7.3.3 余弦函数的性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.3.3 余弦函数的性质与图象 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解正弦函数与余弦函数图象的关系. 2.能借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质. 3.掌握余弦型函数的图象变换及性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.余弦函数的定义 因为对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y=cos x是一个函数，一般称为余弦函数. 2.余弦函数的性质 性质 内容 定义域 _____ 值域 _______ 周期性 ________(k∈Z，k≠0)，最小正周期为____ R [-1，1] T=2kπ 2π 续表 奇偶性 _______ 单调区间 在______________ (k∈Z)上递增， 在_______________ (k∈Z)上递减 最值 x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值____； x=2kπ+π(k∈Z)时，取得最小值_____ 对称性 对称轴为x= _____，对称中心为，其中k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) 偶函数 [-π+2kπ，2kπ] [2kπ，π+2kπ] 1 -1 kπ 3.余弦函数的图象 把正弦函数y=sin x的图象向左平移____个单位就得到余弦函数y=cos x的图象，该图象称为____________. 余弦曲线 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)余弦函数y=cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称. (　　) (2)cos 1>cos 2>cos 3. (　　) (3)如果函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　) 基础落实训练 × √ √ 2.下列函数中，周期为的是(　　) A.y=sin x　　　　　　　　 B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos 4x √ 3.函数y=cos x，x∈R图象的一条对称轴是 (　　) A.x轴 B.y轴 C.直线x= D.直线x= √ 4.函数y=-2cos x的最大值为______，此时x=______________.  2 2kπ+π，k∈Z 解析：因为-1≤cos x≤1，所以当cos x=-1时，ymax=-2×(-1)=2. 此时x=2kπ+π，k∈Z. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　余弦函数的图象及变换 [例1]　用“五点法”作出函数y=cos，x∈的简图. 解：列表如下： x - μ=x+ 0 π 2π y=cos μ 1 0 -1 0 1 描点作图(如图). |思|维|建|模| 　　在画函数y=Acos(ωx+φ)的图象时，所取的五点应由ωx+φ=0，，π，，2π来确定，而不是令x=0，，π，，2π. 针对训练 1.把函数y=cos x的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位，得到的图象对应的解析式为(　　) A.y=sin 2x B.y=-sin 2x C.y=cos D.y=cos √ 解析：函数y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y=cos 2x的图象，再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位，得到y=cos=cos=-sin 2x的图象. √ 2.已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示，则f=(　　) A.0 B.-1 C.- D.-2 解析：由题图得A=±2，周期T==π，∴ω=2， ∴f(x)=Acos(2x+θ).又f(0)=Acos θ=，0≤θ≤，∴A=2，θ=. ∴f(x)=2cos，从而可求得f=2cos=-1. 题型(二)　余弦型函数的最值(值域)问题 [例2]　求下列函数的值域： (1)y=cos，x∈； 解：由x∈可得x+∈， 因为函数y=cos x在区间上单调递减， 所以函数的值域为. (2)y=cos2x-4cos x+5. 解：y=cos2x-4cos x+5，令t=cos x，则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1， 当t=-1时，函数取得最大值10； 当t=1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2，10]. |思|维|建|模| 余弦型函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y=acos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. (2)形如y=Acos(ωx+φ)+b型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得cos(ωx+φ)的范围，最后求得最值. (3)形如y=Acos2x+Bcos x+C(A≠0)型，可利用换元思想，设t=cos x，转化为二次函数y=At2+Bt+C求最值.t的范围需要根据定义域来确定. 针对训练 3.函数f(x)=-2cos x+1，x∈的值域是(　　) A.[1，3] B.[-1，3] C.[-3，1] D.[-1，1] √ 解析：∵x∈，∴cos x∈[-1，1]，∴-2cos x+1∈[-1，3]. 4.函数y=sin2x+cos x的值域为________________.  解析：设cos x=t，因为-≤x≤，则t∈， 所以y=1-cos2x+cos x=-+，t∈， 故当t=，即x=±时，y的最大值为； 当t=1，即x=0时，y的最小值为1.所以函数的值域为. 题型(三)　余弦函数的性质及应用 [例3]　(1)函数y=-cos x，x∈(0，2π)的单调性是(　　) A.在(0，π]上是增函数，在[π，2π)上是减函数 B.在上是增函数，在上是减函数 C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π]上是减函数 D.在上是增函数，在上是减函数 √ 解析：函数y=-cos x的单调递减区间为[π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)， 单调递增区间是[2kπ，π+2kπ](k∈Z). ∵x∈(0，2π)，∴y=-cos x在(0，π]上是增函数， 在[π，2π)上是减函数.故选A. (2)比较下列各组数的大小. ①cos，cos； ②cos，cos. 解析：①cos=cos.∵0<<<π，而y=cos x在[0，π]上单调递减， ∴cos>cos，即cos>cos. ②cos=sin. ∵0<<<，且y=sin x在上单调递增， ∴sin<sin，即0<cos<sin<1. 而y=cos x在(0，1)上单调递减， ∴cos>cos. |思|维|建|模| 1.求三角函数周期的三种方法 (1)定义法. (2)公式法.对y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T=. (3)观察法(图象法). 2.有关函数奇偶性的结论 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形. (2)对于奇函数，当x=0属于定义域时必有f(0)=0.对于偶函数，任意属于定义域的x都有f(|x|)=f(x). 3.求函数y=Acos(ωx+φ)的单调区间的技巧 (1)求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得. (2)具体求解时注意两点：①要把ωx+φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正.②在A>0，ω>0时，将“ωx+φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时，同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间. 针对训练 5.(多选)已知函数f(x)=sin(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于点中心对称 D.函数f(x)在上是增函数 √ √ √ 解析：因为f(x)=sin=-sin=cos 2x， 所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T==π，故A、B正确； 由2x=kπ+(k∈Z)，得x=+ (k∈Z)，当k=0时，x=， 所以函数f(x)的图象关于点中心对称，故C正确； 当x∈时，2x∈[0，π]，所以函数f(x)在上是减函数，故D不正确. √ 6.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由x∈(0，2π)，ω>0，令z=ωx-， 则z∈，画出y=2cos z+1的 图象，如图所示， 要想函数f(x)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴， 则2ωπ-∈，解得ω∈.故选A. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin，则下面结论正确的是(　　) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：易知C1：y=cos x=sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=sin的图象， 再把所得函数的图象向左平移个单位， 可得函数y=sin=sin的图象，即曲线C2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos |x| D.f(x)=sin|x| √ 解析：选A　作出函数f(x)=|cos 2x|的图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 由图象可知f(x)=|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增. 同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)=cos |x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=cos 2x的值域是(　　) A.[-2，2] B.[-1，1] C. D. √ 解析：因为≤x≤，所以≤2x≤. 所以-≤cos 2x≤.所以函数y=cos 2x的值域是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 √ 解析：∵T==≤2，∴k≥4π，又k∈Z，∴正整数k的最小值是13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)若函数f(x)=2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则 (　　) A.当x∈时，f(x)<0 B.f(0)=1 C.f=0 D.所围图形的面积为2π √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：作出函数f(x)=2cos x，x∈[0，2π]的图象， 函数f(x)=2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2围 成的平面图形为如图所示的阴影部分. 由图可知，当x∈时，f(x)<0，故A正确； f(0)=2cos 0=2，故B错误；f=2cos=0，故C正确； 利用图象的对称性，知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积， 因为OA=2，OC=2π， 所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π，故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是 (　　) A.-1 B.1 C.- D.-5 √ 解析：由题意，得y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3 =-2-.∵-1≤cos x≤1， ∴当cos x=时，函数有最大值-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.函数y=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示.A，B分别为最高点、最低点，且AB=4，则该函数图象的一个对称中心的坐标为(　　) A.(4，0) B. C. D.(2，0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由y=2cos(ωx+φ)为奇函数知φ=kπ+，k∈Z.∵0<φ<π， ∴φ=，则y=2cos=-2sin ωx.由AB=4知=4，∴T=8=，∴ω=，∴y=-2sin.令x=kπ，k∈Z，得x=4k，k∈Z， 当k=1时，x=4，故函数图象的一个对称中心为点(4，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)若函数y=2cos的最小正周期为4π，则ω=________.  ± 解析：∵4π=，∴ω=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)函数f(x)=cos在[0，π]的零点个数为______.  3 解析：由题意可知，当3x+=kπ+(k∈Z)时， f(x)=0.∵x∈[0，π]，∴3x+∈， ∴当3x+取值为时，f(x)=0， 即函数f(x)=cos在[0，π]的零点个数为3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为_____.  - 解析：因为α与β的终边关于原点对称，所以β=2kπ+π+α(k∈Z)， 所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈， 所以cos α∈，所以cos β∈， 故cos β的最大值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_______.  [2，3) 解析：函数f(x)=cos ωx-1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx=1 在区间[0，2π]有且仅有3个根.因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ].令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，如图，结合余弦函数y= cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)已知函数y=cos x+|cos x|. (1)画出函数的简图；(5分) 解： y=cos x+|cos x|= 函数图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)这个函数是周期函数吗?如果是，求出它的最小正周期；(2分) 解：由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π. (3)指出这个函数的单调区间.(3分) 解：由图象知函数的单调增区间为(k∈Z)， 单调减区间为(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数y=a-bcos(b>0)的最大值为，最小值为-. (1)求a，b的值；(5分) 解：因为cos∈[-1，1]， 又b>0，所以解得a=，b=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数g(x)=-4asin的最小值并求出对应x的集合.(5分) 解：由(1)知g(x)=-2sin，因为sin∈[-1，1]， 所以g(x)∈[-2，2]，所以g(x)的最小值为-2， 对应x的集合为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，0<φ<π)的最小值为1，最小正周期为π，且f(x)的图象关于直线x=对称. (1)求f(x)的解析式；(5分) 解：依题意可得解得ω=2，A=1，则f(x)=cos(2x+φ)+2. 因为f(x)的图象关于直线x=对称，所以2×+φ=kπ(k∈Z). 又0<φ<π，所以φ=.故f(x)=cos+2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)将曲线y=f(x)向左平移个单位，得到曲线y=g(x)，求曲线y=g(x)的单调递增区间.(5分) 解：依题意可得g(x)=f=cos+2=-sin 2x+2. 令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 故曲线y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)将函数y=cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数f(x)的图象. (1)求f(x)的解析式；(3分) 解：由题意可得f(x)=2cos=2cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若y=f(x+a)是奇函数，求a的值；(5分) 解：f(x+a)=2cos， 因为y=f(x+a)是奇函数， 所以2a-=+kπ(k∈Z)， 解得a=+(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求f(x)在上的最小值与最大值.(7分) 解：因为x∈，所以2x-∈， 当2x-=，即x=时，f(x)取得最小值，且最小值为2cos=-， 当2x-=0，即x=时，f(x)取得最大值，且最大值为2cos 0=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $