8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，涵盖数量积、模、夹角、垂直的坐标表示及两点间距离公式。课前通过表格梳理公式、微点助解强调关键点、基础训练题巩固，搭建从概念到基础应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是采用梯度进阶式教学，按数量积运算、向量的模、夹角与垂直分类题型，结合矩形、直角梯形等实例，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观）。提供思维建模和针对训练，学生能循序渐进掌握，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

8.1.3 向量数量积的坐标运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 设a，b是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b 的夹角为θ，则有 数量积 a·b=__________ 模 |a|=__________或|a|2=_______ 夹角 cos θ==__________________ x1x2+y1y2 + 续表 两点间 距离公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则||=_________________________ 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔________________ x1x2+y1y2=0 |微|点|助|解|　　关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ ≤180°时)，还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时). (2)公式a·b=|a||b|cos <a，b>与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b=|a| |b|cos <a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，满足x1y2-x2y1=0，则向量a，b的夹角为0°. (　　) (2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (　　) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角. (　　) 基础落实训练 × × × 2.已知=(3，-4)，则||等于(　　) A.3 B.4 C. D.5 √ 解析: ||==5. 3.若向量a=(4，2)，b=(6，m)，且a⊥b，则m的值是 (　　) A.12 B.3 C.-3 D.-12 √ 解析:∵a⊥b，∴4×6+2m=0，解得m=-12. 4.已知向量a=(-4，3)，b=(5，12)，则a·b= (　　) A.52 B.-3 C.-10 D.16 √ 解析:由已知得a·b=-20+36=16.故选D. 5.已知a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为_______.  解析:因为a·b=3×5+4×12=63，|a|==5，|b|==13，所以a与b夹角的余弦值为==. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　平面向量数量积的坐标表示 [例1]　(1)设a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 √ 解析:∵a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，∴a+2b=(-5，6). ∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. (2)已知矩形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足=3 =2，则·等于(　　) A.20 B.15 C.9 D.6 解析:因为ABCD为矩形，建系如图.A(0，0)，M(6，3)，N(4，4).则=(6，3)，=(2，-1)，·=6×2-3×1=9. √ |思|维|建|模| 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 针对训练 1.已知点P(2，4)，Q(1，6)，向量=(2，λ)，若·=0，则实数λ的值为(　　) A. B.- C.2 D.1 √ 解析:由P(2，4)，Q(1，6)可得=(-1，2)，又=(2，λ)， 所以·=-2+2λ=0，解得λ=1.故选D. √ 2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别为BC，DC的中点，则·=(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0，0)，B(2，0)，E(2，2)，F(1，4)，则=(2，2)，=(-1，4)，所以·=6. 题型(二)　向量的模 [例2]　(1)设平面向量a=(1，2)，b=(-2，y)，若a∥b，则|3a+b|等于 (　　) A. B. C. D. √ 解析:∵a∥b，∴1×y-2×(-2)=0，解得y=-4.∴3a+b=(1，2)， 则|3a+b|=. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=2，P是线段AB上的动点，则|+4|的最小值为(　　) A.3 B.6 C.2 D.4 √ 解析:如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设AB=a，BP=x(0≤x≤a)，因为AD=1，BC=2， 所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a).所以=(2，-x)， =(1，a-x)，4=(4，4a-4x). 所以+4=(6，4a-5x). 所以|+4|=≥6. 所以当4a-5x=0，即x=a时，|+4|的最小值为6.故选B. |思|维|建|模| 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|==，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 针对训练 3.已知=(1，3)，=(3，m)，·=2，则||=(　　) A.1 B.2 C. D.3 √ 解析:因为=-=(2，m-3)，则·=2+3(m-3)=2， 则m=3，所以=(2，0)，则||=2，故选B. 4.已知向量a=(cos θ，sin θ)，向量b=(，0)，则|2a-b|的最大值为_______.  2+ 解析:由题意得2a-b=(2cos θ-，2sin θ)， 则|2a-b|2=(2cos θ-)2+(2sin θ)2=4cos2θ-4cos θ+3+4sin2θ =7-4cos θ，当且仅当cos θ=-1时，|2a-b|取最大值2+. 题型(三)　向量的夹角与垂直 [例3]　已知向量a=(m+1，2)，b=(-1，-m). (1)若m>0，且(a+b)⊥b，求向量a在向量b上投影的坐标； 解:由a=(m+1，2)，b=(-1，-m)，可得a+b=(m，2-m). 因为(a+b)⊥b，可得-m+m(m-2)=m2-3m=0，解得m=0或m=3， 又因为m>0，所以m=3，此时a=(4，2)，b=(-1，-3)， 可得a·b=-10且|b|=，所以a在b上的投影为·b=-b=(1，3). (2)若向量a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 解:因为a=(m+1，2)，b=(-1，-m)，a与b的夹角为锐角， 所以a·b>0且a与b不共线， 则满足解得m<-且m≠-2， 故实数m的取值范围为(-∞，-2)∪. |思|维|建|模| 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 针对训练 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析:因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，故x=2，故选D. 6.如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么 cos ∠DOE的值为________.  解析:以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则由已知条件，可得==. 故cos ∠DOE===. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知向量a=(1，2)，b=(m，-1)，若a⊥b，则|b|= (　　) A. B.20 C.2 D. √ 解析:因为a⊥b，所以a·b=m-2=0，解得m=2.所以b=(2，-1). 所以|b|==，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.向量a，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为1，则|a-b|= (　　) A.2 B. C.2 D.3 √ 解析:由题图可知，a=(3，1)，b=(1，2)， ∴a-b=(2，-1)，|a-b|==，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.平面向量a与b相互垂直，已知a=(6，-8)，|b|=5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b= (　　) A.(-3，-4) B.(4，3) C.(-4，3) D.(-4，-3) √ 解析:设b=(x，y)，∵a⊥b，∴a·b=0.∴6x-8y=0　①， |b|==　②. ∵b与向量(1，0)夹角为钝角，∴x<0　③. 由①②③解得∴b=(-4，-3)，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)已知平面向量a=(1，0)，b=(1，2)，则下列说法正确的是(　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos <a，b>= D.向量a+b在a上的投影为2a √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为向量a=(1，0)，b=(1，2)， 所以a+b=(1+1，0+2)=(2，2).所以|a+b|==4，A错误. a·(a+b)=1×2+0×2=2，B正确.由向量的夹角公式， 可得cos <a，b>==，C错误. 向量a+b在a上的投影为·=×a=2a，D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 √ 解析: a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±，故B、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知a=(1，2)，b为单位向量，若a·b+|a||b|≤0，则b= (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可得a·b+|a||b|=|a||b|·cos <a，b>+|a||b| =|a||b|(cos <a，b>+1)≤0.因为|a|，|b|≠0， 所以cos <a，b>+1≤0，即cos <a，b>≤-1， 可得cos <a，b>=-1.又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=π， 即a，b反向，可得b=-=-a=-a=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设点D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·=(　　) A.16 B.12 C.8 D.-4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)，设E(0，b)， 则=(-4，b)，=(2，3)，=(0，6). 由题意可知·=0，即(-4，b)·(2，3)=0，即-8+3b=0， 解得b=.所以E=，所以·=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知向量a=(-1，1)，b=(1，2)，则a·(a+2b)=_____.  4 解析:∵a+2b=(1，5)，∴a·(a+2b)=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥ (a-b)，则|a|=________.  解析:∵a-b=(1，1-2x)，a⊥(a-b)，∴由a·(a-b)=0， 得x+1-2x=0，解得x=1，故|a|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在边长为12的正三角形ABC中，E为BC的中点，F在线段AC上且AF=FC.若AE与BF交于M，则·=________.  -27 解析:如图所示，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，6)，B(-6，0)，AF=FC，F(2，4)， 设M(0，m)，=λ=λ(8，4)，即(6，m)=λ(8，4)，m=3·=(0，3)·(-6，-3)=-27. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知k∈R，向量a=(1，1+k)，b=(k，2).若向量2a-b与b平行，则k的值为________；若向量2a-b与b的夹角为钝角，则 k的取值范围为___________________________.  -2或1 (-∞，-2)∪(-2，0)∪(6，+∞) 解析:由向量a=(1，1+k)，b=(k，2)，所以2a-b=(2-k，2k). 又2a-b与b平行，所以2(2-k)-2k2=0，解得k=-2或k=1. 若向量2a-b与b的夹角为钝角， 则(2-k)k+4k<0，解得k<0或k>6. 由(1)知，当k=-2时，2a-b与b平行， 所以k的取值范围是(-∞，-2)∪(-2，0)∪(6，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知a=(1，2)，b=(1，-1). (1)若θ为2a+b与a-b的夹角，求θ的值；(5分) 解:因为a=(1，2)，b=(1，-1)，所以2a+b=(3，3)，a-b=(0，3). 所以cos θ===.因为θ∈[0，π]，所以θ=. (2)若2a+b与ka-b垂直，求k的值.(5分) 解:ka-b=(k-1，2k+1)，依题意(3，3)·(k-1，2k+1)=0， 所以3k-3+6k+3=0.所以k=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(5分) 解:由题设知=(3，5)，=(-1，1)， 则+=(2，6)，-=(4，4). 所以|+|=2，|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2，4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值.(5分) 解:由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)， 由(-t)·=0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0. 从而5t=-11，所以t=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，CD=1，P是线段AD(包括端点)上的一个动点. (1)当AD=时，求·的值；(3分) 解:如图，以A为原点，AB所在直线为x轴， AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 由题意得，A(0，0)，B(2，0)，∴=(2，0). ∵AD=，∴C(1，). ∴=(1，).∴·=1×2+×0=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在(1)的条件下，若·=，求；(6分) 解:设=t，则点P的坐标为(0，t)(0≤t≤). ∴=(2，-t)，=(1，-t).∴·=2×1+(-t)×(-t) =t2-t+2=+=(0≤t≤)，解得t=，即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求|2+|的最小值.(6分) 解:设C(1，c)(c>0)，P(0，m)(0≤m≤c)，∴=(2，-m)， =(1，c-m).∴2+=2(2，-m)+(1，c-m)=(5，c-3m). ∴|2+|=≥5，当且仅当m=时取等号. 因此|2+|的最小值为5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $