第06讲 向量数量积的概念及运算律（思维导图+5知识点+7大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教B版

函学科网·上好课 www.zxx k.com 第06讲向量数量积的概念及运算 内容导航—预习三步曲 第一步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：数量积的定义及运算律】 【题型2：向量模的有关计算】 【题型03：向量夹角的有关计算】 【题型04：向量垂直的有关计算】 【题型05：投影向量的有关计算】 【题型06：平面几何与数量积运算】 【题型07：平面几何中求数量积的最值】 第二步：记 串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：向量的夹角 (1)如图，已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b,则∠ 向量a与b的夹角 显然，当0=0时，a与b同向；当0=π时，a与b反向 (2)如果a与6的夹角是元，我们说a与垂直，记作a⊥6 ☑知识点2：向量数量积的定义 1/31 上好每一堂课 律 AOB=0(0≤0≤π)叫做 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 已知两个非零向量a与，它们的夹角为0，我们把数量cos0叫做向量a与的数量积（或内积，记作 a.6,则a-6=acose0 规定：零向量与任一向量的数量积为0 ☑知识点3：向量的投影向量 (1)如图(1)，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,作如下的变换：过AB的起点A和终点B, 分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A,B,得到AB,，则称上述变换为向量ā在向量b投影，AB,叫 做向量a在向量上的投影向量 B a A M b C A 0 b MN (1) (2) (2)如图(2)，在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则OM就 是向量ā在向量上的投影向量 (3)设与方方向相同的单位向量为ea与的夹角为0，对任意的9∈[0，x],都有OM,=acos0e ☑知识点4：向量数量积的性质 设向量ā与b都是非零向量，它们的夹角为0，是与b方向相同的单位向量，则 (1)ae=ea=acos0.;(2)a1i台a.i=0；(3)a6台a-i=±albl: 【注】当a与方同向时，a-万=a:当a与方反向时，a-万=a闷 (4a-6≤al；(5)aaaP或a=vara ☑知识点5：数量积运算的运算律 (1)a.b=b.a:(2)(2a)-b=(a-b)=a.(2b):(3)(a+b-c=a.c+b.c 02 练题型强知识 【题型01：数量积的定义及运算律】 【题型02：向量模的有关计算】 【题型03：向量夹角的有关计算】 向量数量积的 【题型04：向量垂直的有关计算】 概念及运算律 【题型05：投影向量的有关计算】 【题型06：平面几何与数量积运算】 【题型07：平面几何中求数量积的最值】 2/31 可学科网·上好课 上好每一堂课 【题型01：数量积的定义及运算律】 1.(多选)已知平面向量a,五满足a=b=a+b,则下列各组向量的夹角为60°的是() A.aB B.a,a+b C.a,a-b D.B,a+b 【答案】BD 【详解】如图，设AB=a,AD=b.因为a=b=a+b1,nn 所以四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120° 由平面向量的线性运算性质可知AC=a+i,DB=a-b, 则向量a,的夹角为120°，向量a,a-b的夹角为30°， 向量a,a+b的夹角为60°，向量五，a+b的夹角为60° 故选：BD a-b a+b a 2.已知向量-26=2，且向量与向量的夹角为5，则(2)-(36)= 【答案】6 【详解】：向量-2=2，且a5的夹角为了 则a=2,6=1, 2a.36=6la5cosa,万=6×2×1×cos -6x2×6 故答案为：6 3.已知平面向量6满足1a23,a与的夹角为骨则a-(a-6)=《 A.7 B.1 C.4-33 D.4+33 【答案】B 【群】因为aa-6列--a6a-6oms-42x3x-1 2 故选：B 4.己知单位向量e,e2的夹角为135°，则e1-2e2e2的值为() 、A22B.3 2*2 c.2-2 D.-1 2 3/31 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】由题意(g-2e)g,=e·6,-2e,-1x1×cos135°-2=- -2 2 故选：A 5.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b=() a 、 A.4 B.42 C.-4 D.-4N2 【答案】C 【详解】由图知d=22,b=2,a,6-}, 则a.b=2√2×2×co 3π-4 4 故选：C 【题型02：向量模的有关计算】 6.已知a=2,=1,ā与z的夹角为120，则a+2的值为() A.2 B.5 C.√2 D.7 【答案】A 【详解】由题意知=2，b=1,a与的夹角为120°， 所以a5=jcos120=2x1(》-l, ā+2b2=ā2+4a.b+41b2=4-4+4=4, ā+2b=V4=2, 故选：A 7.若平面向量a,万，c,两两的夹角相等，且=2，=2，l=6,则a+万+c=() A.4 B.8或V10 C.10 D.4或10 【答案】D 【详解】因为平面向量ā，五，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即a,五，c两两的夹角为0或120°， 当夹角为0时，a+6+c=d++=10 4/31 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当夹角为120时，a+方+d=a+6+c =Va2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c =√aP+bP+1cP+2a-万+2a-c+2b-c =V22+22+6+2×2×2c0s120°+2×2×6c0s120°+2×2×6c0s120° =√4+4+36-4-12-12=4，所以a+b+c=4或10 故选：D 8.已知向量a,乃满足a=3,=5,且a,的夹角为60，则2a- 【答案】√3 【详解】因为=3，=5，且a,的夹角为60， 所以a-6=-5icos(a,)=3x5×-15 2-2 所以2a-6=2a-°=V4后2-4a-6+万=V4x9-30+25=V5。 故答案为：√31 9.已知两个单位向量a,3满足a+=a-,则4a-36=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】由a+=a-,得(a+=(a-,所以a-b=0, 所以4a-36=4a-36°=V16a2-24a.i+962=16-0+9=5. 故选：C 10.已知向量a,b满足|a=1,b上3，a·b=2,则函数f(x)=xa-b的值域为() A.[5,+o) B.[5,+o∞) C.[V5,+oo) D.[3,+oo) 【答案】A 【详解】f(x)=V22-2xab+62=V2-4x+9=Vx-2)2+5≥V5 故选：A 11.已知非零向量a、五，若aa-)=-2,且a+6=6,则a-b的取值范围为 【答案】[3-5,3+5] 【详解1因为日--a+:a-可(a-列=-2所以(a+5列a-列4恒-矿=4， 2 5/31 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设a-=t,且(a+b(a-b)≤a-6,所以-61≤a+a-)≤6t, 所以-6t≤-4-t2≤6t, t2+6t+4≥0 所以 2-6t+4s0' 所以t∈[3-V5,3+V5] 故答案为：[3-V5,3+V5] 【题型3：向量夹角的有关计算】 12.已知a=lb=22a-b=2,则(a,)=（) A君 B c D. 2π 【答案】C 【详解】由2ā-6=2得4a-4a6+6=4, 又因为=1，=2，代入解得a6=1, 由cosa,b= ab 1 d52' 因为a,b∈[0，，所以a,6= 3 故选：C 13.已知向量同=22，=V5,ā(a+6)=9,设向量a与的夹角为6，则cos0=() A.2 B. √2 C.2 4 D. 【答案】D 【详解】因为：a+b=9,即a2+a.=9, 又d=2W2,l=2,向量a与的夹角为6， 所以(2+25x5cos0=9.解得cos0-号 故选：D. 14.已知平面向量a,石，c,满足a=b=1,a-26+c=0,cos<a+c,c>25,则=（) 5 A.√5 B.5或5 C.5 D.5®5 【答案】B 【详解】由a-26+c=0可得a+c=26,则cos<a+c,c>a+)-g-, 26.c 25 la+cl-lGl 21B1le1-5 6/31 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为6=1，故有 b.c 2v5 c/s—即五c三，● 又因为ā=2b-c,两边同时平方得引aP=4b2-4b.c+c2, 将同--1与5G=25代入上式， =4S,整--0 解得=v5或3v5 故选：B 15.已知la+=a-=2,a(a+2b)=3,则cos(6,a+6）=() A.2 B.3 2 c.g 【答案】A 【详解】因为a+6=a-=2,所以ā+=a-=4, la+2a.6+6=4 即 →ab=0,所以a⊥b: a-2a-6+6=4 因为āa+2b)=+2a.i=a=3,所以同=3； 代入+2ā-6+=4，得到3+=4，得到=1； cosb,a+b 6a+)a-6+。11 万a+万a+61x22 故选：A 16.已知向量ā，6是两个单位向量，则“a-<√2”是“（ā，）为锐角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为ā，6为单位向量，所以a-<V2两边平方得a2-2a.6+62=2-2a6<2, 所以ab>0,而a,b∈[0，元，所以a,b为0或锐角， 所以ā-<√2”是“ā，b为锐角的必要不充分条件. 故选：B 7/31 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.已知平面内两个非零向量云、万相互垂直，aF25,若cosa-k6,= 则实数k的值为」 2 【答案】-2 【详解】由两个非零向量a、五相互垂直，得a.b=0,而|a=2b|, 则ā-k6=Va2+k262-2kā-6=26)+k262=2+46,(石-k5)6=a.6-k62=-k16P, 因此c0s(石-6，)=(a-6).6。-k16P k2 1a-k6川612+4bP-√k2+421 解得k=-2,经验证符合题意， 所以实数k的值为-2 故答案为：-2 18.已知平面向量a=2,=2,且(2a-3动)(2a+b)=4 (1)求2a-的值： (2)求向量a与a-2五夹角的余弦值， 【答案】(1)25 23v3 13 【分析】 【详解】(1)由(2a-36)2ā+6列=4整理得4a-4ab-362=4,又a=V2,5=2, 代入得4×2-4ab-3×4=4,解得ab=-2, 则2a-=2ā-6}'=V42-4a5+万=√4x2-4x-2+4=25: (2)因为aa-2b=a2-2ab=2-2×(-2)=6, 又a-26=Vā-25)=V后2-4a方+462=V2-4x-2+4×4=26, 所以cosa,a-2b ta-26)6313 aa-262×v2613 【题型04：向量垂直的有关计算】 19.已知平面向量a=(1,-2),=3,且(a+)1a,则la-=() A.2 B.4 C.26 D.24 【答案】C 8/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为(a+b)上a, 所以(a+}a=a2+a.6=0, 又a=(1,-2),则a2=5, 所以a.b=-5, 所以a-b=a2-2a-b+b-5+10+9=24, 所以a-b=26, 故选：C 20.已知向量a,6满足|=1,2-=4，且(a+2b)1a,则5=() A.5 B.V10 C.5 D.10 【答案】B 【详解】因为a+2b⊥a,所以a+2ba=0, 展开得aa+2a6=0,又月=l,所以a-万=月 因为2ā-=4，则2a-=16,所以4a-4a.b+6=16, 解得=0（负值舍去） 故选：B 21.若a,b是非零向量且满足a-3b)1a,6-3a1b,则a与的夹角的余弦值为() Ag B c D9 【答案】B 【详解】设a与的夹角是a,因为a-3b)1a, 所以a-35a=0,即ā2-3ā.b=0①， 又因为6-3a上6， 所以6-3ab=0,即162-3ā.6=0②， 由0@如a=,a-6==5, 所以cosa= lalaP-3 故选：B 9/31 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.已知非零向量a,b满足(a+46)1a,(a+3b)1b,则a与的夹角为() A君 B C.2 5π D. 3 6 【答案】D 【详解】(a+4-a=a+4a.=0,(a+36)-6=a-6+362=0, 所以a6-立-6，不纺设风=1，则0石=-3。-12812， 4 所以同-25，放s6列=日526 网25-2 又(a,)∈[0，，故a与的夹角为5 6 故选：D 23.已知向量a与b不共线，且a(a+)=2,a=1,若(2a-1(2a+),则6(a-)= 【答案】-3 【详解】因d=1,由a:a+b=a2+ab=l+ab=2,得a.b=1, 又由2a-)1(2a+),可得(2a-)2a+)=42-万2=0，所以=2， 则b.a-b)=6·ā-b2=1-4=-3 故答案为：-3 24.在空间中，若三个非零向量OM,ON,07满足OM⊥ON,O⊥O7,O7⊥OM,则△MNT的形状一定是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【答案】A 【详解】0M⊥ON,0N10T,07⊥0M, .0M.0N=0,0N.0T=0,07.0M=0, MNMT =ON-OMOT-OM) -ONOT-ONOM-OMOT+OM'-OM>0. 所以cos∠NMT= MNMT MNMT >0,即知∠NMT为锐角 同理可知∠MWT,∠MTN也为锐角. 故为锐角三角形 故选：A· 【题型5：投影向量的有关计算】 10/31 第06讲 向量数量积的概念及运算律 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：数量积的定义及运算律】 【题型02：向量模的有关计算】 【题型03：向量夹角的有关计算】 【题型04：向量垂直的有关计算】 【题型05：投影向量的有关计算】 【题型06：平面几何与数量积运算】 【题型07：平面几何中求数量积的最值】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2：向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3：向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点4：向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点5：数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 【题型01：数量积的定义及运算律】 1．（多选）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 3．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 4．已知单位向量，的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（  ）    A．4 B． C． D． 【题型02：向量模的有关计算】 6．已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 7．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．4 B．8或 C．10 D．4或10 8．已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 9．已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知向量满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 11．已知非零向量、，若，且，则的取值范围为 ． 【题型03：向量夹角的有关计算】 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 14．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 15．已知，则（　　） A． B． C． D． 16．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为 ． 18．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【题型04：向量垂直的有关计算】 19．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 20．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 21．若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 22．已知非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．已知向量与不共线，且，，若，则 . 24．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【题型05：投影向量的有关计算】 25．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 26．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 28．已知向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D．3 29．已知向量在向量上的投影向量为，若，则 ． 30．已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则 . 31．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【题型06：平面几何与数量积运算】 32．在边长为的等边三角形中，，则 . 33．已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 34．在平面四边形ABCD中，若，且，则 35．在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则 ． 36．在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （    ） A． B．3 C． D．2 37．如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． (1)若，求的值； (2)若，当A，F，C三点共线时，求的值． 38．中， D为AB边中点，. (1)用表示 (2)若，求 【题型07：平面几何中求数量积的最值】 39．在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 40．已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 41．在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 42．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    43．已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为 . 44．在矩形中，分别是线段的中点，且． (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 45．如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 一、单选题 1．已知非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 4．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 6．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 7．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 二、多选题 8．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（    ）    A． B． C．设为内一点（含边界），的最小值为6 D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 三、填空题 10．设为单位向量，且，则 ． 11．已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则 . 12．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 13．如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 四、解答题 14．已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 15．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 16．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)若求的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $