7.2.4 第2课时 诱导公式⑤～⑧-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

诱导公式⑤~⑧ [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解公式⑤~⑧的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征. 2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.诱导公式⑤~⑧ 诱导公式⑤ sin=______，cos=_____ 诱导公式⑥ sin=_____，cos=______ 诱导公式⑦ cos=_____，sin=______ 诱导公式⑧ cos=______，sin=_____ cos α sin α cos α -sin α sin α -cos α -sin α -cos α |微|点|助|解| 　　诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“正变余，余变正，符号象限定”，即±α，±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 2.三角形中的诱导公式 (1)sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. (2)cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C. (3)tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C. (4)sin=sin=cos. (5)cos=cos=sin. 3.诱导公式的变形 (1)sin=cos=cos. (2)cos=sin. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)cos=cos α. (　　) (2)sin=-cos α. (　　) (3)若cos 10°=a，则sin 100°=a. (　　) (4)若α为第二象限角，则sin=-cos α. (　　) 基础落实训练 × × √ √ 2.已知sin=，那么cos α=(　　) A.- B.- C. D. √ 解析：由sin=sin=cos α，得cos α=. 3.计算：sin211°+sin279°=______.  1 解析：sin211°+sin279°=sin211°+cos211°=1. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用诱导公式化简求值 [例1]　(1)已知cos(π+α)=，则sin的值为(　　) A. B.- C. D.- √ 解析：因为cos(π+α)=-cos α=，所以sin=-cos α=.故选C. (2)已知sin=，则cos的值为_______.  解析：cos=cos=sin=. [变式拓展] 1.本例(2)的条件变为“sin=”，求cos的值. 解：∵+=，∴cos=cos=-sin=-. 2.本例(2)中的条件不变，求cos的值. 解：cos=cos=-sin=-. |思|维|建|模| 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. [提醒]　常见的互余关系有-α与+α，+α与-α等；常见的互补关系有+θ与-θ，+θ与-θ等. 针对训练 1.若sin=，则sin-cos=(　　) A.0 B. C. D. √ 解析：依题意，令+α=t，则sin t=-α=π-=π-t，+α=++α=+t，所以sin-cos =sin(π-t)-cos=sin t+sin t=2sin t=. √ 2.已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是 (　　) A. B. C.- D.- 解析： sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31°==. 题型(二)　三角恒等式的证明问题 [例2]　求证：=. 证明：因为右边== == ===左边， 所以原等式成立. 　|思|维|建|模|　三角恒等式证明的策略 遵循的 原则 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则 常用的 方法 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法 针对训练 3.求证：=-tan θ. 证明：因为左边===-tan θ=右边， 所以原等式成立. 题型(三)　诱导公式的综合应用 [例3]　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值； 解：根据题意，得sin α==， cos α==，tan α==. sin(α+π)=-sin α=-. (2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到，求5sin β-5cos β+3tan β的值. 解：根据题意，得β=α-. ∴5sin β-5cos β+3tan β=5sin-5cos+3tan =5sin-5cos+ =5cos α+5sin α-=5×+5×-3×=-. 　|思|维|建|模|　诱导公式综合应用要“三看” 一看角 ①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系 二看函数名称 弦切互化，一般是切化弦 三看式子 结构 通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式 针对训练 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的 非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作 x轴的垂线，垂足为点B，OB=2. (1)求tan α的值； 解：依题意，在Rt△AOB中，OA=3，OB=2， 则AB==，tan ∠AOB==. 而由题图可知，∠AOB+α=π. 故tan α=tan(π-∠AOB)=-tan ∠AOB=-. (2)求的值. 解：因为tan α=-，sin=sin=sin =cos α，sin(π+α)=-sin α， cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α， 所以==-2+tan α=-2-. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于 (　　) A.a B.-a C.a2 D. √ 解析： cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列选项正确的是 (　　) A.sin(α-3π)=sin α B.cos=-sin α C.tan(-α-π)=-tan α D.sin=cos α √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析： sin(α-3π)=sin(α-π)=-sin(π-α)=-sin α，故A不正确； cos=cos=-sin α，故B正确； tan(-α-π)=tan(-α)=-tan α，故C正确； sin=sin=cos α，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设sin 25°=a，则sin 65°cos 115°tan 205°= (　　) A. B.- C.-a2 D.a2 √ 解析：因为sin 65°=cos 25°，cos 115°=cos(90°+25°)=-sin 25°， tan 205°=tan(180°+25°)=tan 25°=， 所以sin 65°cos 115°tan 205°=-sin225°=-a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中，cos=，则cos的值为(　　) A.± B.± C. D. √ 解析：在△ABC中，A+B+C=π，∴=-， ∴cos =cos=sin=.又∈，∴cos=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知sin=，则下列说法正确的是(　　) A.cos= B.sin= C.cos= D.sin= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：依题意sin=， 得cos=± =±，A错误； sin=sin=sin=，B正确； cos=sin=sin=，C正确； sin=sin=-sin=-，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知cos=，且|φ|<，则tan φ等于(　　) A.- B.- C. D. √ 解析：∵cos=-sin φ=，∴sin φ=-<0.∵|φ|<， ∴-<φ<0.∴cos φ==.∴tan φ==-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)化简sin(π+α)cos+sin·cos(π+α)=_____.  -1 解析：原式=(-sin α)sin α+cos α(-cos α)=-sin2α-cos2α=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上一点，则sin=_____.  - 解析：因为P在角α的终边上，所以r==1.所以cos α=-.所以sin=cos α=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若sin=，则cos=______.  解析：因为+=，所以-α=-. 所以cos=cos=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)如图，以坐标原点O为顶点，x轴的正半轴为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q.已知点P的坐标为，若OP⊥OQ，则3sin β-4cos β=_______.  - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由已知得cos α=-，sin α=.由题意知β=α-， ∴sin β=sin=-sin=-cos α=， cos β=cos=cos=sin α=. ∴3sin β-4cos β=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)sin21°+sin22°+…+sin289°的值为_______.  解析：因为sin(90°-α)=cos α，sin2α+cos2α=1，所以sin2α+sin2(90°-α)=1. 因此sin21°+sin289°=1，sin22°+sin288°=1，sin23°+sin287°=1，…. 所以sin21°+sin22°+…+sin289°=44×1+sin245°=44+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)求证：sin(α-2π)cos(2π-α)=sin2α. 证明：左边=·[-sin(2π-α)]cos α=[-(-sin α)]cos α =·sin αcos α=sin2α=右边，故原式成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A.将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β. (1)求sin β，cos β；(5分) 解：由题意，得+=1，α为锐角， 故y0>0，解得y0=，所以sin α=，cos α=， sin β=sin=cos α=，cos β=cos=-sin α=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值.(5分) 解：= ===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，-m-1)， 且cos α=. (1)求实数m的值；(4分) 解：根据三角函数的定义可得cos α==， 解得m=0或m=3或m=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若m>0，求的值.(6分) 解：由(1)知m=0或m=3或m=-4，因为m>0， 所以m=3，所以cos α=，sin α=-， 由诱导公式，可得==-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知f(α)=. (1)若tan α=2，求的值；(6分) 解：f(α)===-cos α. ====-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若f=-，-<α<-，求cos+cos的值.(9分) 解：∵f=-cos=-，∴cos=， ∴cos=cos=-cos=-. ∵-<α<-，∴<-α<， ∴sin===， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴cos=cos =cos=sin=. ∴cos+cos=-+=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $