8.2.4 三角恒等变换的应用（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

8.2.4 三角恒等变换的应用 题型一 给角求值型问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值：． 题型二 给值求值型问题 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求的值． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，，求： (1)的值； (2). 题型三 给值求角型问题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 题型四 无条件的恒等式证明 1．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 2．（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 3．（20-21高二下·江西吉安·期末）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数. ①； ②； ③； ④ （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 题型五 有条件的恒等式证明 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 4．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 题型六 判断三角形的形状 1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，则此三角形是______三角形． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是的两个内角，向量，． (1)是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由． (2)求的最大值，并判断此时的形状． 题型七 三角形中的三角恒等式 1．（22-23高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 3．（19-20高一·全国·课后作业）求证：． 题型八 半角公式的应用 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 题型九 万能公式的应用 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 2．（23-24高一下·四川广元·月考）已知，求 (1)及的值； (2) 题型十 积化和差与和差化积问题 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）化简：_____________． 3．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，求证：． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型一 三角恒等变换的综合问题 1．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 2．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 3．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 题型一 三角公式与函数的图象、性质 1．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 题型二 三角函数的实际应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 3．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 4．（25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 5．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. (1)证明为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值. 6．（25-26高一下·湖北武汉·月考）设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. (1)设函数，求函数的相伴向量； (2)记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4 三角恒等变换的应用 题型一 给角求值型问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、给角求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 题型二 给值求值型问题 1．【答案】C 2．【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式可得. 【详解】，． 又，． ． 3．【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】（1）因为，，， 所以， 则； （2）由，，可得 则.所以． 题型三 给值求角型问题 1．【答案】B 2．【答案】/ 3．【答案】(1)； (2). 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、给值求角型问题 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 题型四 无条件的恒等式证明 1．【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 2．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、无条件的恒等式证明 【分析】（1）结合切化弦和诱导公式，利用两角差的余弦公式进行化简，即可证明等式； （2）利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式化简左式，从而可证该恒等式． 【详解】（1）左边＝ ＝右边． 故原式得证． （2）左边 ， 故左边与右边相等，即原等式成立． 3．【答案】（1）；（2）三角恒等式，证明见解析. 【知识点】无条件的恒等式证明、给值求值型问题、cos2x的降幂公式及应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）选择③，直接根据特殊角的三角函数值计算即可得答案； （2）根据题意推广为，再根据降幂公式和余弦的和角公式展开化简即可证明. 【详解】（1）选择③， 计算如下：. （2）三角恒等式. 证明 题型五 有条件的恒等式证明 1．【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【详解】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 3．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 4．【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 题型六 判断三角形的形状 1．【答案】A 2．【答案】等边 3．【答案】(1)是， (2)，等腰钝角三角形． 【知识点】数量积的运算律、利用三角恒等变换判断三角形的形状、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由向量运算以及三角恒等变换即可求解； （2）由三角恒等变换以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由条件得，因， 则， 即， 则， 即， 故得为定值． （2）， 由（1）知，因， 故，， 从而， 取等号的条件是，即当时取得最大值， 此时为等腰钝角三角形． 题型七 三角形中的三角恒等式 1．【答案】D 2．【答案】证明见解析 【知识点】三角形中的三角恒等式、无条件的恒等式证明 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. 3．【答案】证明见解析 【知识点】无条件的恒等式证明 【解析】运用二倍角公式的余弦公式及两角和差的余弦公式，即可得证； 【详解】证明  左边 右边， ∴原等式成立． 题型八 半角公式的应用 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】 题型九 万能公式的应用 1．【答案】证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、万能公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式变换取得相等． 【详解】证明：设，由万能公式，则，， 分别代入原式两边，并进行代数式变形： 左边， 右边， ∵左边右边，∴原等式成立． 2．【答案】(1)，， (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、万能公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用万能公式求出，利用同角三角函数关系求出正切值； （2）利用正弦差角公式求出答案. 【详解】（1）， ， 故； （2）. 题型十 积化和差与和差化积问题 1．【答案】AC 2．【答案】/ 3．【答案】 4．【答案】证明见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、无条件的恒等式证明、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式以及诱导公式即可求证. 【详解】由，得， ， 又， ∴ 右边， ∴原等式成立． 5．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 题型一 三角恒等变换的综合问题 1．【答案】(1)； (2) 【知识点】积化和差公式、三角恒等变换的化简问题、cos2x的降幂公式及应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 2．【答案】(1)且 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】（1）由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. （2）因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 3．【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 4．【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、解正弦不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值、积化和差公式 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将待证式左边同乘后再利用积化和差公式即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即. （2）由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或. （3）设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证. 题型一 三角公式与函数的图象、性质 1．【答案】(1) (2)（i）（ii），最多8个元素. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、根据交集结果求集合元素个数 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行化简，再根据余弦函数的性质，求出函数单调递增区间. （2）（i）根据不等式，求出自变量的范围，进而写出函数的解析式，根据解析式求出给定区间里的值域即可； （ii）根据函数周期性求出方程的解，进而判断集合交集为空集时参数的范围，并判断此时集合中元素的个数. 【详解】（1） ， 令，解得， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，即，化简得，解得. 同理时，解得. 所以， （i）当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 综上，在上的值域为. （ii）由题意，且是周期为的函数， 结合（2）可知，在上的根依次为， 因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素. 2．【答案】(1)，单调增区间为 (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、给值求值型问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间； （2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可. 【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 所以，因为， 所以， 则，则仅当时，符合题意， 所以，令， 解得 ， 综上，的解析式为， 单调增区间为. （2）由（1）得， 所以， 则，因为， 则，所以， 则 . 3．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 4．【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性求解. （2）（i）分析函数在上的性质，结合函数图象与直线交点个数求出范围；（ii）求出的值及的范围即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递减区间为. （2）（i）由，得，则当时，函数单调递增， 函数值从增大到，当时，函数单调递减，函数值从减小到， 方程在上有两个不同的实根， 即直线与函数在上的图象有两个交点，则， 所以的取值范围是. （ii）由（i）知，，因此， 所以的取值范围是. 题型二 三角函数的实际应用 1．【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、解正弦不等式 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并求出该函数的定义域，进而求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的值域； （2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 即， ，则， 所以，则. 所以的值域为 （2）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 2．【答案】(1)建系见解析，点，点 (2) 【知识点】三角恒等变换的实际应用、三角函数定义的其他应用 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 3．【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的实际应用、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 4．【答案】(1)，定义域为. (2) (3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的实际应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 5．【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、三角恒等变换的实际应用、三角恒等变换的化简问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）设， 在直角三角形中表示出，进而表示出的周长，根据已知化简得出，结合角的范围即可得出答案； （2）方法一：利用角的正弦表示出面积，然后根据角的范围结合三角函数的性质得出最值；方法二：，将面积表示成角的正切形式，根据正切运算结合基本不等式求解得出答案；方法三：设，根据已知三角形的周长，化简得出，然后表示出三角形的面积，进而根据基本不等式求解即可得出答案. 【详解】（1）设， 由已知可得，，， 所以，，. 因为的周长为2， 所以， 即， 所以. 所以，. 又， 所以， ， 所以，为定值. （2）方法一： 所以最小值为. 方法二： . 由， 化简得. 因为，当且仅当时，等号成立 所以，， 整理可得， 所以， 整理得， 所以. 方法三： 设 . 令， 则. 当且仅当时，S的最小值为. 6．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可； （2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围； （3）根据辅助角公式可得的解析式，根据最大值可得的表达式，根据倍角公式可用表示，令，根据已知不等式可得到m的范围，换元法可求得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以函数的相伴向量 （2）的“相伴函数”为， 方程，即，， 该方程有四个实数解， 所以，有四个实数解， 令，， ①当时，； ②当时，， 即 作出的图象，如图： 由图知，当函数的图象与直线有四个交点时，实数k的取值范围为. （3）向量的“相伴函数”， 其中，，， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以. 由知，且，. 令，则，即，解得， 所以()， 因为在上单调递增，所以， 所以 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4 三角恒等变换的应用 题型一 给角求值型问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 2．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】应用诱导公式化简，再结合两角差正弦公式求解. 【详解】 原式 . 故选：C. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值：． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、给角求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 题型二 给值求值型问题 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求的值． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式可得. 【详解】，． 又，． ． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，，求： (1)的值； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】（1）因为，，， 所以， 则； （2）由，，可得 则.所以． 题型三 给值求角型问题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求角型问题 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、给值求角型问题 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 题型四 无条件的恒等式证明 1．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 2．（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、无条件的恒等式证明 【分析】（1）结合切化弦和诱导公式，利用两角差的余弦公式进行化简，即可证明等式； （2）利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式化简左式，从而可证该恒等式． 【详解】（1）左边＝ ＝右边． 故原式得证． （2）左边 ， 故左边与右边相等，即原等式成立． 3．（20-21高二下·江西吉安·期末）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数. ①； ②； ③； ④ （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）；（2）三角恒等式，证明见解析. 【知识点】无条件的恒等式证明、给值求值型问题、cos2x的降幂公式及应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）选择③，直接根据特殊角的三角函数值计算即可得答案； （2）根据题意推广为，再根据降幂公式和余弦的和角公式展开化简即可证明. 【详解】（1）选择③， 计算如下：. （2）三角恒等式. 证明 题型五 有条件的恒等式证明 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【详解】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 4．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 题型六 判断三角形的形状 1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，则此三角形是______三角形． 【答案】等边 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和正切公式求出，再由二倍角正弦公式求得，从而得解. 【详解】由， 得，即， 由，得，所以或． 由得，与有定义矛盾，所以只能． 所以是等边三角形． 故答案为：等边 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是的两个内角，向量，． (1)是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由． (2)求的最大值，并判断此时的形状． 【答案】(1)是， (2)，等腰钝角三角形． 【知识点】数量积的运算律、利用三角恒等变换判断三角形的形状、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由向量运算以及三角恒等变换即可求解； （2）由三角恒等变换以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由条件得，因， 则， 即， 则， 即， 故得为定值． （2）， 由（1）知，因， 故，， 从而， 取等号的条件是，即当时取得最大值， 此时为等腰钝角三角形． 题型七 三角形中的三角恒等式 1．（22-23高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中的三角恒等式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】三角形中的三角恒等式、无条件的恒等式证明 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. 3．（19-20高一·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】无条件的恒等式证明 【解析】运用二倍角公式的余弦公式及两角和差的余弦公式，即可得证； 【详解】证明  左边 右边， ∴原等式成立． 题型八 半角公式的应用 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 2．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 【答案】 【知识点】半角公式 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 题型九 万能公式的应用 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、万能公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式变换取得相等． 【详解】证明：设，由万能公式，则，， 分别代入原式两边，并进行代数式变形： 左边， 右边， ∵左边右边，∴原等式成立． 2．（23-24高一下·四川广元·月考）已知，求 (1)及的值； (2) 【答案】(1)，， (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、万能公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用万能公式求出，利用同角三角函数关系求出正切值； （2）利用正弦差角公式求出答案. 【详解】（1）， ， 故； （2）. 题型十 积化和差与和差化积问题 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）化简：_____________． 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、和差化积公式 【分析】由诱导公式，得，再根据和差化积公式及二倍角的正弦公式、诱导公式化简即可. 【详解】 ． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 【答案】 【知识点】和差化积公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、无条件的恒等式证明、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式以及诱导公式即可求证. 【详解】由，得， ， 又， ∴ 右边， ∴原等式成立． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 题型一 三角恒等变换的综合问题 1．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】积化和差公式、三角恒等变换的化简问题、cos2x的降幂公式及应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 2．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】（1）由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. （2）因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 3．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 4．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、解正弦不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值、积化和差公式 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将待证式左边同乘后再利用积化和差公式即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即. （2）由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或. （3）设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证. 题型一 三角公式与函数的图象、性质 1．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 【答案】(1) (2)（i）（ii），最多8个元素. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、根据交集结果求集合元素个数 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行化简，再根据余弦函数的性质，求出函数单调递增区间. （2）（i）根据不等式，求出自变量的范围，进而写出函数的解析式，根据解析式求出给定区间里的值域即可； （ii）根据函数周期性求出方程的解，进而判断集合交集为空集时参数的范围，并判断此时集合中元素的个数. 【详解】（1） ， 令，解得， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，即，化简得，解得. 同理时，解得. 所以， （i）当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 综上，在上的值域为. （ii）由题意，且是周期为的函数， 结合（2）可知，在上的根依次为， 因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素. 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)，单调增区间为 (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、给值求值型问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间； （2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可. 【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 所以，因为， 所以， 则，则仅当时，符合题意， 所以，令， 解得 ， 综上，的解析式为， 单调增区间为. （2）由（1）得， 所以， 则，因为， 则，所以， 则 . 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性求解. （2）（i）分析函数在上的性质，结合函数图象与直线交点个数求出范围；（ii）求出的值及的范围即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递减区间为. （2）（i）由，得，则当时，函数单调递增， 函数值从增大到，当时，函数单调递减，函数值从减小到， 方程在上有两个不同的实根， 即直线与函数在上的图象有两个交点，则， 所以的取值范围是. （ii）由（i）知，，因此， 所以的取值范围是. 题型二 三角函数的实际应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、解正弦不等式 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并求出该函数的定义域，进而求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的值域； （2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 即， ，则， 所以，则. 所以的值域为 （2）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)建系见解析，点，点 (2) 【知识点】三角恒等变换的实际应用、三角函数定义的其他应用 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 3．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的实际应用、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 4．（25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【答案】(1)，定义域为. (2) (3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的实际应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 5．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. (1)证明为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、三角恒等变换的实际应用、三角恒等变换的化简问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）设， 在直角三角形中表示出，进而表示出的周长，根据已知化简得出，结合角的范围即可得出答案； （2）方法一：利用角的正弦表示出面积，然后根据角的范围结合三角函数的性质得出最值；方法二：，将面积表示成角的正切形式，根据正切运算结合基本不等式求解得出答案；方法三：设，根据已知三角形的周长，化简得出，然后表示出三角形的面积，进而根据基本不等式求解即可得出答案. 【详解】（1）设， 由已知可得，，， 所以，，. 因为的周长为2， 所以， 即， 所以. 所以，. 又， 所以， ， 所以，为定值. （2）方法一： 所以最小值为. 方法二： . 由， 化简得. 因为，当且仅当时，等号成立 所以，， 整理可得， 所以， 整理得， 所以. 方法三： 设 . 令， 则. 当且仅当时，S的最小值为. 6．（25-26高一下·湖北武汉·月考）设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. (1)设函数，求函数的相伴向量； (2)记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； (3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可； （2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围； （3）根据辅助角公式可得的解析式，根据最大值可得的表达式，根据倍角公式可用表示，令，根据已知不等式可得到m的范围，换元法可求得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以函数的相伴向量 （2）的“相伴函数”为， 方程，即，， 该方程有四个实数解， 所以，有四个实数解， 令，， ①当时，； ②当时，， 即 作出的图象，如图： 由图知，当函数的图象与直线有四个交点时，实数k的取值范围为. （3）向量的“相伴函数”， 其中，，， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以. 由知，且，. 令，则，即，解得， 所以()， 因为在上单调递增，所以， 所以 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $