第八章 重点题型强化（二） 向量数量积中有关最值、范围问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的最值、范围问题，涵盖数量积、模、夹角的最值题型。课堂从向量数量积计算入手，通过平行四边形动点等例题，搭建从基础运算到综合应用的学习支架，衔接向量与函数、几何知识脉络。 其亮点是题型分类清晰，例题解析注重方法提炼，如坐标化、函数法、数形结合，体现数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言（模型观念）。例如例1通过向量设元转化二次函数求最值，规律方法总结解题策略，帮助学生提升数学运算核心素养，教师可借助资料系统教学，提高课堂效率。

重点题型强化（二） 向量数量积中有关最值、范围问题 　 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学习目标 1.进一步掌握向量数量积的计算方法．　 2.掌握向量数量积中有关最值、范围问题的解决方法，培养数学运算核心素养． 题型一　向量数量积的最值、范围问题 例1 规律方法 求向量数量积的最值与范围的方法 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围．　　 √ 题型二　向量模的最值问题 　(1)已知平面向量a，b(a≠b)满足|a|＝1，且a与b－a的夹角为150°，若c＝(1－t)a＋tb(t∈R)，则|c|的最小值为 √ 例2 (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝2，则|a－λb|的最小值 为________． 规律方法 求向量模的最值(或范围)的方法 1．数形结合法：利用平面向量数量积的概念和几何意义，数形结合解决模的最值问题． 2．函数法：利用平面向量数量积的概念和性质，构建关于模长的函数模型，利用二次函数或三角函数求解模长的最值(或范围)．　　 题型三　向量夹角的最值问题 √ 例3 规律方法 求向量夹角的最值的方法 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围．　　 对点练3.已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ 的最小值为__________． 随堂演练 1．已知向量a＝(－m，m)，b＝(2，m)，m∈R，则a·b的最小值是 A．－1 B．－2 C．1 D．2 由题意可得a·b＝－2m＋m2＝(m－1)2－1，当m＝1时，a·b取到最小值 －1.故选A． √ √ √ √ √ 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 在▱ABCD中，DB＝AD，P为DC上的动点，·＝5，·＝6，则·的最小值为________． － 法二(函数法): 因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2＝|b|2－|b|＋1＝＋≥，所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值. 因为|a|＝1，所以设a＝(1，0)，b＝(x，y)，所以b－a＝(x－1，y)，由2|b－a|＝b·a，得2＝x，则x>0，所以4(x－1)2＋4y2＝x2，所以y2＝－x2＋2x－1，所以cos θ＝＝＝＝＝＝，所以当＝1，即x＝1时，cos θ取最小值. 根据题意，单位向量e1，e2的夹角为，则e1·e2＝－，则|e1－λe2|2＝e＋λ2e－2λe1·e2＝λ2＋λ＋1＝＋≥，则|e1－λe2|≥，即|e1－λe2|的最小值为.故选C． 因为e1，e2是夹角为120°的两个单位向量，所以e1·e2＝1×1×＝－.对于A，|e1－e2|＝＝，故A错误；对于B，|e2－te1|＝＝，当且仅当t＝－时，|e2－te1|取得最小值，最小值为，故B错误；对于C，|e2＋t(e1－e2)|＝＝＝，当且仅当t＝时取得最小值，故C正确；对于D，|e1＋e2|≤|e1＋te2|，两边平方可得≥0对任意的t恒成立，故D正确．故选CD． $