2.有下列四种叙述，其中正确的是 (　　) A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析：A中的平面不一定平行于底面，故A错；由棱台的定义知，D正确；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错. √ 3.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4.已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为 (　　) A.12 B.9 C.6 D.3 √ 解析：∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则32∶h2=1∶4，∴h=6.∴棱台的高是6-3=3，即棱台的上、下底面的距离为3. 4.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有_____条，分别是____________________.  CD，A1B1，C1D1 3 解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形， 所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1. 所以AB∥C1D1. 故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条. 逐点清(三)　棱锥、棱台的相 关计算 03 1.正棱锥的侧面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，如图所示.因此正棱锥的侧面积就是这些等腰三角形的面积之和.若正n棱锥的底面边长为a，底面周长c=na，斜高为h'，则正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=nah'=ch'. 2.正棱台的侧面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，如图所示.因此正棱台的侧面积就是这些等腰梯形的面积之和.设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a'，周长为c'，斜高为h'，则正棱台的侧面积等于上、下底面周长和的一半与斜高的乘积，即S正棱台侧=n(a+a')h'=(c+c')h'. [典例]　(1)已知一个正三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是 (　　) A.4 B.3 C.2 D. 解析：因为一个正三棱锥O-ABC的每一个面都是边长为1的正三角形，所以一个面的面积S△ABC=×1×1×=，故三棱锥的表面积为×4=. √ (2)“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示.其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm.“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 (　　) A.8B.16 C.2 D.4 解析：由题意知四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为=2 dm，所以“斗”的所有侧面的面积之和为S1=4×(6+2)×2=32 dm2，下底面的面积为S2=4 dm2，所以=8. √ |思|维|建|模| (1)有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形. (2)关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形.　 1.如图，ABC-A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为 (　　) A. B. C. D. √ 针对训练 解析：如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥P-A1B1C1的棱长都是3，如图2，点P在底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，高PO==，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.故选C. 2.如图所示，正四棱台AC'的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解：设棱台两底面的中心分别是O和O'，B'C'， BC的中点分别是E'，E.连接O'O，E'E，O'B'，OB，O'E'， OE，则四边形OBB'O'，四边形OEE'O'都是直角梯形. 如图，在正方形ABCD中，∵BC=16 cm，∴OB=8 cm，OE=8 cm. 在正方形A'B'C'D'中，∵B'C'=4 cm，∴O'B'=2 cm，O'E'=2 cm. 在直角梯形O'OBB'中，BB'= ==19(cm).在直角梯形O'OEE'中， EE'===5(cm). 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列图形中，为棱锥的是 (　　) √ √ √ 解析：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然A、B、D满足棱锥定义，C不满足棱锥定义，所以A、B、D是棱锥，C不是棱锥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个空间图形为 (　　) A.四棱柱　　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 √ 解析：根据棱锥的定义可知该空间图形是三棱锥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如图所示的组合体的结构特征是 (　　) A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 D.一个棱柱中截去一个棱台 √ 解析：由此组合体的图形知，此组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.下列说法正确的是 (　　) A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 √ 解析：各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，能推断这个空间图形可能是三棱台的是 (　　) A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4 B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3 C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4 D.AB=A1B1，BC=B1C1，AC=A1C1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：棱台的上、下底面相似，据此判断. 对于A，≠，故A不正确； 对于B，=≠，故B不正确； 对于C，==≠1，故C正确； 对于D，===1，不是三棱台，故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)对如图的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是 (　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成 √ √ 解析：如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选A、B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.三角形或四边形 D.不可能为四边形 √ 解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是 (　　) A.三棱锥　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 √ 解析：在三棱台A'B'C'-ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC，剩余的部分是以A'为顶点，四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'-BCC'B'. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.下列说法正确的是 (　　) A.三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，如图1，三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故A错误；对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1BC分为两个棱锥，如图2所示，故B正确；对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误；对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如四棱锥S-ABCD被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，正三棱锥S-ABC中，∠BSA=30°，SB=2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.2 √ 解析：将三棱锥S-ABC沿侧棱SB展开，其侧面展开图如图所示，则BB'即为最短路线.因为∠BSA=30°，SB=2，所以△BB'S为等腰直角三角形，故沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)一个棱台至少有______个面，面数最少的棱台有_______个顶点，有__________条棱.  解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱. 5 6 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)一个几何体的表面展开图如图所示，该几何体中与“数”字面相对的是“__________”字面.  学 解析：把平面图还原得到一个三棱台，“数”“学”所在的两个平面分别为上、下底面，所以与“数”字面相对的是“学”字面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为__________cm2.  解析：正四棱台的中截面是正方形，其边长为(3+5)=4 cm.由此S截=42=16 cm2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，求截面的面积. 解：取AC的中点O，连接SO，则SO⊥AC，如图所示. ∵正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a， ∴AC=a，SO==a， 则截面△SAC的面积为×a×a=a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10 cm，A1B1=20 cm，AA2=30 cm，AA1=13 cm，每平方厘米的加工处理费为0.2元，求需要多少元加工处理费. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， 所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2). 又四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120(cm2). 所以该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2)， 又0.2S=0.2×2 420=484(元)，故需要加工处理费484元. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $