9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 认识实际测量中的有关名称和术语.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、　高度、角度的测量等问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　距离问题 题型(二) 高度问题　 题型(三) 角度问题　 4 课时跟踪检测 题型(一)　距离问题 01 [例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20 m的C，D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°，那么此时A，B两点间的距离是多少? 解：由正弦定理得AC= ===10(1+)(m)， BC===20(m). 在△ABC中，由余弦定理得 AB= =10(m). ∴A，B两点间的距离为10 m. |思|维|建|模| 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.　 针对训练 1.如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD是15(+1)，则此时峡谷的宽度BC是(　　) A.60 B.60(+1) C.30 D.30(+1) √ 解析：由已知得∠ACB=30°，∠ABD=75°，∴CD==15(3+)，BD==15(-1)，∴BC=CD-BD=60.故选A. 题型(二)　高度问题 02 [例2]　如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. 解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°，所以CD=AD. 在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°， 由=，得AD===800(+1)(m). 即山的高度为800(+1)m. |思|维|建|模| 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.　 针对训练 2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：设AC=x m，则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中，根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x，解得x=420. 在△ACH中， AC=420 m，∠CAH=30°+15°=45°，∠AHC=90°-30°=60°. 由=，得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 题型(三)　角度问题 03 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=120 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=150 m，则cos∠DEF=_________.  - 解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得DF===10(m)， DE===100(m)，   EF===130(m). 在△DEF中，由余弦定理的推论，得cos∠DEF===-. |思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.　 针对训练 3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile? 解：如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB=θ， 乙船行驶距离BC为x n mile，则AC=x， 由正弦定理得sin θ==，而θ<60°， ∴θ=30°.∴∠ACB=30°，BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° √ 解析：灯塔A，B的相对位置如图所示， 由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°， 则α=60°-50°=10°，即北偏西10°.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC=120°，则A，C两地间的距离为 (　　) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km √ 解析：如图所示，由余弦定理可得， AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700，∴AC=10(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h √ 解析：如图所示，在△PMN中，=，∴MN==34. ∴v==(n mile/h).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为 (　　) A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m √ 解析：如图，设O为建筑物的顶端A在地面的射影， 在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40， OD=20.在Rt△AOD中，OA=OD·tan 60°=60. ∴AB=OA-OB=40.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为 (　　) A.50 m B.50 m C.50 m D.50 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示.由题意， 得CD=150(m)，OD=100(m)，∠CDO=60°，在△CDO中， 由余弦定理得，CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2， 即1502+1002-2×150×100×=r2，解得r=50(m). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC=12 m.②B处的仰角60°.③C处的仰角45°. ④cos∠BAC=.⑤∠BOC=30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A.10 m B.12 m C.12 m D.12 m √ 解析：选①②③⑤，如图所示，则∠ABO=60°， ∠ACO=45°，设OA=x，则OC=OA=x，OB= . 在△BOC中，利用余弦定理BC2=122=x2+-2x ··，解得x=12，即OA=12 m，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1 km，且C=120°，则A，B两点间的距离为__________ km.  解析：在△ABC中，易得A=30°， 由正弦定理=， 得AB===(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为___________h.  1 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cos 45°=302.化简，得4t2-8t+7=0， ∴t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|==1(h). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC=，AB=3 m，AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处_________ m的点.  5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD=x， 则BD=2x，AD=7-x，所以在△ABD中，cos A==， 整理可得15x2+52x-164=(15x+82)(x-2)=0，解得x=2或x=-(舍去). 故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据得cos θ=__________.  -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：∵∠DBC=45°，∠DAC=15°，∴∠BDA=30°. 在△ABD中，由正弦定理有=，即=， 即BD=100sin 15°=100×=25().在△BCD中， 由正弦定理有=，即=， 所以sin∠BCD=-1，因此cos θ=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：如图所示，考点为A，检查开始处为B， 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号， 即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB=(km)，AC=1(km)，∠ABC=30°， 由正弦定理，得sin∠ACB=×AB=， ∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意). ∴∠BAC=30°，∴BC=AC=1(km). 在△ACD中，AC=AD=1，∠ACD=60°， ∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km). ∵×60=5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)如图，A，B是在沿海海面上相距15+5海里的两个哨所，B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30°方向处有一艘走私船，同时，B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30°的D点，且A与D相距20海里，试求： (1)刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：由C在A的南偏东30°，在B的东北方向，在△ABC中， ∴∠ABC=45°，∠CAB=30°，∠ACB=105°，由正弦定理得=，∴=. 又sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°= ，代入上式得AC=10海里.故刚发现走私船时， 走私船与哨所A的距离为10海里. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度?(5分) 解：在△ACD中，AC=10海里，AD=20海里，∠DAC=60°， ∴DC2=AD2+AC2-2AD×AC×cos 60° =1 200+300-2×20×10×=900，解得DC=30海里.又cos∠ADC===， 且0°<∠ADC<180°，所以∠ADC=30°，故刚发现走私船时，走私船距离缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东60°方向. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)若缉私艇得知走私船以10海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?(5分) 解：设t小时后缉私艇在M处追上走私船，则MC=10t， DM=30t，又∠DCA=90°，∴∠DCM=90°+30°+15°=135°. 在△CDM中，由余弦定理得DM2=DC2+MC2-2DC×MC×cos 135°， 即900t2=900+300t2-2×30×10t×cos 135°，化简得2t2-t-3=0， 解得t=(负值舍去).故缉私艇至少需要小时才能追上走私船. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $