11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的直观图及斜二测画法，通过天坛、金字塔等建筑情境抽象几何体，衔接初中已学的正方体、棱柱等，为立体几何学习搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，通过分类型例题（如等腰梯形直观图还原）、反思领悟及分层训练，帮助学生掌握画法与还原技巧，提升空间观念。教师使用可系统开展教学，学生能在实践中深化逻辑思维与问题解决能力。

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 学习任务 1．能够从教材的实例中抽象出用斜二测画法作水平放置的平面图形直观图的步骤．(数学抽象) 2．能够由给出的平面图形制作出空间几何体．(直观想象) 3．能够了解斜二测画法中各类线段长度之间的关系，正确进行运算．(数学运算) 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，如中国天坛、埃及金字塔、法国埃菲尔铁塔，它们都是独具匠心的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？ 必备知识·情境导学探新知 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 知识点1　空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间____和____，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． 思考我们以前接触过的几何体有哪些？ [提示]　正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等． 形状 大小 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 知识点2　直观图与斜二测画法 1．直观图 立体几何中，用来表示空间图形的________，习惯上称为空间图形的直观图．为了使直观图具有立体感，经常使用__________来作直观图． 平面图形 斜二测画法 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的___轴和___轴，使得它们正方向的夹角为____(或_____)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与___轴平行(或重合)的线段，且长度____． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与___轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的____． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 提醒可以简记为“横不变，纵减半”． x′ y′ 45° 135° x′ 不变 y′ 一半 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 知识点3　立体图形及圆的直观图 1．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的______(保留x′轴与y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于___轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度____．连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成____(或____)． 直观图 x′ 不变 虚线 擦除 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 提醒(1)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比； (2)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点通常建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上； (3)先画底面的直观图，再画其余各面． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 2．水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆． 拓展正等测画法 (1)正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等． (2)正等测画法的规则如下： ①在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝120°(或60°)，它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． ③平行于x轴或y轴的线段，在直观图中长度都不变． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同． (　　) (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． (　　) (3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形． (　　) (4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形． (　　) × √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [提示]　(1)实物图中的直观图与取坐标系的方法有关． (2)根据斜二测画法的规则可知此说法正确． (3)水平放置的n边形的直观图仍是n边形． (4)利用斜二测画法画菱形的直观图时，相邻两边不一定再相等，故不一定是菱形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 2．长方形的直观图可能为下图中(　　) √ A．①② B．①②③ C．② D．③④ C　[斜二测画法中，平行性保持不变，平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度折半．因此长方形的直观图为②．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　) A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 C　[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm．] 4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝____________． 45°或135°　[由斜二测画法，∠A′＝45°或∠A′＝135°．] 45°或135° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 类型1　水平放置的平面图形的直观图 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 关键能力·合作探究释疑难 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [解]　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°． (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD． (3)连接B′C′，D′A′，擦去作图过程中的辅助线等，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． 反思领悟　画平面图形的直观图的关键点及对策 (1)关键点：画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置． (2)对策：首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [跟进训练] 1．(源于人教A版教材)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图． [解]　画法：(1)如图①，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O．在图②中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 (2)在图②中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN．以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画F′E′平行于x′轴，并且等于FE． (3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图③)． 类型2　画空间几何体的直观图 【例2】　用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-A′B′C′D′的直观图． [思路引导]　→→→ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [解]　画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°． (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm．分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD． (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′． (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)． 反思领悟　简单几何体直观图的画法步骤 (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系． (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [跟进训练] 2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [解]　(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①所示． (2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD． (3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高． (4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图(如图②)． 类型3　直观图的还原和计算问题 【例3】　如图所示，水平放置的平面图形A′B′C′D′为某一平面图形的斜二测直观图，它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，求原来的平面图形的面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [思路引导]　由直观图还原平面图形的关键： (1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍． (2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [解]　如图所示，因为A′D′∥B′C′， 所以AD∥BC． 因为∠A′B′C′＝45°， 所以∠ABC＝90°， 所以AB⊥BC． 所以四边形ABCD是直角梯形， 其中AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2A′B′＝2， 故梯形ABCD的面积S＝×2＝2＋． [母题探究] (变条件)将例题变为“如图所示的直角梯形A′B′C′D′为某一平面图形的斜二测直观图，∠A′B′C′＝45°，A′B′＝A′D′＝1，C′D′⊥B′C′．”试求原平面图形的面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [解]　在斜二测直观图中(如图①所示)，作A′H⊥x轴交于H． ∵A′B′＝A′D′＝1，D′C′⊥B′C′，∠A′B′C′＝45°． ∴B′H＝，B′C′＝B′H＋A′D′＝1＋． 从而在原平面图形ABCD中(如图②所示)， AB⊥BC，AB＝2，AD＝1，BC＝1＋． 从而直角梯形ABCD的面积 S＝×2×＝2＋． 反思领悟　 1．直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 2．直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [跟进训练] 3．(1)如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的周长是(　　) A．2＋4 B．4＋4 C．2＋4 D．4＋4 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 (2)如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为(　　) √ A．2 B．2 C．4 D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 (1)B　(2)C　[(1)由直观图可知，原图形△AOB是等腰三角形，且底边上的高为16，由勾股定理可得， 腰长为＝2，所以△AOB的周长为2＋2＋4＝4＋4． (2)在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2， 显然∠A′O′C′＝45°， 于是O′C′＝＝＝2， 直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图的直角梯形OABC， BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4， 所以该平面图形的高为4． 故选C．] 1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　　) A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B．平行四边形的直观图仍是平行四边形 C．两条相交直线的直观图可能是平行直线 D．两条垂直直线的直观图仍互相垂直 学习效果·课堂评估夯基础 √ 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 B　[斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A错误；平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确；斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C错误；两条垂直直线的直观图应是夹角为45°或135°的两条相交直线，故选项D错误．] 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(　　) √ A　　　 B　　 　C　 　　 D C　[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 3．一水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________． 10　[易知AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，AB应为Rt△ABC的斜边，故AB＝＝10．] 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 4．如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的斜二测直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________． 　[∵O′B′＝1，∴O′A′＝， ∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2， ∴S△AOB＝×1×2＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．斜二测画法中的建系原则是什么？ [提示]　在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 2．斜二测画法中的“斜”和“二测”各指什么？ [提示]　(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°(或135°)． (2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 3．直观图中有哪些“变”与“不变”？ [提示]　(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变． (2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)． (3)有些线段的度量关系会发生变化．这种变化，目的是使图形富有立体感． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图，若直观图的面积为，则正方形ABCD的面积为(　　) A．4 B． C．2 D． 课时分层作业(九)　空间几何体与斜二测画法 45 A　[设正方形的面积为S，对应直观图的面积为S′，因为S＝2S′，所以S＝2＝4． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是等边三角形A′B′C′，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 47 C　[如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝3，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，则原△AOB的面积为(　　) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．6 B．6 C．12 D．24 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 49 C　[根据斜二测画法的规则画出原图如图所示， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则原△AOB的面积为×4×6＝12． 故选C．] 50 4．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．6 cm B．8 cm C．(2＋3)cm D．(2＋2)cm √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 51 B　[直观图中，O′B′＝，则OB＝2．原图形中OC＝AB＝＝3，OA＝BC＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8(cm)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 √ 5．(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形△ABC中(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度 C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 53 AC　[由题可知，AD＝2A′D′，BC＝B′C′，AD⊥BC，BD＝CD，则△ABC为等腰三角形，故AB＝AC．△ABD与△ADC均为直角三角形，AD<AC，AB>AD，BC与AD的长度大小不确定．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 二、填空题 6．在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为__cm，棱A′A1′的长为__cm． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　4　[在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm．] 2 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 55 7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[直角三角形两直角边分别为3和4，斜边为5，故中线长为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 56 8．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形ABCD的面积为6 cm2，则原四边形的面积为______ cm2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 57 12　[根据题意得：∠BAD＝45°，原四边形为一个直角梯形，且上、下底的边长分别和BC，AD相等，高为AB的2倍，即为四边形ABCD的高的2倍，面积是四边形ABCD面积的2倍，故原平面图形的面积为6×2＝12 cm2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 三、解答题 9．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 59 [解]　由已知中四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 √ 10．如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′(1，0)，C′(－1，0)，则原四边形ABCD的周长等于(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．2 B．2＋2 C．4 D．4＋4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 61 D　[因为A′(1，0)，C′(－1，0)，所以直观图中正方形的边长为， 结合直观图的特征，可得原图如图所示， 因为直观图中B′C′＝，且B′C′与y轴平行， 所以原图中BC＝2且BC与y轴平行， 因为AC＝2， 所以AB＝＝2， 由直观图的性质可知，原图中四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD的周长等于4＋4．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 √ 11．(多选)给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是(　　) A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 63 AD　[水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，一些线段在直观图中也会改变，比如正方形的直观图中，故B，C错误；由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，故D正确．故选AD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 12．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观 图中梯形的高为________，面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 65 　2　[因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2． 又因为∠COD＝45°，所以CD＝2．梯形的直观图如图，则C′D′＝1．所以梯形的高C′E′＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 面积为＝2．] 66 13．在直观图(如图)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的周长为________ cm，面积为________ cm2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12 8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 67 12　8　[在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，所以由斜二测法的规则得：在直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形ABCO的周长为2×(2＋4)＝12(cm)，面积为S＝2×4＝8(cm2)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 14．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)画出它的原图形； (2)若A′C′＝2，△A′B′C′的面积是，求原图形中AC边上的高和原图 形的面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 69 [解]　(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′， 在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′， 过点D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′， 连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(1)知，原图形中，BD⊥AC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且BD＝2B′D′， 71 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′， 则△A′B′C′的面积S△A′B′C′＝A′C′×B′E′＝B′E′＝， 在直角三角形B′E′D′中，B′D′＝B′E′＝，所以BD＝2B′D′＝，又因为AC＝A′C′， 所以S△ABC＝AC×BD＝．故原图形中AC边上的高为，原图形的面积为． 72 15．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 73 [解]　由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 $