第8章 阶段练4(范围：8.1)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练4 (范围：8.1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．(多选)以下关于向量的说法正确的有(　　) A．(a·b)·c＝a·(b·c) B．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 C．|a·a·a|＝|a|3 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 解析：对于选项A，当a，b，c均为非零向量时， 不妨设a⊥b，b∥c， 则(a·b)·c＝0，a·(b·c)≠0，即选项A错误； 对于选项B，若|a＋b|＝|a－b|，两边平方化简得 4a·b＝0，则a·b＝0，即选项B正确； 对于选项C，|a·a·a|＝|a|3，即选项C正确； 对于选项D，若a∥b，b∥c， 若b＝0，则a与c的位置关系无法确定，即选项D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．设a，b，c都是单位向量，且a·b＝0，则(c－a)·(c－b)的最小值为___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1．已知a，b为单位向量，则“a，b的夹角为”是“＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意a，b为单位向量，a，b的夹角为， 则＝a2＋b2－2a·b＝2－2×1×1×＝3，则＝， 即充分性成立； 若＝，则＝3，即a2＋b2－2a·b＝2－2×1×1×cos 〈a，b〉＝3， 则cos 〈a，b〉＝－，而〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝，即必要性成立， 故“a，b的夹角为”是“＝”的充要条件． 2．已知＝2＝4＝4，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．－1 B．－ C．0 D．1 解析：由于＝2＝4＝4，故＝16， 即4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋4＝16，则a·b＝－2， 故cos 〈a，b〉＝＝＝－1. 3．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上靠近C的四等分点，N为AB的中点，则·的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：如图，＝＋，＝－＝－＝－， 所以·＝· ＝·－2＋2－·＝－＋＝－. 4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 解析：因为||＝||＝||，所以O到顶点A，B，C的距离相等，所以点O为△ABC的外心； 由＋＋＝0，则＋＝－，取AB的中点E(图略)， 则＋＝－2＝，所以2||＝||，所以点N是△ABC的重心； 由·＝·＝·，得(－)·＝0，即·＝0， 所以AC⊥PB，同理AB⊥PC，所以点P为△ABC的垂心． 5．如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AC＝CB，P是线段BC上的动点，且△PAB的面积记为S1，圆O的面积记为S2，当·取得最大值时，＝(　　) A． B． C． D． 解析：由题意可知：OC⊥AB，以O为坐标原点建立平面直角坐标系， 不妨设OC＝2，则A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)， 可知直线BC对应的一次函数解析式为y＝2－x， 可设P(a，2－a)，0≤a<2， 可得＝(－2－a，a－2)，＝(2－a，a－2)， 则·＝(－2－a)(2－a)＋(a－2)2＝2(a－1)2－2，且0≤a<2. 因为y＝2(a－1)2－2开口向上，对称轴为a＝1， 且0≤a<2，可知当a＝0时，即点P与点C重合时，·取到最大值， 此时S1＝×2×4＝4，且S2＝4π，所以＝＝. 7．(多选)如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系．若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的斜坐标，记为＝(x，y).在θ＝的斜坐标系中，a＝(－1，1)，b＝(1，1)，则下列结论正确的是(　　) A．a－b＝(－2，0) B．|a|＝2 C．a⊥b D．a－b与b的夹角为 答案：ACD 解析：A：a＝－e1＋e2，b＝e1＋e2，a－b＝－e1＋e2－(e1＋e2)＝－2e1， 所以a－b＝(－2，0)，故A正确； B：e1·e2＝|e1||e2|cos ＝， 则|a|＝＝＝1，故B错误； C：a·b＝(－e1＋e2)·(e1＋e2)＝－e＋e＝0，所以a⊥b，故C正确； D：(a－b)·b＝－2e1·(e1＋e2)＝－2e－2e1·e2＝－3，|a－b|＝|－2e1|＝2， |b|＝＝＝， 则cos 〈a－b，b〉＝＝＝－， 又〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝，故D正确． 8．设a，b均为单位向量，且a·b＝，则|a＋2b|＝__________． 解析：因为a，b均为单位向量，且a·b＝， 所以|a＋2b|＝＝ ＝＝. 9．如图，在△ABC中，|＋|＝|－|，＝，|AD|＝2，则·＝________． 4 解析：由|＋|＝|－|，可知|＋|2＝|－|2， ∴·＝0，则⊥， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝· ＝ ·＝||2＝4. 1－ 解析：因为a·b＝0，|a|＝|b|＝|c|＝1， 则|a＋b|＝ ＝ ＝， 所以(c－a)·(c－b)＝－a·c－c·b＋c2＋a·b ＝－c·(a＋b)＋1＝－|c||a＋b|cos 〈c，a＋b〉＋1＝－cos 〈c，a＋b〉＋1≥1－， 当c与a＋b方向相同时，等号成立， 所以(c－a)·(c－b)的最小值为1－. 11．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝. (1)证明：(5a－2b)⊥a； (2)求向量4a－b与4a－b夹角的余弦值． (1)证明：因为a·b＝2×10×cos ＝10， 所以(5a－2b)·a＝5a2－2a·b＝5×22－2×10＝0， 故(5a－2b)⊥a. (2)解：由题意得|4a－b|＝＝ ＝7， |4a－b|＝ ＝ ＝7， ·＝16a2－a·b－2a·b＋b2＝47， 故cos 〈4a－b，4a－b〉＝＝＝， 即向量4a－b与4a－b夹角的余弦值为. 12．如图，在△ABC中，B＝，AB＝2. (1)若BC＝5，M，N分别为AC，BC的中点，设AN，BM交于点P，求∠MPN的余弦值； (2)若点M满足＝，·＝，O为BM的中点，点N在线段BC上移动(包括端点)，求·的最小值． 解：(1)以B为原点，BC所在直线为x轴，过B作BC的垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． ∵AB＝2，B＝，∴A(1，)，C(5，0)，N(，0)，M， ∴＝，＝(，－)， ∴||＝，||＝， 由题意知∠MPN即为，的夹角，设为θ， ∴cos θ＝＝＝. (2)设C(t，0)，t>0， ∵AB＝2，B＝，∴A(1，)， 设M(x，y)，∴＝(x－1，y－)，＝(t－1，－). ∵＝，∴x－1＝(t－1)，y－＝×(－)，则x＝，y＝， ∴M， ∴＝，＝(t－1，－). ∵·＝，即－2＝，解得t＝3(负值舍去)， ∴M.∵O为BM的中点，∴O， 设N(n，0)，0≤n≤3，∴＝，＝， ∴·＝－＝n－. ∵0≤n≤3， ∴当n＝0时＝－，即(·)min＝－. $$