第八章 专题微课 三角恒等变换中的“三变”策略-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换“三变”策略，先系统梳理两角和差、二倍角、辅助角公式构建知识体系，再通过变角、变名、变幂题型分类，结合例题解析与思维建模搭建学习支架，帮助学生衔接公式与解题应用。 其亮点在于以“三变”策略为核心，渗透数学运算、逻辑推理素养，如变角通过“拆配角”转化，变名采用“弦切互化”，变幂运用升降幂公式，配合跟踪检测强化巩固。学生能提升转化能力，教师可依托清晰框架高效开展专题教学。

专题微课　三角恒等变换中的“三变”策略　　 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式是高考的必考点，是三角恒等变换的基础，试题一般难度不大，体现数学运算、逻辑推理的核心素养；三角恒等变换是高考考查的热点，解决相关问题时能利用“三统一”原则及模块化的解题思路进行三角函数式之间的转化，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)函数与方程的思想：函数思想是指利用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想方法，方程思想则是通过列方程或方程组求解相关量的思想方法.函数与方程思想在解决三角恒等变换问题中有着重要的应用. (2)转化与化归思想：证明三角恒等式及条件求值问题中，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时逆用公式，这些都体现了转化与化归思想. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　变角——角的变换 题型(二)　变名——函数名称的变换 题型(三)　变幂——升幂与降幂变换 4 课时跟踪检测 题型(一)　变角——角的变换 01 [例1]　已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值. 解：∵0<α<，0<β<，∴-<α-β<，又tan(α-β)=-， ∴-<α-β<0.又∵cos α=，0<α<，∴sin α=. 又tan(α-β)=-=，且sin2(α-β)+cos2(α-β)=1， ∴sin(α-β)=-，cos(α-β)=. 从而cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =×-×=. |思|维|建|模| 　　当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果. 针对训练 1.已知sin α=-，α∈，若=2，则tan(α+β)=(　　) A. B. C.- D.- √ 解析：∵sin α=-，α∈，∴cos α=.又=2， ∴sin(α+β)=2cos[(α+β)-α].展开并整理，得cos(α+β)=sin(α+β)， ∴tan(α+β)=. 2.设cos=-，sin=，其中α∈，β∈，求cos的值. 解：∵α∈，β∈，∴α-∈-β∈， ∴sin===，cos ===.∴cos=cos =coscos+sinsin=-×+×=. 题型(二)　变名——函数名称的变换 02 [例2]　(1)已知sin α+2cos α=0，则2sin αcos α-cos2α的值是_______.  -1 解析：(1)由sin α+2cos α=0可知，cos α≠0，则tan α=-2， 故2sin αcos α-cos2α====-1. (2)化简：. 解析：原式== ====-1. |思|维|建|模| 　　“变名”是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“弦切互化”.但实际上，诱导公式、倍角公式和平方关系也能进行名变换. 针对训练 3.已知α，β都是锐角，且tan β=，则的值为______.  解析：显然cos α≠0，则tan β===tan. 因为α，β都是锐角，所以β=α-.所以==. 题型(三)　变幂——升幂与降幂变换 03 [例3]　化简：(0<θ<π). 解：原式= ==. 因为0<θ<π，所以0<<，所以cos>0. 所以原式=-cos θ. |思|维|建|模| 　　分析三角函数中的次数，看是低次的升幂，还是高次的降幂，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简求解的目的. 针对训练 4.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则 (　　) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 √ 解析：∵f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+， ∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B. 5.若α∈(0，π)，且3sin α+2cos α=2，则tan等于(　　) A. B. C. D. √ 解析： 3sin α+2cos α===2， 所以3tan+1-tan 2=tan 2+1， 解得tan=0或tan=.又α∈(0，π)， 所以tan≠0.所以tan=.故选D. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知sin 2α=，则cos2=(　　) A.- B.- C. D. √ 解析： cos2===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知A+B=，则tan A+tan B+tan Atan B-的值等于(　　) A.-2 B.2 C.0 D.1- √ 解析：因为tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)=(1-tan Atan B)，所以tan A+tan B+tan Atan B-=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知tan=3，则cos α=(　　) A. B.- C.- D. √ 解析： cos α=cos2-sin2====-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知sin=，则sin的值为(　　) A. B.- C. D.- √ 解析： sin=sin=-cos=2sin2-1=2×-1=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知tan(α+β)=，tan=，那么tan等于(　　) A. B. C. D. √ 解析： tan=tan===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.化简=(　　) A.1 B.-1 C.cos α D.-sin α √ 解析：原式=====1.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)设tan α=，tan(β-α)=-2，则tan β=______.  -1 解析：∵tan α=，tan(β-α)=-2，∴tan β=tan[(β-α)+α]==-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若tan θ+=m，则sin 2θ=_______.  解析：因为tan θ+=m，即=m，所以sin 2θ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知2sin x=1+cos x，则tan=_______.  解析：由2sin x=1+cos x，得===tan. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若角α满足cos=，则=_________.  解析：∵cos=(cos α-sin α)=，∴cos α-sin α=. ∴2sin αcos α=，∴==sin αcos α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知α，β均为锐角，且α+β≠.若sin(2α+β)=sin β， 则=____.  5 解析：由sin(2α+β)=sin β，可得2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]， 所以2[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]. 整理得sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α，所以tan(α+β)=5tan α， 即=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+. (1)化简函数f(x)的解析式；(3分) 解：f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin. (2)求函数f(x)在区间上的值域；(5分) 解：当x∈时，≤2x+≤，则-≤2sin≤2， 所以函数f(x)在区间上的值域为[-，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)设α∈，f=，求sin α的值.(7分) 解：因为f=2sin=，所以sin=， 因为α∈，所以<α+<， 所以cos=-，则sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)化简：cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ. 解：cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ=+-cos 2θ=1+[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-cos 2θ=1+(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°+cos 2θcos 30°+sin 2θsin 30°)-cos 2θ=1+×2cos 2θcos 30°-cos 2θ=1+cos 2θ-cos 2θ=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知0<α<，-<β<0，cos=，cos=. (1)求cos的值；(10分) 解：∵0<α<，∴<α+<.∵cos=， ∴sin=.∵-<β<0，∴<-<. ∵cos=，∴sin=. ∴cos=cos =coscos+sinsin=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求sin β的值.(5分) 解：sin β=sin =cos =2cos2-1=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $