第八章 专题微课 平面向量数量积的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的综合问题，从定义、运算性质及运算律入手，通过最值范围、极化恒等式、新定义问题等题型分类，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生构建知识体系。 其亮点在于融合数学运算、直观想象等核心素养，通过数形结合（如坐标法解最值问题）、转化与化归（极化恒等式应用）等思想，结合典型例题与跟踪检测，助力学生提升逻辑推理能力，教师可直接用于专题教学，有效提高课堂效率。

专题微课　平面向量数量积的综合问题 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 (1)向量数量积的考查高考中几乎年年都有，若以代数知识形态出现，则主要考查公式运用下的简单计算，聚焦的是数学运算素养. (2)若以几何形态出现，则突出对直观想象以及数学运算素养的考查. 2.渗透的数学思想 (1)数形结合思想:向量具有几何与代数两个特征，在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想. (2)转化与化归思想:解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想. (3)分类讨论思想:向量b在a上的投影的数量，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形用到分类讨论的思想. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　平面向量中的最值与 范围问题　　　　 题型(二)　极化恒等式的应用 题型(三) 立体几何中的新定义问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　平面向量中的最值与范围问题　　　　 01 [例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2，4) D.(-4，6) √ 解析:如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(-1，).设P(x，y)，则=(x，y)，=(2，0)， 且-1<x<3.所以·=(x，y)·(2，0)=2x∈(-2，6).故选A. (2)(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是(　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] √ 解析:因为||=||=，||=2， 由=-平方可得，·=0， 所以<>=. 因为2+=2(-)+-=+-2，||==5， 所以|2+|2=++4-4(+)· =2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·， 又|(+)·|≤|+|||=5×=10， 即-10≤(+)·≤10，所以∈， 即|2+|∈. |思|维|建|模| 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 针对训练 1.已知点D在Rt△ABC的斜边BC上，若AB=2，AC=3，则·的取值范围为(　　) A.[-2，3] B.[0，4] C.[0，9] D.[-4，9] √ 解析:设=λ，其中0≤λ≤1，则-=λ(-)， 从而=λ+(1-λ)，故·=[λ+(1-λ)]·(-) =λ-(1-λ)+(1-2λ)·=9λ-4(1-λ)=13λ-4∈[-4，9]，故选D. 2.已知向量a，b满足|a|=2|b|，a·b=-1，则|a+b|的最小值为______.  解析:设向量a，b的夹角为θ，因为a·b=-1，所以θ∈， 则a·b=|a||b|cos θ=2|b|2cos θ=-1，所以|b|2=≥， 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5|b|2-2≥，即|a+b|的最小值为. 题型(二)　极化恒等式的应用 02 1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2] 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2.平行四边形模式:如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点.则:(1)·=(||2-||2). 3.三角形模式:如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点， 则·=||2-||2. 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决. 记忆:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. [例2]　设向量a，b满足|a+b|=，|a-b|=，则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 √ 解题观摩:法一　因为|a+b|=，所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=10　①. 又|a-b|=，所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=6　②. ①-②得4a·b=4，所以a·b=1. 法二　由极化恒等式可得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]=(|a+b|2-|a-b|2)=1.故选A. |思|维|建|模| 　　在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下: 第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步:利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 针对训练 3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 √ 解析:设BC的中点为D，AD的中点为M， 连接DP，PM，∴·(+)=2· =2||2-||2=2||2-≥-， 当且仅当M与P重合时取等号. 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=______.  -16 解析:因为M是BC的中点，由极化恒等式得 ·=|AM|2-|BC|2=9-×100=-16. 题型(三)　平面向量中的新定义问题 03 [例3]　如图，在斜坐标系xOy中，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1，e2的夹角为60°，定义向量=xe1+ye2在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x，y)，记为=xe1+ye2=(x，y).在斜坐标系xOy中，完成如下问题. (1)若斜坐标系xOy中，a=(2，4)，b=(5，m)， 且a⊥b，求实数m的值； 解:依题意，得e1·e2=|e1||e2|cos 60°=，由a=(2，4)，b=(5，m)， 得a=2e1+4e2，b=5e1+me2，由a⊥b， 得a·b=(2e1+4e2)·(5e1+me2)=10+(2m+20)e1·e2+4m=0， 整理得20+5m=0，所以m=-4. (2)若斜坐标系xOy中，m=(4，-5)，n=(-2，3)，求向量m，n夹角θ的余弦值. 解:由(1)知e1·e2=，由m=(4，-5)，n=(-2，3)， 得m=4e1-5e2，n=-2e1+3e2， 则m·n=(4e1-5e2)·(-2e1+3e2)=-8+22e1·e2-15=-8+11-15=-12， |m|2=(4e1-5e2)2=16-40e1·e2+25=16-20+25=21，即|m|=， |n|2=(-2e1+3e2)2=4-12e1·e2+9=4-6+9=7，即|n|=， 所以向量m，n夹角θ的余弦值cos θ===-. |思|维|建|模| 　　向量的新定义问题就是给出一种新的概念、性质或新的运算法则，利用新概念、性质或新的运算法则来解决问题的题型，是知识迁移的一种形式.解决此类问题的关键是读懂并理解新概念及运算法则的实质，然后结合向量知识来解决. 针对训练 5.已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)a·b=|a||b|cos <a，b>，其中<a，b>表示向量a，b的夹角.定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)|a×b|=|a||b|sin<a，b>，其中<a，b>表示向量a，b的夹角.已知点A(0，1)，B(-1，)，O为坐标原点，则|×|= (　　) A.0.5 B.-1 C.0 D.1 √ 解析:因为点A(0，1)，B(-1，)，所以=(0，1)，=(-1，)， 所以||==1，||==2. 所以cos <>===， 因为<>∈[0，π]，所以<>=， 所以|×|=||||sin<>=1×2×sin=1. 6.对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ☉ = ，若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a☉b和b☉a都在集合中，则a☉b=________.  解析:因为a☉b==∈，故b☉a=∈.又|a|≥|b|>0，则≥1，0<≤1，可设m∈Z，t∈Z，令a☉b=，b☉a=，且m≥t>0.又夹角θ∈，所以cos2θ=∈， 对m，t进行赋值即可得出所以a☉b==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=.若D为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A.[4，12] B.[8，16] C.[4，16] D.[2，4] √ 解析:由题意得=λ+(1-λ)，0≤λ≤1，·= ·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||||cos A=16λ+4-4λ =12λ+4∈[4，16]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设a，b是单位向量，则(a+b)2-a·b的最小值是 (　　) A.-1 B.0 C. D.1 √ 解析:设a，b的夹角为θ∈[0，π]，因为|a|=|b|=1， 所以a·b=|a||b|cos θ=cos θ∈[-1，1]， 可得(a+b)2-a·b=a2+b2+a·b=2+cos θ≥1，当且仅当cos θ=-1时， 等号成立，所以(a+b)2-a·b的最小值是1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知向量a，b满足|a|=1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa+2b|≥|a+b|恒成立，则|b|的取值范围是(　　) A. B. C.[1，+∞) D.(1，+∞) √ 解析:因为|a|=1，a与b的夹角为，所以a·b=|b|cos=|b|. 把|xa+2b|≥|a+b|两边平方，整理可得x2+2|b|x+3|b|2-|b|-1≥0， 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0，即(|b|-1)(2|b|+1)≥0，解得|b|≥1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则·=(　　) A. B. C. D. √ 解析:由极化恒等式结论可得·=||2-||2=||2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设a，b均是非零向量，且|a|=2|b|，若关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，所以|a|2-4a·b≥0， 所以a·b≤.因为a，b均是非零向量，且|a|=2|b|， 所以cos <a，b>=≤==. 因为<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>∈，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.对任意非零向量a，b，定义新运算:a×b=.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈，若4(m×n)和4(n×m)都是整数，则m×n的值可能是(　　) A.2 B.3 C.4 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可得n×m==(k∈Z).因为|m|>3|n|>0， 所以0<<.因为θ∈，所以<sin θ<1.所以0<sin θ<， 即0<<，解得0<k<.因为k∈Z，所以k=1.所以n×m==. 则=4sin θ，则=<，得<sin θ<1， 故m×n==4sin2θ∈，符合该条件的是3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知a=(2sin 13°，2sin 77°)，|a-b|=1，a与a-b的夹角为，则a·b=______.  3 解析:因为a=(2sin 13°，2sin 77°)， 所以|a|= ==2. 又因为|a-b|=1，向量a与a-b的夹角为， 所以cos====，所以a·b=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知A，B(1，4)，且=(sin α，cos β)，α，β∈，则α+β=_________.  或- 解析:由题意知==(sin α，cos β)， ∴sin α=-，cos β=.又∵α，β∈， ∴α=-，β=或β=-.∴α+β=或α+β=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)定义a*b是向量a和b的“向量积”，其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2，0)，b=(1，)，则|a*(a+b)| =_______.  2 解析:因为a=(2，0)，b=(1，)，所以a+b=(3，).所以|a|=2，|a+b|=2.所以cos <a，a+b>==. 因为<a，a+b>∈[0，π]，所以sin<a，a+b>=. 所以|a*(a+b)|=2×2×=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且=λ·=-，则实数λ的值为_______，若M，N是线段BC上的动点，且||=1，则· 的最小值为______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意得AD∥BC，∠BAD=120°， 由·=cos ∠BAD=-=-，得=1， 因此λ==.取MN的中点E，连接DE， 则+=2·=[(+)2-(-)2] =-=-.注意到线段MN在线段BC上运动时， DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B=， 因此-的最小值为-=，即·的最小值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)已知向量a，b满足|a|=1，(a-b)⊥(3a-b)，求a与b的夹角的最大值. 解:设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π].因为(a-b)⊥(3a-b)， 所以(a-b)·(3a-b)=0.整理可得3a2-4a·b+b2=0，即3|a|2-4a·b+|b|2=0. 将|a|=1代入3|a|2-4a·b+|b|2=0，可得3-4|b|cos θ+|b|2=0， 整理可得cos θ=+≥2=，当且仅当=， 即|b|=时取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(15分)如图，在直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点. (1)若M是CD的中点，求·的值；(7分) 解:∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD=AB=1，得MD=CD=， ∵=+=+=-， ∴·=(+)·(-)=-=-12=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求(+)·的最小值.(8分) 解:设MD=x，则MC=1-x，其中0≤x≤1.∵MD是△MAB的中线， ∴+=2，得(+)·=2·= -2||·||=-2x(1-x)=2-，∵0≤x≤1， ∴当x=时，(+)·的最小值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D 分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 表示向量；(5分) 解:由已知可得=，四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+)=--. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求·的取值范围.(10分) 解:易知∠DMC=60°，且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=cos 60°=.所以·的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(-1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||=||，求向量；(6分) 解:=(n-8，t)，∵⊥a， ∴8-n+2t=0，又||=||， ∴(n-8)2+t2=5×64，解得t=±8， ∴或∴=(24，8)或(-8，-8). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若向量与向量a共线，常数k>0，当f(θ)=tsin θ取最大值4时，求·.(9分) 解:=(ksin θ-8，t)，∵向量与向量a共线， ∴t=-2ksin θ+16，tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k+.① 当k>4时，0<<1，∴sin θ=时，tsin θ取最大值为， 由=4，得k=8，此时θ==(4，8)， ∴·=(8，0)·(4，8)=32；②当0<k<4时，>1， ∴sin θ=1时，tsin θ取最大值为-2k+16， 由-2k+16=4，得k=6(舍去).综上所述，·=32. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $