7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象. 2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理、生活中的简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　三角函数在物理中的应用 题型(二)　三角函数在生活中的应用 题型(三)　数据拟合模型的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　三角函数在物理中 的应用 01 [例1]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin，t∈[0，+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? 解：列表如下： t - 2t+ 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 s 0 4 0 -4 0 描点、连线，图象如图实线部分所示. 将t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? 解：小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)经过多长时间小球往复振动一次? 解：因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. |思|维|建|模| 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 针对训练 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边，角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，t∈[0，+∞)，则当t=0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A.2， B. C.，π D.2，π √ 解析：当t=0时，θ=sin=.由函数解析式易知，单摆周期为=π， 故单摆频率为. 2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ) . (1)如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数 的解析式； 解：由题图可知，A=300，周期T=2×=，∴ω==150π. 又当t=时，I=0，则sin=0，即sin=0. 又|φ|<，∴φ=.故所求的函数解析式为I=300sin. (2)如果t在任意一段 s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少? 解：依题意，周期T≤，即≤，∴ω≥300π.故ω的最小值为300π. 题型(二)　三角函数在生活中 的应用 02 [例2]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2sin，t∈[0，24]. (1)求实验室这一天的最大温差； 解：因为f(t)=10-2sin，t∈[0，24]， 所以≤t+≤，-1≤sin≤1. 因为当t=2时，sin=1；当t=14时，sin=-1， 所以f(t)在[0，24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温? 解：依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温. 所以10-2sin>11，即sin<-. 又0≤t≤24，因此，<t+<，即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温. 　　|思|维|建|模|　解三角函数应用问题的基本步骤 针对训练 3.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin 160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； 解：T===(min). (2)求此人每分钟心跳的次数； 解：f==80，即此人每分钟心跳的次数为80. (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较. 解：p(t)max=115+25=140(mmHg)，p(t)min=115-25=90(mmHg)， 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. 此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内. 题型(三)　数据拟合模型的应用 03 [例3]　下表所示的是某地2000~2022年的月平均气温(华氏度). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6   月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x=月份-1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系. (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； 解：根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示. (2)这个函数的周期是多少? 解：1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知=6-0=6，∴T=12. (3)估计这个正弦曲线的振幅A； 解：∵2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6，∴A=25.8. (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据? ①=cos；②=cos；③=cos；④=sin. 解：∵x=月份-1，∴不妨取x=2-1=1，y=26.0， 代入①，得=>1≠cos，∴①不适合. 代入②，得=<0≠cos， ∴②不适合.同理④不适合，∴③最适合. |思|维|建|模| 处理曲线拟合与预测问题的一般步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 针对训练 4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________.  y=-4cost t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析：设y=Asin(ωt+φ)，则从题表中可以得到A=4，ω===.又由4sin φ=-4.0，可得sin φ=-1，取φ=-，故y=4sin，即y=-4cost. 5.下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)： 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图； 解：散点图如图所示. (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据. 解：设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c，由图象可知c==37，A==0.4，ω===. ∵0.4sin+37=37.4，∴ sin=1，取φ=-. 故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 √ 解析：根据题图得函数的最小值为2，有-3+k=2，k=5，所以水深的最大值为3+k=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为 (　　) A.y=v0t B.y=v0tsin θ C.y=v0tsin θ-gt2 D.y=v0tcos θ √ 解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ， 故炮弹上升的高度y=v0tsin θ-gt2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin，t∈，下列说法正确的是(　　) A.小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令t=0，得h=，即小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处，A正确；由h=2sin，知h的最大值为2，最小值为-2， 则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm，B正确； 函数的周期T=2π，即往复振动一次需2π s，C正确； 当t=π时，h=2sin=2×=-≠-2，D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如右栏图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π √ 解析：由题图可得，ω>0， T=4×=，即=，则ω=400π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　) A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] √ 解析：当10≤t≤15时，有<5≤≤<，此时F(t)是增函数，即车流量在增加.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12，x∈N+) C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12，x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令x=3，可排除D；令x=7，可排除B； 由A==2，可排除C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)已知一种波的波形为函数y=-sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是______.  7 解析：因为函数y=-sinx的周期T=4，且x=3时y=1， 取得最大值，所以t≥7.所以正整数t的最小值是7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)如图是电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒) 变化的函数I=Asin(A>0，ω>0)的图象，则当 t=秒时，电流强度是____安.  5 解析：由题图可知，A=10，周期T=2×=， 所以ω==100π.所以I=10sin. 当t=秒时，I=10sin=5(安). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.  20.5 解析：由题意得即 所以y=23+5cos.令x=10，得y=20.5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)如图表示相对于平均海平面的某海湾 的水面高度h(米)在某天0~24时的变化情况， 则水面高度h关于时间t的函数关系式为 ___________________.  h=-6sint(0≤t≤24) 解析：设h=Asin(ωt+φ)，由题图知A=6，T=12，∴=12， 即ω==.点(6，0)为五点法作图中的第一点，故×6+φ=0， 得φ=-π，∴h=6sin=-6sint(0≤t≤24). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直 线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上 一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周 的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，点P的横坐标为______；  - 解析：1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为____________________.  3-2cos(t≥0) 解析：由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt， 则此时点P的横坐标为2cos， 所以点P到直线l的距离为3-2cos，t≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求： (1)振动的振幅、周期和频率；(5分) 解：设振幅为A，则2A=20 cm，所以A=10 cm.设周期为T， 则=0.5 s，所以T=1，f=1 Hz. (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.(5分) 解：振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s=5×4A=20A =20×10=200(cm).5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16]. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(4分) 解：当x=14时，函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x=6时，函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30-10=20(℃). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间?(6分) 解：令10sin+20=15，得sin=-， 而x∈[4，16]，所以x=.令10sin+20=25， 得sin=，而x∈[4，16]，所以x=. 当x∈时，x-∈，所以函数y在上单调递增.故该细菌能存活的最长时间为-=小时. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)已知某港口落潮时水的深度为8.4 m，涨潮时水的深度为16 m，相邻两次涨潮发生的时间间隔为12 h.若水的深度d(m)随时间t(h)的变化曲线近似满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+h，且10月10日4：00该港口发生一次涨潮. (1)从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d(m)关于时间t(h)的函数关系式；(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：依题意，知T==12，故ω=.又h==12.2，A=16-12.2=3.8， 所以d=3.8sin+12.2.又t=4时，d=16，所以sin=1. 所以+φ=+2kπ，k∈Z，则φ=-+2kπ，k∈Z.又|φ|<，所以φ=-. 所以该港口的水深d关于时间t的函数关系式为d=3.8sin+12.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)10月10日17：00该港口的水深约为多少(保留一位小数)?(3分) 解：当t=17时，d=3.8sin+12.2=3.8sin+12.2=3.8×+12.2≈15.5. 所以10月10日17：00该港口的水深约为15.5 m. (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10.3 m?(6分) 解：令3.8sin+12.2≤10.3，有sin≤-， 因此2kπ+≤t-≤2kπ+，k∈Z.所以12k+8≤t≤12k+12，k∈Z. 因为t∈[0，24]，所以k可以取0，1.令k=0，得t∈[8，12]；令k=1， 得t∈[20，24].故10月10日这一天该港口共有8小时水深不超过10.3 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(10分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：根据题表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型，∴A==0.9，b==1.5.∵T==12，∴ω=.∴y=0.9cos+1.5.又函数图象过点(3，2.4)，∴2.4=0.9×cos+1.5，∴cos=1， ∴sin φ=-1.又∵-π<φ<0，∴φ=-.∴y=0.9cos+1.5=0.9sint+1.5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)为保证队员安全，规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.(5分) 解：由(1)知y=0.9sint+1.5，令y≥1.05，即0.9sint+1.5≥1.05，∴sint≥-.∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z). ∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18.∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训队员的安全. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $