8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积运算律，通过复习数量积定义导入，类比多项式乘法构建运算律与常用结论的联系，形成从定义到运算再到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用习题讲评式教学，结合高考真题与思维建模，提炼求模、夹角的方法，培养学生数学思维中的推理与运算能力。通过微点助解强调易错点，提升学生用数学语言解决问题的应用意识，助力教师高效教学，学生掌握解题规律。

8.1.2 向量数量积的运算律 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.进一步掌握数量积的运算，掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　平面向量数量积 题型(二)　平面向量的模 题型(三)　平面向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 1.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=_____ 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=________ 加法分配律 (a+b)·c=_________ b·a a·(λb) a·c+b·c |微|点|助|解| (1)向量的数量积不满足消去律:若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 2.平面向量的数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式，可写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b) 2=a2+2a·b+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2 (a-b) 2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a 题型(一)　平面向量数量积 01 [例1]　(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 √ 解析:由题意知，=+=+=+=-+， 所以·=·=||2-||2=4-1=3，故选B. |思|维|建|模| 　　求向量的数量积时，需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 针对训练 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=2，则·=(　　) A.2 B.4 C.3 D. √ 解析:根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得· =(+)·=·+·，由AD⊥AB，可知·=0，又因为= ，||=2，所以·=·=||||cos ∠ADB=×2×||×=4.故选B. 2.如图，在平行四边形ABCD中，已知==，||=2，||=2，则·=(　　) A.-9 B.-6 C.6 D.9 √ 解析:由题意可得，=+=+=+=+ =+=+， ∴=+·+=4，　① =+·+=12，　② ①-②得-=-8，即-=-9， ∴·=(+)·(-)=-=-9. 题型(二)　平面向量的模 02 [例2]　已知向量a与b夹角为45°，且|a|=1，|2a+b|=，求|b|. 解:因为|2a+b|=，所以(2a+b)2=10. 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1， 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10. 整理得|b|2+2|b|-6=0， 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2； ②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. 针对训练 3.已知向量a，b满足|a+b|=4，|a-b|=2，则|a||b|的最大值是 (　　) A.3 　　　　B.4 C.5 　　　　D.6 √ 解析:∵|a+b|=4，|a-b|=2，∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20. ∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0，∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5，故选C. 4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=______.  解析:因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2= 22+2×2×3cos+32=4-6+9=7，所以|c|=. 题型(三)　平面向量的夹角 与垂直 03 [例3]　 (1)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:因为(a-b)⊥b，所以(a-b)·b=a·b-b2=0，所以a·b=b2，所以cos θ===.因为0≤θ ≤π，所以a与b的夹角为，故选B. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角，则k的取值范围为__________________.  (0，1)∪(1，+∞) 解析:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角， 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k>0， 所以k>0.当k=1时，e1+ke2=ke1+e2，它们的夹角为0， 不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为(0，1)∪(1，+∞). 　[变式拓展] 　将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围. 解:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角， 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0，所以k<0. 当k=-1时，e1+ke2与ke1+e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，0). |思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0，π].当cos θ>0时，θ∈； 当cos θ<0时，θ∈；当cos θ=0时，θ=. 针对训练 5.(多选)设e1，e2均为单位向量，且|e1-2e2|≤，a=e1-e2，b=3e1+e2，则(　　) A.<e1，e2>> B.|a|的最大值为2 C.a·b的最大值为1 D.|a-b|≥2 √ √ 解析:由e1，e2均为单位向量，|e1-2e2|≤，得5-4e1·e2≤3， 即e1·e2≥，则cos<e1，e2>=≥，又<e1，e2>∈[0，π]， 所以0≤<e1，e2>≤，故A错误；|a|2=+-2e1·e2≤1+1-2×=1， 所以|a|max=1，故B错误；a·b=3--2e1·e2≤3-1-2×=1，故C正确； a-b=-2e1-2e2，则|a-b|2=4+4+8e1·e2≥12，所以|a-b|≥2，故D正确. 6.已知a⊥b，且|a|=2，|b|=1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直，则k的最小值为_______.  - 解析:∵a⊥b，∴a·b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0， ∴-ka2+t(t-3)b2=0.∵|a|=2，|b|=1， ∴-4k+t(t-3)=0.∴k=(t2-3t)=-(t≠0). 故当t=时，k取得最小值，最小值为-. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a-3b)= (　　) A.-3 B.3 C.-5 D.5 √ 解析:由题意可得，|a|=1，|b|=1，a·b=0，则b·(4a-3b)=4a·b-3b2=-3b2=-3，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥ b，则|b|= (　　) A. B. C. D.1 √ 解析:因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中，(+)·=0，则△ABC一定是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 √ 解析:由已知得，(+)·(-)=0，-=0，∴||=||. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立；当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，并且当λ=-4时，|a+λb|取得最小值，则sin<a，b>=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意，得a·b=3cos <a，b>，|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2 =λ2+6λcos <a，b>+18.当λ=-3cos <a，b>时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，故-3cos <a，b>=-4，则有cos <a，b>=.又<a，b>∈，所以sin<a，b>==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知菱形ABCD的边长为2，·=2，则||=(　　) A. B.2 C.1 D.2 √ 解析:根据题意可得=+=-， ∵·=2，即·(+)=+·=2，∴·=-2， ||2=(-)2=-2·+=12，即||=2，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是 (　　) A.若a·(b·c)=0，则b⊥c B.若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c，则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为a，b，c均是非零向量，若a·(b·c)=0，则b·c=0， 所以b⊥c，故A正确；若|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0， 所以(a+b)⊥(a-b)，故B正确；若a·c=b·c， 则(a-b)·c=a·c-b·c=0⇒(a-b)⊥c，故C错误； [(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0， 所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知单位向量i，j相互垂直，向量a=3i-4j，则|a|=_____.  5 解析:因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25，所以|a|=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在△ABC中，记=m，=n，则·(+)=________.  n2-m2 解析:因为=-= n-m，所以·(+)=(n-m)·(n+m)= n2-m2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，b·(2a-b)=-18，则a与b的夹角等于________.  150° 解析:由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18，得a·b=-3，则cos <a，b>===-.∵0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角等于150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD =2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上 的中点，则·+·=______.  解析:易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，则·=·=(-)·(+)=-=1-= ·=·=-=1-=，因此·+·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分 )已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角. 解:设a与b的夹角为θ，∵非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，∴(a+3b)·(7a-5b)=0，(a-4b)·(7a-2b)=0，∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0，7|a|2+8|b|2-30a·b=0. ∴|b|2=2a·b，|a|2=2a·b，∴|b||a|=2a·b， ∴cos θ==.又θ∈[0，π]，∴θ=.即a与b的夹角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)如图，在▱ABCD中，=a，=b. (1)当a，b满足什么条件时，AC与BD互相垂直?(5分) 解:由题意得=+=a+b，=-=a-b. 若AC⊥BD，则(a+b)⊥(a-b). 所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，得|a|=|b|. 因此当|a|=|b|时，AC⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)|a+b|与|a-b|有可能相等吗?为什么?(5分) 解:有可能.理由如下: 因为|a+b|==， |a-b|==， 若|a+b|=|a-b|，则a·b=0. 所以当a⊥b时，|a+b|=|a-b|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知a，b是非零向量，t为实数，设u=a+tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值.(5分) 解:|u|2=|a+tb|2=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2 =|b|2+|a|2-. ∵b是非零向量，∴|b|≠0， ∴当t=-时，|u|=|a+tb|的值最小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直?(5分) 解:∵b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0， ∴b⊥(a+tb)，即b⊥u. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2. (1)求|a|；(7分) 解:由题意知，e1·e2=1×1×cos=. 因为a=3e1+4e2，所以|a|2=(3e1+4e2)2=9+24e1·e2+16 =9+24×+16=37，故|a|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a⊥(a+b)，求实数λ的值.(8分) 解:因为向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2， 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b)，所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0，解得λ=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $