11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“空间几何体与斜二测画法”，系统涵盖平面图形及空间几何体直观图的画法步骤，通过课前自主预习落实基础概念，课堂以例题解析和思维建模构建从平面到空间的学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。 其亮点在于通过“微点助解”精准解读“斜”“二测”内涵培养数学眼光，题型分类与思维建模引导学生掌握画图技巧发展数学思维，直观图还原计算问题强化几何直观提升数学语言表达能力。学生能提升空间观念和解题能力，教师可依托梯度化资源实施进阶教学。

第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤. 2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱)的直观图. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间______和______，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.常见的几何体有长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 形状 大小 2.斜二测画法 (1)作水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的____和____，使得它们正方向的夹角为_______ (或______). ②平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴______ (或_____)的线段，且长度______. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴______ (或______)的线段，且长度为原来长度的______. ③连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线. x'轴 y'轴 45° 135° 平行 重合 不变 平行 重合 一半 (2)空间几何体的直观图的画法 ①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出_________上图形的直观图(保留x'轴与y'轴). ②在立体图形中，过x轴与y轴的_______取z轴，并使z轴_______x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的____轴，且z'轴垂直于___轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴______ (或____)的线段，且长度_____.连接有关线段. ③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 水平平面 交点 垂直于 z' x' 平行 重合 不变 |微|点|助|解| 　 (1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 ①“斜”是指在已知图形的平面xOy内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴成45°或135°； ②“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的一半. (2)斜二测画法画图的关键 在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等的角，在直观图中仍相等.(　　) (2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等.(　　) (3)若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行.(　　) (4)若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.(　　) 基础落实训练 × × √ × 2.下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 (　　) √ 3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在平面x'O'y'上，则圆柱的高应画成 (　　) A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm √ 解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　画水平放置的平面图形的直观图 [例1]　画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 解：画法：①在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. ②在图(2)中画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°. ③在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB，O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH，y'轴上取O'E'=OE，分别过G'和H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'=GA，H'D'=HD. ④连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)). |思|维|建|模| 画平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.　 针对训练 1.画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定). 解：①画轴.如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x'O'y'，其中∠x'O'y'=45°.②描点.如图②，在x'轴上截取O'A'=OA，O'B'=OB，在y轴上截取O'D'=OD，过点D'作D'C'∥x'轴，且D'C'=DC. ③连线.连接B'C'，A'D'.④成图.如图③，四边形A'B'C'D'即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图. 题型(二)　画空间几何体的直观图 [例2]　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解：画法：①画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy=45°(或135°)，∠xOz=90°，如图. ②画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. ③画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP的长度等于原四棱锥的高. ④成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. |思|维|建|模| 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于x轴、z轴的线段画成平行于x'轴、z'轴的线段并且长度不变. (3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半.　 针对训练 2.画出棱长为3 cm的正方体的直观图. 解：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°， AB=3 cm，AD= cm. (2)过点A作z'轴，使∠BAz'=90°，分别过点A，B，C，D，沿z'轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=3 cm. (3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形(如图②)就是所求的正方体的直观图. 题型(三)　直观图的还原与计算问题 [例3]　(1)如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=，则这个平面图形的面积是(　　) A.1 B. C.2 D.4 解析：由题图知，△OAB为直角三角形. ∵O'B'=，∴A'B'=，O'A'=2. ∴在原△OAB中，OB=，OA=4， ∴S△OAB=××4=2.故选C. √ (2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O'D1=1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 解析：如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD=O'D1=1；OC=O'C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2. 连接BC，便得到了原图形(如图). 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形， 上、下底长度分别为AB=2，CD=3， 直角腰长度为AD=2.所以面积为S=×2=5. |思|维|建|模| 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 针对训练 3.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，A'O'=6，B'O'=2，则线段AB的长度为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 √ 解析：因为△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，所以△OAB是直角三角形，且两条直角边长为OA=6和OB=4，它的斜边AB的长为AB====2. 4.已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积. 解：如图①②所示的分别是实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，A'B'=AB=a，O'C'=OC=a， 在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'，则C'D'=O'C'=a. 所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 (　　) A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° √ 解析：根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C'，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 √ 解析：将△A'B'C'还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'平行于y'轴，那么A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中 (　　) A.最长的是AB，最短的是AC B.最长的是AC，最短的是AB C.最长的是AB，最短的是AD D.最长的是AD，最短的是AC √ 解析：因为A'D'∥y'轴，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因为D'是B'C'的中点，所以D是BC的中点，所以AB=AC>AD.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 cm，5 cm，10 cm，四棱锥的高为8 cm，若按5∶1的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为 (　　) A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm √ 解析：原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x'轴、z'轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y'轴，且长度变为原来的一半. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为(　　) A.2 B.2 C.2 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图(1)所示，直观图O'A'B'C'是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，把直观图还原成平面图形OABC，则这个平面图形OABC是直角梯形，根据斜二测画法规则，可得OC=2，OA=3，BC=1，所以原平面图形OABC的最长边长为AB==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为 (　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm √ 解析：圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是 (　　) A.梯形的直观图仍旧是梯形 B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为 C.△ABC的直观图如图所示，A'B'在x'轴上，且A'B'=2， B'C'与x'轴垂直，且B'C'=，则△ABC的面积为4 D.菱形的直观图可以是正方形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4=，根据直观图与原图面积关系可得=S，解得S=2，故B错误；直观图中S△A'B'C'=×2×=，则△ABC的面积S==4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误.故选A、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)如图，在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为_____cm2.  解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA=2 cm，OC=4 cm，所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2). 8 矩形 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2， 2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中，顶点B'到x'轴的距离为　　　　.  解析：正方形的直观图A'B'C'D'如图所示，因为O'A'=B'C'=1，∠B'C'x'=45°，所以顶点B'到x'轴的距离为1×sin 45°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为_______cm2.  解析：该矩形的面积为S=5×4=20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S'=S=5(cm2). 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为_____________. 解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O'B'与原图形中边OB的长度相等，及S原图=2S直观图，得OB×h=2××A'O'×O'B'，则h=4.故△AOB的边OB上的高为4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形. 解：(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA=O'A'，即CA=C'A'. (2)在图①中，过点B'作B'D'∥y'轴，交x'轴于点D'，在x轴上取OD=O'D'，过点D作DB∥y轴，并使DB=2D'B'. (3)连接AB，BC，则△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图②. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知圆柱的底面半径和高分别为2 cm，3 cm，画出该圆柱的直观图. 解：第一步：画轴，如图1，画x，z轴，使得∠xOz=90°；第二步：画下底面，以O点为中心，在x轴上取线段AB，使得OA=OB= 2 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点， 这个椭圆就是圆柱的底面；第三步： 画上底面，在Oz上截取点O'， 使得OO'=3 cm，过O'作平行于x轴的x'轴， 类似下底面的作法做出圆柱的上底面； 第四步：成图，顺次连接AA'，BB'， 再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线， 就得到圆柱的直观图，如图2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图所示，图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中分离出来的. (1)求直观图中△A1C1D1的面积；(5分) 解：由题意可知，A1D1=，D1C1=a，∠A1D1C1=135°，所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1 =××a×=a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体?(5分) 解：水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $