7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

正弦函数的图象 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.了解利用半径为1的圆中的正弦线画出正弦曲线的方法. 2.掌握五点法画正弦曲线的步骤，能用五点法作出简单的正弦曲线. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 正弦函数的图象 函数 y=sin x 图象 图象画法 ________ 五点法 续表 关键五点 _______，，______，，_______ 对称轴 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为______________ 对称中心 正弦曲线是中心对称图形，对称中心为_____________ (0，0) (π，0) (2π，0) x=+kπ(k∈Z) (kπ，0)(k∈Z) 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y=sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称. (　　) (2)正弦函数y=sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同. (　　) (3)正弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围. (　　) 基础落实训练 √ √ √ 2.下列图象中，符合y=-sin x在[0，2π]上的图象的是 (　　) √ 解析：把y=sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称， 即可得到y=-sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. 3.若点M在函数y=sin x的图象上，则m等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 √ 解析：由题意-m=sin，∴-m=1，∴m=-1. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　五点法作正弦函数的图象 [例1]　用“五点法”作y=sin x-2，x∈[-π，π]的大致图象. 解：列表： x -π - 0 π sin x 0 -1 0 1 0 sin x-2 -2 -3 -2 -1 -2 描点，画出图象如下. 　|思|维|建|模| 作形如y=asin x+b，x∈[0，2π]的图象的步骤 列表 在[0，2π]上先分别找出确定所求函数图象的五个关键点，在表中列出相应的五点的坐标 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描出相应的点 连线 用光滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来，便得到所求函数的图象 针对训练 1.用“五点法”作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： (1)y=sin x； 解：列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y 0 0 - 0 描点，y=sin x在x∈[0，2π]上的图象如图所示. (2)y=sinx； 解：列表如下： x 0 3π 6π x 0 π 2π y 0 1 0 -1 0 描点，y=sinx在x∈[0，6π]上的图象如图所示. (3)y=2sinx. 解：列表如下： x 0 π 2π 3π 4π x 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 描点，y=2sinx在x∈[0，4π]上的图象如图所示. 题型(二)　利用正弦函数图象解不等式 [例2]　不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为 (　　) A.　 　　B. C. D. √ 解析：因为2sin x-1≥0，所以sin x≥.在同一平面直角坐标系下， 作函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象. 由函数的图象知，sin=sin=. 所以根据图象可知，sin x≥的解集为. [变式拓展] 1.在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x-1≥0的解集. 解：在x∈[0，2π]上的解集为. 所以x∈R时，不等式的解集为. 2.本例条件变为“<sin x≤”，求不等式的解集. 解：作出正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y=和y=， 如图所示. 由图可知，在[0，2π]上，当<x≤或≤x<时， 不等式<sin x≤成立，所以原不等式的解集为. |思|维|建|模| 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象. (2)确定在[0，2π]上sin x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集. (4)根据公式一写出定义域内的解集. 针对训练 2.在[0，2π]上，函数y=的定义域是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. √ 解析：在[0，2π]上，函数y=的定义域满足2sin x-≥0， 即sin x≥.结合图象，知x∈. 题型(三)　正弦函数图象与方程根的综合 [例3]　函数y=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为 (　　) A.[0，3] B.[1，3] C.(1，3) D.(0，3) √ 解析：因为函数y=sin x+2|sin x|= 当x∈[0，π]时，函数y=3sin x∈[0，3]， 当x∈(π，2π]时，函数y=-sin x∈[0，1]，作出函数的草图如图所示， 由图可知要使函数y=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则有1<k<3. |思|维|建|模| 　　解决此类问题的关键是在坐标系中利用五点法做出正弦函数的图象及其他函数的图象，利用两函数图象交点的个数判断根的个数，由图象间的关系求参数. 针对训练 3.方程sin x=lg x的实根有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 √ 解析：在同一平面直角坐标系中作函数y=sin x与y=lg x的图象，如图，由图可以看出两函数图象有3个交点，所以方程sin x=lg x的实根有3个. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.用“五点法”画y=sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C.(π，0) D.(2π，0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析：作出函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图可知其与直线y=2只有1个交点.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数y=|x|sin x在[-π，π]上的图象大致是 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题设f(x)=|x|sin x，函数的定义域为[-π，π]， 关于原点对称，所以f(-x)=-|x|sin x=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称， 所以排除选项C、D.又f=×1>0，所以排除选项B，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.不等式sin x<-，x∈[0，2π]的解集是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图所示，不等式sin x<-，x∈[0，2π]的解集为.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.方程sin x=的根的个数是(　　) A.7 　　　　B.8 C.9 　　　　D.10 √ 解析：在同一平面直角坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设α，β均为锐角，则“α>β ”是“sin α>sin β ”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：因为α，β均为锐角，正弦函数y=sin x在上单调递增， 所以α>β⇔sin α>sin β，所以“α>β”是“sin α>sin β ”的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.当x∈[0，2π]时，满足cos≥-的x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析： cos≥-⇔sin x≥-，因为x∈[0，2π]， 所以sin=-，sin=-.再结合正弦函数图象， 可得x的取值范围为∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知函数f(x)=x-sin x，a=f(π)，b=f(2)，c=-f(-)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c √ 解析：由x∈R，f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x)，得f(x)为奇函数， 则c=-f(-)=f().因为<<2<π，函数y=sin x在上单调递减， 所以f(x)=x-sin x在上单调递增，则f()<f(2)<f(π)，即a>b>c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)用“五点法”作函数y=sin 2x，x∈的大致图象，所取的五点是__________________________________________________.  ，(0，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数y=4sin(2x+π)的图象关于________对称.  原点 解析：y=4sin(2x+π)=-4sin 2x，易证函数为奇函数， 所以其图象关于原点对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)函数y=sin x+，x∈[0，2π]的图象与直线y=1的交点坐标为_________________.  或 解析：因为y=sin x+，令y=1，即sin x+=1，则sin x=， 所以x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).因为x∈[0，2π]， 所以x=或x=.所以函数y=sin x+， x∈[0，2π]的图象与直线y=1的交点坐标为或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=1-2sin x. (1)用“五点法”作出函数f(x)在x∈[0，2π]上的简图；(8分) 解：五个关键点列表如下： x 0 π 2π f(x) 1 -1 1 3 1 作图： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)根据图象求f(x)≥1在[0，2π]上的解集.(2分) 解：根据(1)中的图象，可得f(x)≥1在[0，2π]上的解集为{0}∪[π，2π]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出函数的简图；(5分) 解：y=sin x+|sin x|= 函数图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)此函数是周期函数吗?若是，求其最小正周期；(3分) 解：由图象知该函数是周期函数，其图象至少每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π. (3)求此函数的值域.(2分) 解：由图象易得函数的值域为[0，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设函数f(x)=xsin x. (1)证明：f(x)在上单调递增；(6分) 证明：设0≤x1<x2≤，因为y=sin x在上单调递增， 所以0≤sin x1<sin x2≤1. 所以x1sin x1<x2sin x2，即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若方程f(x)=1在[0，π]上有且仅有两个根α，β，证明：α+β>π.(9分) 证明：因为f(0)=f(π)=0，所以0与π不是方程f(x)=1的根. 所以方程f(x)=1在(0，π)上有且仅有两个根α，β.不妨设α<β， 由f(x)=1，可得sin x=. 在坐标系中分别作出函数g(x)=sin x 与h(x)=在(0，π)上的图象如图所示， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 可得0<α<<β<π，所以0<π-β<. 因为sin β=，所以f(π-β)=(π-β)sin(π-β)=(π-β)sin β==-1<1. 又f(α)=1，所以f(π-β)<f(α). 因为α∈，π-β∈，且f(x)在上单调递增， 所以π-β<α，即α+β>π. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $