阶段质量评价 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 A卷——基本知能盘查-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了向量的数量积（坐标运算、投影、垂直条件）与三角恒等变换（两角和差、二倍角公式、三角函数最值），通过单选、多选、解答题等题型从基础到综合覆盖核心内容，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，如向量垂直条件应用、三角公式与韦达定理结合的解答题解析，体现逻辑推理与数学表达。分层设计（基础题到综合题）适合不同学生，助力教师精准把握学情，有效巩固知识。

阶段质量评价 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 A卷——基本知能盘查 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=3sin+4cos(x∈R)的最大值为(　　) A.5 B. C. D.7 √ 解析：由辅助角公式，得f(x)=5sin，其中tan φ=，则当+φ=+2kπ，k∈Z，即x=π-2φ+4kπ，k∈Z时，f(x)取最大值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.已知a=(1，1)，b=(x，1)，a⊥(a+b)，则x= (　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 √ 解析：已知a=(1，1)，b=(x，1)，则有a+b=(x+1，2).又a⊥(a+b)， 所以(x+1)×1+2×1=x+3=0，即x=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 3.若向量a，b满足|a|=2，(a+2b)·a=6，则b在a上的投影的数量为 (　　) A.1 B. C.- D.-1 √ 解析：因为|a|=2，(a+2b)·a=6，所以|a|2+2a·b=6，即22+2a·b=6， 则a·b=1，故b在a上的投影的数量为|b|cos <a，b>==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.已知向量a=(1，2)，b=(m，3)，若a⊥(2a-b)，则a与b夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析： a=(1，2)，b=(m，3)，则2a-b=(2-m，1).又a⊥(2a-b)，即2-m+2=0，解得m=4，即b=(4，3).故cos <a，b>===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 5.已知平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于 (　　) A. B.2 C.4 D.12 √ 解析：因为a=(2，0)，所以|a|=2，|a+2b|== ==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.已知α是第四象限角，且sin α+cos α=，则tan=(　　) A.- B.- C.1 D.2 √ 解析：∵sin α+cos α=，α是第四象限角，∴cos α>0，sin α<0， 平方得(sin α+cos α)2=⇒2sin αcos α=-， cos α-sin α==. ∴sin α=-，cos α=.∴tan====-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E是CD上一点，则·的最小值为(　　) A.13 B.15 C.17 D.19 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：设=λ(0≤λ≤1)，则=λ=(1-λ) =+=λ+=+=(λ-1)+. 所以·=(λ+)·[(λ-1)+]=λ(λ-1)+ (2λ-1)·+=4λ2-4λ+16=4+15. 所以当λ=，即E是CD的中点时，·最小，最小值为15.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.已知α+β∈(0，π)，且tan α=2，cos(α+β)=-，则tan(α-β)=(　　) A.- B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=- 可得sin(α+β)===， 所以tan(α+β)=-.又tan 2α===-， 故tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　　) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由a，b，c是任意的非零向量，得0·a=0，故A错误；(a·b) ·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，而a，c不一定共线，故B错误；因为a，b是非零向量，若a·b=0，则a⊥b，故C正确；(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.已知α，β，γ∈，sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，则下列说法正确的是(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由已知，得sin γ=sin β-sin α，cos γ=cos α-cos β. 两式分别平方相加，得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1. ∴-2cos(β-α)=-1，∴cos(β-α)=.∴A正确，B错误. ∵sin γ=sin β-sin α>0，∴β>α.∴β-α=.∴C正确，D错误，故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.已知a=(cos θ，sin θ)，b=(cos φ，sin φ)，则下列选项可能成立的是 (　) A.|a+b|=|a-b| B.|a-b|=1 C.(a+b)·(a-b)=1 D.|4a-5b|=6 √ √ √ 解析： a+b=(cos θ+cos φ，sin θ+sin φ)，a-b=(cos θ-cos φ，sin θ-sin φ)， |a+b|2=(cos θ+cos φ)2+(sin θ+sin φ)2=2+2(cos θcos φ+sin θsin φ) =2+2cos(θ-φ)，|a-b|2=(cos θ-cos φ)2+(sin θ-sin φ)2 =2-2(cos θcos φ+sin θsin φ)=2-2cos(θ-φ)，若θ=φ+， 此时|a+b|2=|a-b|2=2，故|a+b|=|a-b|，A可能正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 若θ=φ+，此时|a-b|2=1，|a-b|=1，B可能正确； (a+b)·(a-b)=(cos θ+cos φ，sin θ+sin φ)·(cos θ-cos φ，sin θ-sin φ) =cos2θ-cos2φ+sin2θ-sin2φ=(cos2θ+sin2θ)-(cos2φ+sin2φ)=1-1=0，C一定不正确；|4a-5b|2=(4cos θ-5cos φ)2+(4sin θ-5sin φ)2=16+25-40(cos θcos φ +sin θsin φ)=41-40cos(θ-φ)，当cos(θ-φ)=时，|4a-5b|2=36， 故|4a-5b|=6，D可能正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)若cos xcos y+sin xsin y=，则cos(2x-2y)=______.  - 解析：因为cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y=， 因此，cos(2x-2y)=2cos2(x-y)-1=2×-1=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.(5分)设向量a与b满足|a|=2，b在a上的投影的数量为1，若存在实数λ，使得a与a-λb垂直，则λ=______.  2 解析：因为b在a上的投影的数量为1，设a与b的夹角为θ， 所以|b|cos θ=1.所以a·b=|a||b|·cos θ=2×1=2.因为存在实数λ， 使得a与a-λb垂直，所以a·(a-λb)=a2-λa·b=0，即22-2λ=0，即λ=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.(5分)已知函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R)，当x∈时，f(x)的最大值是4，则a=____.  1 解析：f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a =2sin+a+1.因为x∈，所以2x+∈. 当2x+=时，f(x)取得最大值为3+a=4，则a=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a=(4，3)，b=(-1，2). (1)求a与b夹角的余弦值；(6分) 解：因为a·b=4×(-1)+3×2=2，|a|==5，|b|==， 设a与b的夹角为θ，所以cos θ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值.(7分) 解：因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)，又(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.(15分)已知tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根，求下列各式的值. (1)tan(α+β)；(5分) 解：因为tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根， 所以tan α+tan β=-，tan αtan β=-. tan(α+β)===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2).(10分) 解：因为tan α+tan β=+===-， 所以sin(α+β)=-cos αcos β.又tan αtan β=·=-， 所以sin αsin β=-cos αcos β.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =-cos αcos β.所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.(15分)已知单位向量e1，e2，e1与e2的夹角为. (1)求证(2e1-e2)⊥e2；(6分) 解：证明：因为|e1|=|e2|=1，e1与e2的夹角为， 所以(2e1-e2)·e2=2e1·e2-=2|e1||e2|cos-=2×1×1×-12=0. 所以(2e1-e2)⊥e2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若m=λe1+e2，n=3e1-2e2，且|m|=|n|，求λ的值.(9分) 解：由|m|=|n|得=， 即(λ2-9)+(2λ+12)e1·e2-3=0. 因为|e1|=|e2|=1，e1与e2的夹角为. 所以==1，e1·e2=1×1×cos=. 所以(λ2-9)×1+(2λ+12)×-3×1=0， 即λ2+λ-6=0.所以λ=2或λ=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.(17分)已知2sin α=2sin2-1. (1)求sin αcos α+cos 2α的值；(7分) 解：已知2sin α=2sin2-1=-cos α， 所以tan α=-.所以sin αcos α+cos 2α ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan 2β-6tan β=1，求α+2β的值.(10分) 解：由tan 2β-6tan β=1，可得tan 2β==-. 所以tan(α+2β)===-1. 因为β∈，所以2β∈[0，π].又tan 2β=->-，则2β∈. 因为α∈(0，π)，tan α=->-，则α∈， 所以α+2β∈.所以α+2β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.(17分)如图，在菱形ABCD中，==2. (1)若=x+y，求3x+2y的值；(7分) 解：因为在菱形ABCD中，==2， 故=+=-. 故x=-，y=.所以3x+2y=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若||=6，∠BAD=60°，求·.(10分) 解：显然=+，所以·=(+)· =-+-·. 因为四边形ABCD是菱形，且||=6，∠BAD=60°， 故||=6，<>=60°. 所以·=6×6×cos 60°=18. 故·=-×62+×62-×18=-9. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $