9.1.1 第1课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 正弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.　 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则 S=absin C=___________=__________.  2.正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的_____的比相等 符号语言 = = acsin B bcsin A 正弦 3.解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的______，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 4.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A，asin C=csin A，bsin C=csin B.　 元素 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形.(　　) (2)在△ABC中，若c2>a2+b2，则△ABC为钝角三角形.(　　) (3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解.(　　) 基础落实训练 × √ √ 2.在△ABC中，A=60°，BC=，则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B.1 C.2 D.3 √ 解析:设R为△ABC外接圆的半径，则由正弦定理，得2R===2，解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. 3.在△ABC中，A=45°，c=2，则AC边上的高等于　　　　.  解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 4.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B=b， 则A=　　　　.  解析:在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B，∵sin B≠0，∴sin A=. 又A为锐角，∴A=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [例1]　在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，c及三角形的面积. 解:由已知，得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由=，得c====4(+1). 所以A=45°，c=4(+1)，S△ABC=acsin =×8×4(+1)×=24+8. |思|维|建|模| 已知两角及一边解三角形 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论. 针对训练 1.在△ABC中，若B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 √ 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理=，得b===5. 2.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，求a的值. 解:在△ABC中，可得A=180°-B-C=180°-30°-135°=15°，又sin 15°=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 由正弦定理得=，所以a===-. 题型(二)　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解三角形. 解:∵=， ∴sin C===.∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°，b===+1； 当C=120°时，B=15°，b===-1. ∴b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. [变式拓展] 1.若本例条件增加“b>a”，求△ABC的面积. 解:由例2知，b=+1，C=60°， 故S△ABC=×2×(+1)×=. 2.若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，试判断角A有几个值? 解:∵=，∴sin A===. ∵c=>2=a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. |思|维|建|模| 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角，注意是否有两组解； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3)根据正弦定理求出第三条边.　 针对训练 3.在△ABC中，AB=2，AC=3，B=60°，则cos C等于(　　) A. B. C. D. √ 解析:由正弦定理，得=， 即=，解得sin C=， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C==. 4.在△ABC中，a=1，b=，A=30°，求边c的长. 解:由=，得sin B==. ∵a<b，∴B>A=30°，∴B=60°或B=120°. 当B=60°时，C=180°-60°-30°=90°. 此时，c= ==2. 当B=120°时，C=180°-120°-30°=30°.此时，c=a=1. 综上所述c=1或2. 题型(三)　三角形多解问题 [例3]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，不解三角形，确定下列判断正确的是 (　　) A.B=60°，c=4，b=5，有两解 B.B=60°，c=4，b=3.9，有一解 C.B=60°，c=4，b=3，有一解 D.B=60°，c=4，b=2，无解 解析:因为B=60°，c=4，如图，AD⊥BD于D，由直角△ADB可得AD=c×sin 60°=2.当b=2或b≥4时，有一解；当b<2时，无解；当2<b<4时，有两解.结合四个选项， 可知A、B、C三项错误. √ |思|维|建|模| 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况   A为锐角 A为钝角 关系式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 图形 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 针对训练 5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是 (　　) A.a=5，b=4，A=　　　 B.a=4，b=5，A= C.a=5，b=4，A= D.a=4，b=5，A= √ 解析:对于A，由正弦定理可知，=⇒sin B=. ∵a>b，∴B<A=，故△ABC有一解；对于B，由正弦定理可知，=⇒sin B=.∵b>a，∴B>A=，故△ABC有两解；对于C，由正弦定理可知，=⇒sin B=.∵A为钝角，∴B一定为锐角，故△ABC有一解；对于D，由正弦定理可知，=⇒sin B=>1，故△ABC无解. 6.在△ABC中，若A=120°，c=10，如果△ABC可解，求a的取值范围. 解:由题意，在△ABC中，若A=120°，则0°<C<60°， 由正弦定理得=，∴sin C===. 由△ABC可解，得0<sin C=<，解得a>10， 故边a的取值范围是(10，+∞). 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在△ABC中，a=4，A=45°，B=60°，则边b的值为 (　　) A.+1 B.2+1 C.2 D.2+2 √ 解析:由已知及正弦定理，得=， ∴b===2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中，已知A=，a=，b=1，则c的值为(　　) A.1 B.2 C.-1 D. √ 解析:由正弦定理=，得=， ∴sin B=.由a>b，得A>B， ∴B=，故C=，由勾股定理得c==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 √ 解析:由正弦定理和已知条件得=，∴sin B=>1. ∴此三角形无解.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 (　　) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= √ 解析:由正弦定理易知A、C、D正确.由sin 2A=sin 2B，可得A=B， 或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∴a=b或a2+b2=c2，B错误. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，sin B=sin 2A，则 (　　) A.sin B= B.cos A=-C.c=3 D.S△ABC=2 √ √ √ 解析:因为sin B=sin 2A，所以sin B=2sin Acos A，b=2acos A.又a=3，b=2，所以 cos A=，sin A=，sin B=.又b<a，所以cos B=，cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A，所以c=a=3，S△ABC=bcsin A=×2×3×=2.故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C=，c=，a=x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　) A. B.(，2) C.(1，2) D.(1，) √ 解析:在△ABC中，根据正弦定理=，即=，所以sin A=x，由题意可得，当A∈时，满足条件的△ABC有两个，所以<x<1，解得<x<2.则x的取值范围是(，2).故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5，则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4，则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点，满足+2+=0，则△APB与△BPC的面积相等 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5，A正确；由A知a∶b∶c=3∶4∶5，故a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，B正确；由B知，sin B=，又b=4，由正弦定理得2R===5，故△ABC外接圆半径为R=，C错误；取AC的中点E，则+=2，因为+2+=0，所以=-，即P点在AC的中线上，故△APB与△BPC的面积相等，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)在△ABC中，B=45°，b=，a=1，则A=　　　　.  解析:由正弦定理得，=，解得sin A=，所以A=30°或A=150°.又b>a，所以B>A，则A=30°. 30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC外接圆的面积为4π，请写出一组满足上述条件的边和角:a=_________，A=_______________.  解析:依题意，△ABC的外接圆半径R=2，由正弦定理得=2R=4，即a=4sin A，又0<A<π，取A=，则a=2. 2　 (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在△ABC中，若BC=，sin C=2sin A，则AB=________.  解析:由正弦定理，得AB=BC=2BC=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B+cos B=，则角A的大小为__________.  解析:由sin B+cos B=，1+sin 2B=2，所以sin 2B=1，所以B=45°.由正弦定理=，得sin A===.又a<b，所以A<B，所以A=30°. 30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=，b=1，C=120°，求: (1)角B；(5分) 解:由正弦定理=，得sin B==. 因为在△ABC中，b<c且C=120°，所以B=30°. (2)△ABC的面积S.(5分) 解:因为A+B+C=180°，所以A=180°-120°-30°=30°.所以S=bcsin A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，且bsin 2A=asin B. (1)求A；(4分) 解:由bsin 2A=asin B，则2sin Bsin Acos A=sin Asin B，在△ABC中，有sin A>0，sin B>0，故cos A=，又A∈(0，π)，∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若sin B=，求c.(6分) 解:∵sin B<sin A，∴B<A=， ∴cos B==.∵A+B+C=π， ∴sin C=sin(A+B)=×+×=.由正弦定理得c==3××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，△ADC是△ABD面积的倍. (1)求的值；(6分) 解:因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，所以===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若A=30°，AB=1，求AD的值.(9分) 解:因为A=30°，所以C=150°-B，由(1)得====，所以sin B=cos B+sin B， 即sin B=-cos B，得tan B=-， 易得B=120°.因为AD平分∠BAC，所以∠ADB=30°+15°=45°. 因为AB=1，由正弦定理知=，即=，解得AD=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)在△ABC中，A=α，b=m.分别根据下列条件，求边长a的取值范围. (1)△ABC有一解；(9分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由正弦定理=可得，sin B==. ①当a<b，即a<m时，sin B=>sin A. 若sin B>1，即>1，则B不存在，△ABC无解，此时a<msin α；若sin B=1，即=1，B=，△ABC有一解，此时a=msin α； 若sin B<1，即<1，因为sin B>sin A，此时B可能是锐角或钝角，即△ABC有两解，此时a>msin α，即msin α<a<m. ②当a=b，即a=m时，sin B==sin A，△ABC有一解； ③当a>b，即a>m时，sin B=<sin A， 此时B只能是锐角，△ABC有一解.综上所述，当△ABC有一解时，边长a的取值范围是a=msin α或a≥m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)△ABC有两解；(3分) 解:由(1)知，当△ABC有两解时，msin α<a<m. (3)△ABC无解.(3分) 解:由(1)知，当△ABC无解时，a<msin α. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $