8.1.3 向量数量积的坐标运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

８． １． ３　 向量数量积的坐标运算 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示． ２．能利用向量的数量积的坐标公式进行计算． 培养数学运算、逻辑推理等核心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 向量数量积的坐标表示 　 　 非零向量ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２） （１）ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２　 ． （２）ａ⊥ｂａ·ｂ ＝ ０ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２　 ＝ ０． 　 　 提醒：向量数量积的坐标表示与几何表示的区别与联系： K ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２），¿ ａ·ｂ ＝ ｜ａ ｜·｜ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉… ａ·ｂ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ >·Å1.ñqO<%*<P，q<²5§ò%-ý，Ú(£3vê %½Ö ， ·Å6Wy™ ， K㭗o%(qO<%b…^" ， ¿ä1 ａ·ｂ ＝ ｜ａ ｜ ｜ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ñ¹ ； Kö÷qO<%' ， ¿ä1 ａ·ｂ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ñ¹． ●/012 １．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，→ＡＢ ＝（１， － ２），→ＡＤ ＝（２，１），则→ＡＤ·→ＡＣ ＝ （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ５ Ｂ． ４ Ｃ． ３ Ｄ． ２ 知识点２　 向量模的坐标表示 　 　 设ａ ＝（ｘ，ｙ），则｜ ａ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则｜ →ＡＢ ｜ ＝ （ｘ２ － ｘ１）２ ＋（ｙ２ － ｙ１）槡 ２ ． 　 　 提醒：｜ →ＡＢ ｜的理解 ｜ →ＡＢ ｜ fgh ( Ａ，Ｂ qn…´%‚ ， dÅød¹Qꅹ⨩ aqn´%‚Qê(ÄÅmš% ． ●/012 ２．（２０２２·全国乙卷）已知向量ａ ＝（２，１），ｂ ＝（－ ２，４），则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ 知识点３　 两个向量的夹角公式 　 　 设ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２）， 则ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ｘ２１ ＋ ｙ ２槡 １·ｘ２２ ＋ ｙ２槡 ２ ． ［思考］ ●/012 ３．已知向量ａ ＝（２，２），ｂ ＝（０，－ ３），则ａ与ｂ的夹角为　 　 　 　 ． 思考：若两个非零向量 的夹角满足ｃｏｓ θ ＜ ０， 则两向量的夹角θ一定 是钝角吗？ 提示： ~m]ĺ ｃｏｓ θ ＜ ０ AÄqO<%^" θ·‘(Ì"Ä÷‘ ( １８０°． $)* 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%(ÆpÆl@Î$’n １．（１）已知ａ ＝（１，２），ｂ ＝（３，４），求ａ·ｂ，（ａ － ｂ）·（２ａ ＋ ３ｂ）； （２）已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，Ｅ为ＣＤ的中点，点Ｆ在ＡＤ上， 且→ＡＦ ＝ ２ →ＦＤ，求→ＢＥ·→ＣＦ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．（２０２４·大连高一检测）设向量ａ ＝（ｘ，ｘ ＋ ２），ｂ ＝（２，３），且ａ·ｂ ＝ ０，则 ｘ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ６５ Ｄ． － ６ ５ ２．已知向量ａ ＝（ｘ ＋１，１），ｂ ＝ １，２( )ｘ ，若ｘ ＞０，则ａ·ｂ的最小值为（　 　 ） Ａ． ２槡２ Ｂ． １ ＋ ２槡２ Ｃ． ２ ＋ ２槡２ Ｄ． ２槡２ － １ ●:;C%(Æ@Í`Ì?‹: ２．（１）若ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ２，ａ － ｂ ＝（槡３，槡２），则｜２ａ － ｂ ｜ ＝ （Ｃ ） Ａ．槡１５　 　 　 　 Ｂ．槡１７　 　 　 　 Ｃ． ２槡２　 　 　 　 Ｄ． ２槡５ （２）已知向量ａ ＝（１，－槡３），ｂ ＝（－槡３，１），则ａ与ｂ夹角的大小为 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．（２０２４·泰安高一检测）已知平面向量ａ ＝（１，ｘ），ｂ ＝（２ｘ ＋ ３，－ ｘ）， ｘ∈Ｒ． （１）若ａ∥ｂ，求｜ ａ － ｂ ｜； （２）若ａ与ｂ的夹角为锐角，求ｘ的取值范围． 归纳提升：平面向量数 量积坐标运算的两条 途径 `aO<%*<P¸ ¹Ä¥Þ(%(5Í% ¸¹Õ¿/¸¹™ò ． ¹ã A t Ê 5 q r m? ： m(ùX^O<1' 23Ä϶`a*<P ¸¹É H(ùä1*<P%¸ ¹éX,ênƒÄú cö÷d¹ ． 归纳提升：１．向量模的 问题的解题策略 í １ ðI¤23\%¸ ¹Ää1 ｜ ａ ｜ ２ ＝ ａ２ XO <b%¸¹;éŽO< %*<P%¸¹ ． í ２ ð'23\%¸ ¹ÄK ａ ＝ （ｘ，ｙ）， ¿ ｜ ａ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ． ２．求向量夹角的方法 KñO< ａ … ｂ %^ "Ää1Qê ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ ｜ａ｜ ｜ｂ｜ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ｙ１ｙ２ ｘ２１ ＋ｙ ２槡１ ｘ２２ ＋ｙ２槡２ ， ºO<%^"Ž—˜" AÄño<" ． $)+ ●:;M%epÆl@Î$’n…Ï©kÇȋ: ３．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＢＣ的中点，点Ｆ在 ＣＤ上． （１）若点Ｆ是ＣＤ上靠近Ｃ的三等分点，设→ＥＦ ＝ λ →ＡＢ ＋ μ →ＡＤ，求λ ＋ μ的值； （２）若ＡＢ ＝ ２，ＢＣ ＝槡３，求→ＡＦ·→ＥＦ的最值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．在边长为１的正方形ＡＢＣＤ中，Ｍ为ＢＣ的中点，点Ｅ在线段ＡＢ上运动． （１）求证：→ＥＣ·→ＡＤ为定值； （２）求→ＥＣ·→ＥＭ的最大值． 归纳提升：解决向量数 量积的最值问题的方法 技巧 （１） FuvéGÒÓ ： ä1ÐOO<U™¸¹ ÅÕ*<P¸¹%¨© 89Xsã;éŽÐO ¨©a%4ŸÇ|}s ã ， M{bcÐOuv %Ïë—o`a>? ． （２） Fy*éGÒÓ ： Kö÷rôa45»p ”"vÇqv ， ÊÊü †ÐOÏ"'€ ， t z'¸¹;éŽ~* %™ò¹r4ŸÇ®Ÿ |}sã ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·辽宁朝阳高一期中）已知ａ ＝（－ ２， １），ｂ ＝（３，２），则ａ·（ａ ＋ ｂ）＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．已知向量ａ ＝（１，－ １），ｂ ＝（２，ｘ），若ａ·ｂ ＝ １，则ｘ等于 （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． １２ Ｃ． － １ ２ Ｄ． － １ ３．已知向量ａ ＝（－ ４，３），ｂ ＝（５，６），则３ ｜ ａ ｜ ２ － ４ａ·ｂ等于 （Ｄ ） Ａ． ２３ Ｂ． ５７ Ｃ． ６３ Ｄ． ８３ ４．（２０２３·全国高考真题）已知向量ａ ＝（３，１）， ｂ ＝（２，２），则ｃｏｓ 〈ａ ＋ ｂ，ａ － ｂ〉＝ （Ｂ ） Ａ． １１７ Ｂ． 槡１７ １７ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ． ２槡５ ５ ５．已知ａ ＝（ｃｏｓ α，ｓｉｎ α）、ｂ ＝（ｃｏｓ β，ｓｉｎ β）（０ ＜ α ＜ β ＜ π），求证：ａ ＋ ｂ与ａ － ｂ互相垂直． 请同学们认真完成练案［１６                        ］ $!$ 对点训练3：32la-b=51a12-2a·b+1b12=25, 关键能力攻重难 9-2+b12=25,∴.1b12=18,1b=32. 例I:(1)方法一：：a=(1,2),b=(3,4). 例4：【证明】设⑦=a,AB=b,则lal=1b1,a·b=0 .a·b=1×3+2×4=11 又成=成+破=-a+号市-访+脉=b+号 (a-b)·(2a+3b)=2m2+a·b-3b2=2Ia12+a·b-3b1 =2(12+22)+11-3(32+42)=-54. 所以.应=(b+)(-a+) 方法二：a=(1,2),b=(3,4), .a·b=1×3+2×4=11. --子b+号a+宁h=0 b .a-b=(1,2)-(3,4)=(-2.-2),2a+3b=2(1,2)+ 3(3,4) 故A示⊥D呢，即AF⊥DE. =(2×1+3×3.2×2+3×4)=(11.16) 对点训练4：【证明】设此等腰直角三角形的直角边长为a,则 ,.(a-b)·(2a+3h)=-2×11+(-2)×16=-54. Ab·CE=(AC+CD)·(Ci+AE) (2)如图所示，以A为原点，AB,AD所在 =A花.C+C品.C+元.A形+C.A正 直线分别为x轴，y轴，建立直角坐 标系. 则B20).E1,2).C2,2).F0,） =-d+号0+=0枚1成， 所以AD⊥CE, 成=(-12).(-2-} 课堂检测固双基 1.C(a+b)·(a-2h)=lal2-a·b-21b1=4-2×1× 成2-于号 m-2=4-2x1×(-）-2=3 对点训练1：Da·b=(x,x+2)·(2,3)=2x+3x+6=0,解得 2.C(a+2b)·(a-3b)=-72.a2-a·b-6b2=-72 .1al2-1al1b1cos60°-61b12=-72 ∴.1a2-21a-24=0. 对点训练2：8a=+1+2≥2V·子+1=2+1，当 又.lal≥0，∴.1al=6. 且仅当x=√2时等号成立，则a·b的最小值为1+2,2 3.C 0=(2a+b).b=2a.b+b2=2lallblcos(a,b)+Ibl, 例2：(1)C(2)3a()a-b=(521a-b1=5, 1al=1b1≠0， 6 六2s(a,b)+1=0,cos(a,b)=-2 1 .Ia-bI2=1al2-2a·b+1b12=5 .1-2a·b+4=5a·b=0. ÷,(a,b〉=120° .12a-b1=√4a-4a·b+1b=4+4=22 4.3因为a,b为单位向量。 (2)向量a=(1,-3),b=(-3,1), 所以Ia1=|b1=1,所以1a+b1=√(a+b)7= √1a2+2a·b+1b=√2+2a·b=1,解得2a·b=-1. a与b夹角0满是m0=8论=-子=-马 2' 所以Ia-b1=√(a-b :0e0.ld0=0 =/1al-2a·b+1b=3. 对点训练3：(1)由题意得：-x-x(2x+3)=0,解得x=0或 5.2因为(Ah-a)⊥a, -2. 所以(Ab-a)·a=0, 当x=0时，a-b=(1,0)-(3,0)=(-2,0),所以1a-b1 即Aa·b-a=0, =2: 放AXx1×号-3=0，所以A=2 当x=-2时，a-b=(1,-2)-(-1,2)=(2,-4), 所以1a-b1=√2+(-4)下=25. 8.1.3向量数量积的坐标运算 (2)因为a与b的火角为锐角， 所以a·b=2x+3-x2>0,且a与b不同向共线， 必备知识探新知 即-x-x(2x+3)≠0，解得-1<x<3,且x≠0， 知识点1：(1)+为(2)2+ 综上，x的取值范围是(-1,0)U(0,3). 对应练习 例3：(1)因为E7=EC+C 1.A因为四边形ABCD是平行四边形，所以A花=A序+A市=(1， 点E是BC的中点，点F是CD上靠近C的三等分点， -2)+(2,1)=(3,-1),所以AD·AC=2×3+1×(-1)= 5,故选A. 所以成=成+动， 知识点2：v金+y 在矩形ABCD中，BC=A,Ci=-A店， 对应练习 所以成：号成+市， 2.D因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), 所以1a-b1=√4+(-3)=5. 所以A=一行=子即A+=石 知识点3： (2)如图.以AB.AD分别为x,y轴建 对应练习 立平面直角坐标系，则A(0,0), D 3es(a,b)=论 -6 、② 1a11bT22×3 2 (a,b)e[0,l(a.b)=要 设F(x,√5)，则0≤x≤2， -161 所以=（成(-2.号》 方法二：.'a=(osa,sina)b=(cosB,sinB) .(a+b)·(a-b)=a2-b2=la2-tb1 所以.成=x-2)+子=(-+ =(cos'a+sin'a)-(cos B+sin'B)=1-1 =0, .(a+b)⊥(a-b). 所以当x=1时，市，取得最小值 8.2三角恒等变换 当x=0或x=2时，亦.序取得最大值子 8.2.1 两角和与差的余弦 对点训练4：方法一（几何法）：(1)在边长为1的正方形ABCD 中，E武·Ai=E元，BC=IE武1IBC1cos∠BCE=IBC=1(定 必备知识探新知 值). 知识点：cos acos B+sin asin B cos acos B-sin asin B (2)如图，作CN⊥EM,垂足为V,则D 对应练习 △BN△C,得受-票 1.C cos(a -B)cos B-sin (a-B)sin B=cos[(a-B)+B]= 所以EM,MN=CM·MB=子 2com8om38+如n8=m(g-89)=m0= 所以E武·Ei=IECIIEMI cos∠CEN= 4 1Ei(1 ECleos∠CEN)）=IEi1IE1=Ei1(IEi1+IM) 3.A cos(a+B)cos arcos B-sin asin B=5 =画+1=网产+≤+=1+士 s(a-)=c B+sin asin B=-于②. 由①+②得c08rc0%B=0. 关键能力攻重难 所以当点E在点A处时，武·矿取得最大值子 例1：(1)A(2)见解析 【解析】(1)利用诱导公式得c0s525°=cs(360+165) 方法二（坐标法）：以点A为坐标原点， =c08165°=c08(180°-15°）=-c0815°--c0s(45°- AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立 30°）=-(cms45°c0s30°+sin45°sim30)= 平面直角坐标系，则A(0,0),C(1,1) D(0,1),设E(x,0),xe[0,1], 4 (1)EC·AD=(1-x,1)·(0,1)=1 (定值)， (2)0原式=m(0+2)-(0-24)1=m45°=号 (2)上述可知，c1,),,) 2②原式=-sin(180°-13)sin(180°+43°)+sin(180°+ 770)·sin(360°-47°)=sin13°·sin43°+sin77°sin47 则武.=(1-)·(-，）1-)+分当x =sin139sin43°+c0s13°cems43°=cs(139-430)= [0.1时，(1-)2+2单调递诚，当x=0时，E花，矿取得最 -0)= 对点训练1：(1)原式=c0s(15°-105)=c0s(-90°）=0. 大值是 (2)原式=c0s[x-(x+y）]=c0s(-y）=c0s 课堂检测固双基 (3)原式=c[(a-35)-(25°+)]=c0s(-60°）=cos60 1.A因为a=(-2,1).b=(3,2),所以a·(a+b)=(-2,1) ·(1,3)=-2+3=1.故选A 2.Aa·b=2-x=1,x=1. 例2：血=子e(0.m， 3.D31a2-4a·b=3[(-4)2+3]-4(-4×5+3×6) =83. 当(0，受）)时.as=n=子 4.B因为a=(3,1),b=(2,2), 所以a+b=(5,3),a-b=(I,-1） 当e(受时m=-=-号 则1a+b1=√5+3=34.la-b1=个+I=2.(a+b)· 当re(0,受时，c(+号）=esow号-sin si (a-b)=5×1+3×(-1)=2, 所以cos(a+b,a-b)=a+b):(a-D 2 la+blla-bl √34×2 103 票故话B 当xe(受时， 5.【证明】方法一：由已知a=(cosa,ina),b= o(+号）=ss号-nsin 3- 4 13 3 5×2-5 (cos B,sin B),=(cos a cos B,sin a sin B), a-b=(cos a cos B,sin a-sin B). 2 10 又，(a+b)·(a-b) =(cos a+cos B)cos a cos B)+(sin a sin B)(sin a- 对点训练2：a∈(2小i血a=子， sin B)=cos'a-cos B+sin'a-sin'B=0, .(a+b)⊥(a-b). -162