8.1.1 向量数量积的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，系统涵盖向量夹角、数量积定义、投影及几何意义等核心内容，通过“逐点清”模块搭建从概念到应用的递进式学习支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于以“多维理解”表格梳理概念本质，“微点练明”结合等腰梯形、等边三角形等实例强化应用，培养学生用数学眼光抽象概念、用数学思维推理计算的能力，教师可借助结构化资源提升教学效率，学生能在实例中深化理解并发展数学语言表达能力。

第八章 向量的数量积与 三角恒等变换 向量的数量积 8.1 向量数量积的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 8.1.1 课时目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两个向量的夹角 逐点清(二)　向量数量积的定义 逐点清(三)　向量的投影与向量 数量积的几何意义　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　两个向量的夹角 01 多维理解 定义 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作=a,=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作________ 范围 0≤<a,b>≤π 特例 <a,b>=___ a与b同向 <a,b>=___ a与b反向 <a,b>= a与b垂直，记作________. 规定________与任意向量垂直 <a,b> 0 π a⊥b 零向量 1.在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 微点练明 解析:如图,作向量=,则∠BAD是与 的夹角.在△ABC中,因为∠ACB=90°,BC=AB, 所以∠ABC=60°.所以∠BAD=120°. 2.若向量a,b的夹角为30°,则向量-a,-b的夹角为 (　　) A.60° B.30° C.120° D.150° √ 3.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A=60°,则下列说法正确的是 (　　) A.和的夹角为0° B.与的夹角为60° C.与的夹角为120° D.与的夹角为60° 解析:根据向量夹角的定义,知和的夹角为180°,与的夹角为120°,与的夹角为60°,与的夹角为60°,故选D. √ 4.如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F, G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量. (1)与的夹角是多少? 解:由题意,得弧DE所对的圆心角是45°, 即有∠DOE=45°,所以与的夹角为45°. (2)与垂直的向量有哪些? 解:由题易知BF是圆O的直径,OD⊥BF,CE∥BF∥AG, 如图所示,所以与垂直的向量有,,,, ,,,,,. 逐点清(二)　向量数量积的定义 02 1.向量数量积的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称_________________为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作_____，即a·b=________________.  两个非零向量a与b的数量积是一个______. 多维理解 |a||b|·cos <a，b> a·b |a||b|cos <a，b> 实数 2.向量数量积的性质 (1)|a·b|≤_______; (2)a·a=a2=_____，即|a|=________; (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔_________. |a||b| |a|2 a·b=0 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量数量积的运算结果是向量. (　　) (2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0. (　　) (3)|a·b|≤a·b. (　　) 微点练明 × × √ 2.已知|a|=5，|b|=3，且a·b=-12，则cos <a，b>的值为 (　　) A.- B.-4 C.- D. √ 解析:由题意可知cos <a，b>==-=-. 3.若a与b满足|a|=|b|=1，<a，b>=60°，则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 √ 解析:由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=，故选B. 4.已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a=(　　) A.3 B.-3 C. D.- √ 解析:在等边三角形ABC中，有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1 ×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. 5.已知单位向量e1，e2满足e1·e2=，则向量e1，e2的夹角是______.  解析:设夹角为θ，易知|e1|=1，|e2|=1. ∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=，∴cos θ=. ∵θ∈[0，π]，故θ=. 逐点清(三)　向量的投影与向量 数量积的几何意义　 03 1.投影向量或投影 如图(1)，设非零向量=a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'，则称向量_________为向量a在直线l上的投影向量或投影. 多维理解 2.向量a在向量b上的投影 给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图(2). 一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量________，但它们的方向既有可能______，也有可能______. 共线 相同 相反 3.投影的数量 一般地，如果a，b都是非零向量，则称_______________为向量a在向量b上的投影的数量.   投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数. |a|cos <a，b> 4.向量数量积的几何意义 两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的______与b的模的________. 特别地，当e为单位向量时，a·e=|a|cos <a，e>，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. 数量 乘积 1.设向量a·b=40，|b|=10，则a在b上的投影的数量为 (　　) A.4 B.4 C.4 D.8+ √ 微点练明 解析: a在b上的投影的数量为|a|cos <a，b>， ∵a·b=|a||b|cos <a，b>，∴|a|cos <a，b>===4. 2.已知|b|=3，a在b上的投影的数量为，则a·b的值为(　　) A.3 B. C.2 D. √ 解析:设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ=，∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 3.在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点. (1)求在上的投影的数量； 解:如图所示，连接AD. 因为D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB=2，∠ABC=30°， 所以CD=BD=AB·cos 30°=. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角， 所以向量与的夹角为150°. 在上的投影的数量为||cos 150°=2×cos 150°=-. (2)求在上的投影的数量. 解:在上的投影的数量为||cos 150° =cos 150°=-. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于 (　　) A.-3 B.-6 C.6 D.2 √ 解析:因为|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°， 所以a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为120°，则a在b上的投影的数量为 (　　) A.-2 B. C.-2 D.2 √ 解析:　因为|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为120°， 所以a在b上的投影的数量为|a|cos <a，b>=4×cos 120°=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为 (　　) A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J √ 解析:由题意，根据向量的数量积的定义， 可得力F做的功W=F·s=10×10cos 60°=50(J)，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在等腰Rt△ABC中，若C=90°，AC=，则·的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 解析:·=||||cos B=2××cos 45°=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知|a|=3，|b|=6，当a∥b时，a·b= (　　) A.18 B.-18 C.±18 D.0 √ 解析:若a与b同向，则它们的夹角为0°， 所以a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18；若a与b反向， 则它们的夹角为180°，所以a·b=|a||b|·cos 180°=3×6×(-1)=-18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则·=(　　) A.a2 B.-a2 C.a2 D.-a2 √ 解析:由题意可知，在△BCD中，BC=DC=a，∠BCD=120°，∠CBD=30°，BD=2×a=a.又<>=150°， 所以·=||·||cos 150°=-a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知|a|=，b是非零向量，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影为-e，则a与b的夹角为(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° √ 解析:设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影为e，则e=-e，所以=-1，即cos θ=-1，所以cos θ=-.因为0°≤θ≤180°，所以θ=135°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在△ABC中，若·>0，则角B的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 解析:因为·=-·>0，所以·=||||cos B<0， 即cos B<0.又因为角B为△ABC的内角，所以<B<π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)如图所示，在边长为1的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是 (　　) A.-= B.++=0 C.·=1 D.·=· √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正六边形性质可知，正六边形ABCDEF对边平行且相等， 对角线交于O，将正六边形分成六个全等正三角形. -=-=，A错误；++=++++++=++ =++=0，B正确；·=2×1×cos 60°=1，C正确；·=·=1×1×cos 60°=·=1×1×cos 120° =-·≠·，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(多选)设|a|=1，|b|=2，b在a的投影为c，则 (　　) A.a·c=c·b B.a·b=a·c C.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c| √ √ 解析:设b与a的夹角为θ，当θ为锐角时，a·c=|a||c|=|c|，c·b=|c||b|cos θ =|c|2，不一定相等，故A错误；当θ为锐角时，a·b=|a||b|·cos θ=|b|cos θ =a·c=|a||c|=|c|，成立，当θ为钝角时，a·b=|a||b|cos θ=|b|cos θ=a·c =-|a||c|=-|c|，成立，当θ为直角时，a·b=a·c=0成立，故B正确；|a·c|=|a||c|=|c|≤|b|=2，故C正确；a·c=|a||c|cos θ，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知|a|=6，向量e为单位向量，<a，e>=，则向量a在向量e上的投影为_____.  3e 解析:因为|a|=6，向量e为单位向量，<a，e>=，所以向量a在向量e上的投影为·=(a·e)e=|a||e|cos·e=6×·e=3e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图，9个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i=1，2，…，14)是小正方形的其余各个顶点，则·(i=1，2，…，14)的不同值的个数为_____.  4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由向量的数量积的定义，可得·=||||cos <>.根据题图可得，当i=3，7，11时，||cos <>=0，此时·=0；当i=4，8，12时，||cos <>=|AP1|，此时·=3；当i=5，9，13时，||cos <>=|AP2|，此时·=6；当i=6，10，14时，||cos <>=||，此时·=9，所以·的不同值的个数为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°，求 (1)·；(2分) 解:易知=，∴·==9. (2)·；(2分) 解:∵=-，∴·=-=-16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)·；(3分) 解:根据平面向量数量积的定义知， ·=||||cos 60°=4×3×=6. (4)·.(3分) 解:由=-，得·=-·=-4×3×cos 60°=-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求: (1)·；(5分) 解:因为||=5，||=4，||=3， 所以||2+||2=||2，即AC⊥BC， 所以cos B==.所以·=||||·cos(π-B)=5×4×=-16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在上的投影；(5分) 解:由(1)知，AC⊥BC，所以cos A==， 所以在上的投影为||cos A·=3××=. (3)在上的投影.(5分) 解:由(1)知，cos B=，所以在上的投影为||cos(π-B)· =5××=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $