9.1.1 第2课时 正弦定理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

正弦定理的应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 进一步学习正弦定理，能根据条件判断三角形形状.能利用正弦定理与三角恒等变换解决较为复杂的解三角形问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　判断三角形的形状 题型(二) 利用正弦定理证明有关问题　 题型(三)正弦定理在三角形中的综合应用　 4 课时跟踪检测 题型(一)　判断三角形的形状 [例1]　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 解:法一　根据正弦定理==. ∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角，B+C=90°， ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1， ∴sin B=.∵0°<B<90°，∴B=45°，C=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　根据正弦定理==. ∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角. ∵A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C， ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°，∴B-C=0，∴B=C， ∴△ABC是等腰直角三角形. |思|维|建|模| (1)判定三角形形状的途径:①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.　 针对训练 1.在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 √ 解析:由3b=2asin B，得=，根据正弦定理，得=，所以=，即sin A=. 又A是锐角，所以A=60°.又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B=C，故△ABC为等边三角形. 2.在△ABC中，a，b是角A，B所对的边，已知bcos B=acos A试判断△ABC的形状. 解:在△ABC中，由bcos B=acos A及正弦定理， 得sin Bcos B=sin Acos A，则sin 2A=sin 2B， 而0<2A<2π，0<2B<2π，0<2(A+B)<2π， 因此2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B=， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 题型(二)　利用正弦定理证明有关问题 [例2]　在△ABC中，若acos2+ccos2=，求证:a+c=2b. 证明:因为acos2+ccos2=，由正弦定理得sin Acos2+sin Ccos2=， 所以sin A·+sin C·=，即sin A+sin Acos C+sin C+sin Ccos A=3sin B，所以sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，所以sin A+sin C= 2sin B，由正弦定理可得a+c=2b. |思|维|建|模| 　　对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化: (1)已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式. (2)已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式. (3)已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式. 针对训练 3.在△ABC中，求证:=. 证明:∵左边== == == ==右边，∴原等式成立. 题型(三)　正弦定理在三角形中的综合应用 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1)求A. 解：法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A+cos A=2，可得sin A+cos A=1， 即sin=1，由于A∈(0，π)⇒A+∈， 故A+=，解得A=. 法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2，又sin2A+cos2A=1， 消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0，解得cos A=， 又A∈(0，π)，故A=. (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长. 解:由题设条件和正弦定理得，bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B=，得到B=， 于是C=π-A-B=，sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A =，由正弦定理==，即==， 解得b=2，c=+，故△ABC的周长为2++3. |思|维|建|模| 　　在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)代数式变形或者三角恒等变换前置； (4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.　 针对训练 4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2ccos B=2a-b，a=4，S△ABC=3，则b=(　　) A.3 B.3 C.6 D.6 √ 解析:由正弦定理及2ccos B=2a-b得2sin Ccos B=2sin A-sin B.又因为在△ABC中，sin A=sin(B+C)，所以2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B，整理得2sin Bcos C=sin B.因为在△ABC中，sin B≠0，所以2cos C=1，即cos C=.又因为C∈(0，π)，所以C=.又S△ABC=absin C=3，a=4，所以b=3. 5.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin=csin B， AC边上的高等于AC，求的值. 解:由正弦定理得sin Bsin=sin Csin B，又sin B≠0，则sin=sin C， 即sin=cos=sin C=2sincos. 又cos≠0，所以sin=.又∈，则=，即C=.又AC边上的高等于AC，所以S△ABC=b·b=absin C，即b=a，则= . 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 √ 解析:由题意有=b=，则sin B=1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(+1)，且sin B+sin C=sin A，则a=(　　) A. B.2 C.4 D.2 解析:由题知△ABC的周长为a+b+c=4(+1)　①，∵sin B+sin C =sin A，由正弦定理得b+c=a　②，∴由①②，可得a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若<cos A，则△ABC为(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 √ 解析:因为<cos A，由正弦定理可得<cos A，即sin C<cos Asin B.又因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，所以sin Acos B+cos Asin B<cos Asin B，即sin Acos B<0.因为A，B∈(0，π)，所以sin A>0，cos B<0，所以B∈.所以△ABC为钝角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin C=，c=4，B=，则△ABC的面积为(　　) A.1 B.2 C.1或7 D.2或14 √ 解析:由=可得b=.∵sin C=，∴cos C=-或cos C=， ∴sin A=sin(B+C)=sincos C+cossin C=或sin A=， ∴S△ABC=bcsin A=×4××=1或S△ABC=bcsin A=×4××=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在△ABC中，AC=，BC=3，cos A=，则B=(　　) A. B. C. D.或 √ 解析:∵在△ABC中，cos A=， ∴sin A==，∵AC=，BC=3，∴由正弦定理=，得sin B===.∵BC>AC，可得B为锐角，∴B=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的是 (　　) A.若A>B，则cos A>cos B B.若A=，a=4，则△ABC外接圆半径为4 C.若a=2bcos C，则△ABC为直角三角形 D.若b=1，c=3，A=，则S△ABC= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:当A=，B=，此时cos A<cos B，A错误；由正弦定理=2R可得2R=8，R=4，B正确；因为a=2bcos C，所以sin A=2sin Bcos C，即sin(B+C)=2sin Bcos C，整理可得sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0.因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C错误；因为b=1，c=3，A=， 所以S△ABC=bcsin A=×1×3×=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2025·全国Ⅰ卷)(多选)已知△ABC的面积为，若cos 2A+cos 2B+ 2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B 　 B.AB= C.sin A+sin B= 　 D.AC2+BC2=3 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B， ∴sin C=sin2A+sin2B，故A正确；∵cos Acos Bsin C=>0，∴A，B为锐角. 由===2R，得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2， 则C为锐角，即△ABC为锐角三角形， ∴由A+B>⇒A>-B，则sin A>sin，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B， 有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，矛盾，故a2+b2=c2， 即cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B=， ∵S=absin C=⇒ab=， ∴=(2R)2=2⇒2R==2R=⇒c=，故B正确； (sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+=⇒sin A+sin B=，故C正确； AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误.故选A、B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则sin Bsin C的值为_____________.  解析:因为S=bcsin A=，所以bc=. 由正弦定理得sin Bsin C==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A +acos B=0，则B=_______.  解析:由正弦定理可得，sin Bsin A+sin Acos B=0. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0. ∴sin B+cos B=0，化简得tan B=-1. ∵B∈(0，π)，∴B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有周长为2+的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1)，试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为 __________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正弦定理可得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1). 设a=(-1)m，b=m，c=(+1)m(m>0)， 因为△ABC的周长(-1)m+ m+(+1)m=(2+)m=2+， 解得m=1， 所以a=-1，b=，c=+1. 所以S= = =×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)在△ABC中，求证=(C≠90°). 证明：因为===2R(R为△ABC外接圆半径)， 所以左边=====右边， 所以等式成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(15分)设△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2cos(π+A)+sin+=0. (1)求角A；(6分) 解：由2cos(π+A)+sin+=0， 得-2cos A+cos 2A+=2cos2A-2cos A+=0， 即=0，故cos A=.因为A∈(0，π)，所以A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若c-b=a，求证：△ABC是直角三角形.(9分) 解：证明：由正弦定理及c-b=a，得sin C-sin B=sin A， 由(1)知A=，故B+C=.于是sin-sin B=sin， 则cos B-sin B=，即cos=. 因为0<B<，所以<B+<. 又c-b=a>0，C>B，从而B+=， 所以B=，则C=.因此△ABC是直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c+a=2bcos A. (1)求证：B=2A；(6分) 解：证明：由正弦定理及c+a=2bcos A， 可得sin C+sin A=2sin Bcos A， 由A+B+C=π，可得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin A=sin Bcos A-sin Acos B=sin(B-A)， 所以A=B-A或A+B-A=π.因为A，B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若△ABC是锐角三角形，a=1，求b的取值范围.(9分) 解：由正弦定理=且a=1，B=2A，可得b=2cos A. 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<A<，所以cos A∈，所以b的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在上的投影，且满足2csin B=||. (1)求cos C的值；(6分) 解：由为在上的投影，得||=bcos C. 又2csin B=||，即2csin B=bcos C， 根据正弦定理，得2sin Csin B=sin Bcos C. 在锐角△ABC中，B∈，则sin B>0，即2sin C=cos C. 由C∈，cos2C+sin2C=1，整理可得cos2C+cos2C=1， 解得cos C=(负值舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若b=，a=3ccos B，求△ABC的周长.(9分) 解：由a=3ccos B，根据正弦定理，可得sin A=3sin Ccos B. 在△ABC中，A+B+C=π，则sin(B+C)=3sin Ccos B， 所以sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Ccos B，即sin Bcos C=2sin Ccos B. 由(1)可知cos C=，sin C==，则sin B=cos B. 由sin2B+cos2B=1，则5cos2B+cos2B=1， 解得(负值舍去).根据正弦定理，可得=，则c==，a=c=.故△ABC的周长C=a+b+c=2+. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $