7.3.2 第1课时 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.3.2 正弦型函数的性质与图象 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.正弦型函数的定义 一般地，形如______________的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0. 2.φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 (1)φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 y=Asin(ωx+φ) (2)ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响 (3)A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 3.正弦型函数中的常数A，ω，φ的物理意义 |A|称为______；φ称为______；周期T=，f==称为_____. 4.函数y=Asin(ωx+φ)的性质 函数 y=Asin(ωx+φ) 定义域 R 值域 _________ 单调性 若A>0，ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sin x相应的单调区间求解；若A<0或ω<0时，注意单调性的变化 振幅 初相 频率 [-|A|，|A|] 续表 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为________， 当φ=kπ±(k∈Z)时为________ 周期性 T=______ 图象的 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sin x图象相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解 奇函数 偶函数 |微|点|助|解|　　三角函数图象变换的方法 　　从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的常用方法有两种： 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位，能得到函数y=sin的图象. (　　) (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得到函数y=sin 2x的图象. (　　) (3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到y=6sin的图象. (　　) 基础落实训练 × × √ 2.函数y=sin在区间上的简图是(　　) √ 3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是(　　) A.4π，-2 B.4π，2 C.π，2 D.π，-2 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　三角函数图象的变换 角度1　平移变换 [例1]　将函数y=2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin √ 解析：函数y=2sin的周期为T==π， 向右平移个周期，即向右平移个单位后， 得到图象对应的函数为y=2sin=2sin，故选D. |思|维|建|模|　　三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. 角度2　伸缩变换 [例2]　为了得到函数y=sin的图象，需将函数y=sin的图象(　　) A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C.横坐标变为原来的，纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的，横坐标不变 √ 解析：只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的， 纵坐标不变，便得到函数y=sin的图象，故选C. |思|维|建|模| 　　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的. 针对训练 1.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A.y=sin　　　 B.y=sin C.y=sin D.y=sin √ 解析：将y=sin x的图象向右平移个单位得到y=sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin的图象. 2.写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤. 解：法一　先平移再伸缩，过程如下： ①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin的图象； ②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象； ③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin的图象. 法二　先伸缩再平移，过程如下： ①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sinx的图象； ②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位， 得到y=sin=sin的图象； ③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin的图象. 题型(二)　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3]　用“五点法”作函数y=3sin的简图，并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相. 解：(1)列表： x x- 0 π 2π y 0 3 0 -3 0 (2)描点：在直角坐标系中描出点. (3)连线：将所得五点用光滑的曲线顺次连起来，如图所示. (4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象， 再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位， 得函数y=3sin的图象. 此函数振幅为3，最小正周期为4π，频率为，初相为-. |思|维|建|模| 　　用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步：列表. ωx+φ 0 π 2π x - - - - - y 0 A 0 -A 0 　第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象.　　 针对训练 3.用“五点法”作出函数y=2sin的图象，并指出函数的单调区间. 解：(1)列表： x - 2x+ 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 (2)描点. (3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，所得图象如图所示，为该函数在一个周期内的图象，然后将图象左右平移(每次π个单位)即可得到该函数在定义域R内的图象. 由图象知在一个周期内，函数在上单调递减， 又因为函数的最小正周期为π， 所以函数的单调递减区间为(k∈Z). 同理，单调递增区间为(k∈Z). 题型(三)　由函数的图象确定函数的解析式 [例4]　如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，由图中条件，写出该函数的解析式. 解：法一：最值点法　由题图可得A=2，ω=， 将最高点坐标代入y=2sin，得2sin=2. 所以+φ=2kπ+，k∈Z，即φ=2kπ+(k∈Z). 又因为|φ|<π，所以φ=. 所以此函数的解析式为y=2sin. 法二：起始点法　由题图可得ω=，x0=-，φ=-ωx0=-×=. 又因为A=2，所以此函数的解析式为y=2sin. 　[变式拓展] 将本例中的图象变为右图所示的图象， 试求函数的解析式. 解：法一　根据题意，A=3，T=-=π， ∴ω==2.将点M代入y=3sin(2x+φ)中， 得3=3sin，∴sin=1.∴+φ=，即φ=， 从而所求函数解析式为y=3sin. 法二　由题图知A=3，又图象过M，N， 根据“五点法”的原理(M，N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有解得 从而所求函数解析式是y=3sin. |思|维|建|模| 由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法 1.最值法 (1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|=. (2)ω：因为T=，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T. (3)φ：以“五点法”中的最高点作为突破口，即当ωx+φ=+2kπ，k∈Z时，y有最大值，或者由“五点法”中的第一个点作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置. 2.“五点”对应法 依据“五点法”的原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π. 针对训练 4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A.2，- B.2，- C.4，- D.4， √ 解析：由题图可知最小正周期T=2×=π，∴ω=2. 将图象最高点的坐标代入f(x)=2sin(2x+φ)， 得sin=1，则+φ=+2kπ，k∈Z. 又|φ| <，∴φ=-. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=_______.  - 解析：由题意，设A，B， 则x2-x1=，由y=sin(ωx+φ)的图象可知， ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=，即ω(x2-x1)=，∴ω=4， 又f=sin=0， ∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z，观察图象， 可知当k=2时，φ=-满足条件，∴f(π)=sin=-. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=sin x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 解析：将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位，就可得到函数y=sin的图象. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=sin的图象向左平移个单位得到(　　) A.y=sin B.y=-sin C.y=-cos D.y=cos √ 解析： y=sin的图象向左平移个单位得到y=sin=cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4 √ 解析：由题图可知，A=2，B=2，T=-=，得T=π，ω=2. 因为2×+φ=，又|φ|<，所以φ=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)下列四种变换方式，能将y=sin x的图象变为y=sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的 B.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位 C.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位 D.向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的　 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：将y=sin x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y=sin的图象，故A正确； 将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y=sin 2x的图象，再向左平移个单位，可得y=sin的图象，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y=sin 2x的图象，再向左平移个单位，可得y=sin=cos 2x的图象，故C错误； 将y=sin x的图象向左平移个单位，可得y=sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y=sin的图象，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π，函数y=2sin的最小正周期为T=，所以在x∈[0，2π]上函数y=2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)=f(π+x) B.f(x)=-f(π+x) C.f(x)=f D.f(x)=-f √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题图知T=×=-，ω=2，由五点对应法得2×+φ=+2kπ，k∈Z，得φ=+2kπ，k∈Z，∵|φ|<， ∴当k=0时φ=，∴f(x)=sin，周期T=π，A正确，B错误； 当x=时，f=sin=sin π=0≠±1， 即x=不是函数f(x)的对称轴，是函数f(x)的一个对称中心， 即C错误，D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)要得到函数y=sin的图象，可把函数y=sin(-x)的图象向______平移______个单位.  右 解析：y=sin=sin，可把y=sin(-x)的图象向右平移个单位. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位得到函数y=sin的图象，则φ的值为　　　　.  解析：由题意，得2φ=，则φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为________________.  y=3sin 解析：y=sin x y=3sin y=3sin=3sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y=sin x的图象，则f=　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：将y=sin x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象， 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=sin的图象，故f(x)=sin，所以f=sin=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<2π)的图象与y轴交于点，与x轴交于点，则ω+φ=________.  2+ 解析：由题意，得 且ω>0，0≤φ<2π，所以φ=或φ=，且ω+φ=kπ，k∈Z. 当φ=时，ω=kπ-，k∈Z，故ω=-1，k∈Z， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当φ=时，ω=kπ-，k∈Z，故ω=，k∈Z. 由题图知，T=>>T=，可得<ω<. 综上，当且仅当k=2时，ω=-1=2， 满足题意，此时φ=，故ω+φ=2+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R)，用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图. 解：(1)列表： + 0 π 2π x - f(x) 3 6 3 0 3 (2)描点画图： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)函数y=5sin-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的? 解：先把函数y=sin x的图象向右平移个单位，得y=sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y=sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得函数y=5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y=5sin-3的图象(答案不唯一). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： x - x1 x2 ωx+φ 0 π 2π sin(ωx+φ) 0 1 0 -1 0 f(x) 0 0 y2 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)请利用上表中的数据，写出x1，y2的值，并求函数f(x)的解析式；(10分) 解：由题表根据五点作图的规律， 可得-=x1-，y2=-，A=， T=-=4π，得x1=，ω==. ∴×+φ=0，解得φ=. 综上，x1=，y2=-，f(x)=sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式.(5分) 解：将函数f(x)的图象向右平移个单位， 得y=sin=sinx， 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的， 纵坐标不变，得g(x)=sin x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知函数f(x)=2sin ωx，其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；(6分) 解：因为ω>0，根据题意有 解得0<ω≤.所以ω的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.(9分) 解：由题意知f(x)=2sin 2x，g(x)=2sin+1=2sin+1. 由g(x)=0，得sin=-，解得x=kπ-或x=kπ-，k∈Z， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即g(x)的零点距离间隔依次为和， 故若y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点， 则b-a的最小值为14×+15×=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $