9.1.2 第2课时 余弦定理的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

余弦定理的综合应用 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 进一步学习余弦定理，能利用余弦定理证明相关等式及解决一些综合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用余弦定理证明等式 题型(二) 余弦定理与平面向量相结合　 题型(三) 正、余弦定理的综合应用　 4 课时跟踪检测 题型(一)　利用余弦定理证明等式 [例1]　已知平行四边形ABCD，证明：AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠ABC+∠DAB=π，cos∠ABC+cos∠DAB=0. 在三角形ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC =AB2+AD2-2AB·AD·cos∠ABC. 在三角形ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB. 所以AC2+BD2=2AB2+2AD2-2AB·AD·(cos∠ABC+cos∠DAB) =2(AB2+AD2). |思|维|建|模| 　　利用余弦定理证明等式的关键是掌握余弦定理及其变形，灵活应用公式进行转化，有时会涉及正弦定理及三角恒等变换. 针对训练 1.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ. (1)证明：2S=(a·PB+b·PC+c·PA)sin θ. 证明：因为S=S△PAB+S△PBC+S△PAC =c·APsin θ+a·BPsin θ+b·CPsin θ =sin θ(c·AP+a·BP+b·CP)①， 所以2S=sin θ(c·AP+a·BP+b·CP). (2)证明：a2+b2+c2=. 证明：在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理得：BP2=c2+AP2-2c·APcos θ，CP2=a2+BP2-2a·BPcos θ， AP2=b2+CP2-2b·CPcos θ，三式相加整理得：2cos θ(c·AP+a·BP+b·CP)=a2+b2+c2　②， 结合①②，可得=， 整理可得a2+b2+c2=，所以原式得证. 题型(二)　余弦定理与平面向量相结合 [例2]　在△ABC中，∠BAC为锐角，||=2||，且对于t∈R，|-t|的最小值为||，则cos∠ABC=(　　) A.　　　 B.　　　 C.-　　　 D.- √ 解析：因为|-t|2=+t2-2t·=c2+b2t2-2tbccos A， 当t==时，|-t|2取最小值，则c2-c2cos2A=c2， 所以cos2A=.又∠BAC为锐角，故cos A=.因为||=2||， 所以b=2c.所以cos A===，得a=c. 所以cos B===-. |思|维|建|模| 　　解决余弦定理与平面向量相结合问题时，首先要弄明白要求的量与向量式的关系，进而利用向量关系求出需要的值，再解三角形. 针对训练 2.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2+c2=a2+bc，且·=2，则△ABC的面积为(　　) A. B. C.1 D.2 √ 解析：由余弦定理得cos A===.因为A∈(0，π)， 所以A=.又·=2，所以bccos A=2，则bc=4. 所以S△ABC=bcsin A=1. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C. (1)求角A； 解：在△ABC中，由正弦定理==， 可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c.因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C， 所以b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cos A==. 因为A∈(0，π)，所以A=. (2)若a=6，b=2c，求△ABC的面积. 解：由(1)可知cos A=，又a=6，b=2c，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 可得62=4c2+c2-4c2cos A，即36=3c2，所以c=2，b=2c=4. 又sin A=，所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=6. |思|维|建|模| 　　边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互化，可使边角关系具体化. 针对训练 3.(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD=1. (1)若∠ADC=，求tan B； 解：因为D为BC的中点，所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC =2××1×DC×=，解得DC=2，所以BD=DC=2，a=4. 因为∠ADC=，所以∠ADB=. 在△ABD中，由余弦定理，得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7，所以c=. 在△ABD中，由正弦定理，得=，所以sin B==， 所以cos B==.所以tan B==. (2)若b2+c2=8，求b，c. 解：因为D为BC的中点，所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B==， 整理，得2BD2=b2+c2-2=6，得BD=，所以a=2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC===-， 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc =bc= =，解得bc=4.则由 解得b=c=2. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则cos C的值等于 (　　) A.　　　　　　　 B.- C.- D.- √ 解析：由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4， 不妨设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)，则由余弦定理， 得cos C===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在边长为6的菱形ABCD中，设=a，=b，A=120°，则|a-b|= (　　) A.36 B.12 C.6 D.6 √ 解析：由题意，得|a-b|=||=||. 由余弦定理得DB2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=108，DB=6. 故|a-b|=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中，若A=30°，b=1，S△ABC=，则的值为(　　) A.2 B.2 C. D. √ 解析：在△ABC中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由题知，S△ABC==bcsin A.又∠A=30°，b=1，所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，解得a=.所以由正弦定理得====2，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b-c=a，2sin B=3sin C，则cos A=(　　) A.- B. C.- D. √ 解析：由2sin B=3sin C，得2b=3c，则b-c=b-b=a，即b=a，所以c=b=×a=a，故cos A====-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的值为(　　) A. B. C.+1 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为AD⊥AC，所以∠DAC=90°.所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°.又因为sin∠BAC=， 所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=.在△ABD中， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-24=3， 所以BD=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中，AB=3，AC=2，cos∠BAC=，点D在BC边上且AD=，则sin∠ADC=(　　) A. B. C. D. √ 解析：在△ABC中，BC= ==3.所以BA=BC.所以∠BAC=∠BCA. 所以sin∠BCA=sin∠BAC==.在△ADC中， 由正弦定理得，=，即=，所以sin∠ADC=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b2+c2-16=bc，则(　　) A.A= B.当△ABC有两解时，b的取值范围是(4，8) C.△ABC面积的最大值为8+4 D.当BC边上的中线的长为2时，b2+c2=24 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为a=4，b2+c2-16=bc，所以b2+c2-a2=bc， 所以cos A===.又A∈(0，π)，所以A=， 故A错误；当△ABC有两解时，则bsin A<a<b，即b<4<b， 所以4<b<8，故B正确；因为b2+c2-16=bc≥2bc-16， 所以bc≤16(2+)，当且仅当b=c=2+2时取等号， 所以S△ABC=bcsin A=bc≤8+4，故△ABC面积的最大值为 8+4，故C正确；设BC的中点为D，则=(+)， 所以=(++2·)，即32=b2+c2+bc. 又b2+c2-16=bc，所以b2+c2=24，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为_________.  解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2=42+42-2×4×4 ×=8，解得x=2，即该“圭田”的底边长为2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若+=，则B=__________.  60° 解析：在△ABC中，由+=， 得1++1+=3， 即c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，整理得a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得cos B==.而0°<B<180°，所以B=60°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sin Acos C=3cos Asin C，则b的值为_________.  解析：在△ABC中，因为sin Acos C=3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理得a·=3··c，化简并整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b，所以4b=b2，解得b=4或b=0(舍去). 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m=(bsin B-asin A，c-b)，n=(1，sin C)，且m⊥n，则角A的大小为_________；若a=7，b+c=8，则△ABC的面积是__________.  解析：由m⊥n，得(bsin B-asin A)·1+(c-b)·sin C=0，化简得b2+c2-a2=bc，所以cos A==.因为A∈(0，π)，所以A=.当a=7，b+c=8时，由cos A==，得==， 解得bc=5，所以S△ABC=bcsin A=×5×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)如图，AM是△ABC中BC边上的中线， 求证：AM= . 解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ， 设AB=c，AC=b，BC=a，在△ABM中，cos θ= =.在△AMC中，cos(π-θ)==， 所以cos θ+cos(π-θ)=+==0， 即2AM2+-c2-b2=0.所以AM= = . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1-S2+S3=，sin B=. (1)求△ABC的面积；(5分) 解：由S1-S2+S3=，得(a2-b2+c2)=，即a2-b2+c2=2， 又a2-b2+c2=2accos B，所以accos B=1.由sin B=， 得cos B=或cos B=-(舍去)，所以ac==， 则△ABC的面积S=acsin B=××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若sin Asin C=，求b.(5分) 解：由sin Asin C=，ac=及正弦定理得===， 即b2=×=，得b=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c. (1)若2a=3b，求sin A；(7分) 解：依题意，A=2B，所以sin A=sin 2B，即sin A=2sin Bcos B. 由正弦定理可知，a=2bcos B，即cos B=， 从而cos A=cos 2B=2cos2B-1=. 又A为三角形的内角，故sin A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)证明：=.(8分) 解：由(1)可知，a=2bcos B， 由余弦定理可得a=2b·， 即a2c=a2b+c2b-b3， 则a2(c-b)=b(c2-b2).又b≠c， 故a2=bc+b2，从而=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=sin B， 且c=4. (1)求边b的值；(5分) 解：因为sin C=sin B， 由正弦定理得c=b，且c=4， 所以b=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若D为边BC的中点，cos∠CAD=，求△ABC的面积.(10分) 解：延长AD至点E，满足AD=DE，连接EB，EC，在△EBC中， 由余弦定理得cos∠CAE==.   因为AC=4，EC=4，代入上式整理得AE=8， 所以AD=4.又cos∠CAD=， 所以sin∠CAD==. 所以S△ABC=2S△ADC=2·AD·AC·sin∠CAD=4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $