7.2.4 第1课时 诱导公式①～④-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.2.4 诱导公式 诱导公式①~④ [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式①~④的推导过程.理解诱导公式①~④的意义与作用. 2.能利用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 公式① 终边相同 sin(α+2kπ)=______ (k∈Z) cos(α+2kπ)=______ (k∈Z) tan(α+2kπ)=______ (k∈Z) 公式② 终边关于 x轴对称 sin(-α)=______ cos(-α)=______ tan(-α)=______ sin α cos α tan α -sin α cos α -tan α 续表 公式③ 终边关于 y轴对称 sin(π-α)=______ cos(π-α)=______ tan(π-α)=______ 公式④ 终边关于 原点O对称 sin(π+α)=______ cos(π+α)=______ tan(π+α)=______ sin α -cos α -tan α -sin α -cos α tan α |微|点|助|解| (1)公式①~④中的角α可以是任意角，如sin[π+(2x-3)]=-sin(2x-3). (2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导公式，角α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即α≠kπ+(k∈Z). (3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)利用诱导公式④可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数. (　　) (2)利用诱导公式②可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. (　　) (3)公式tan(α-π)=tan α中，α=不成立. (　　) 基础落实训练 √ √ √ 2.cos(π+x)等于 (　　) A.cos x B.-cos x C.sin x D.-sin x √ 解析：由诱导公式，得cos(π+x)=-cos x. 3.cos(3π-α)= (　　) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α √ 解析： cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α. 4.sin 210°= (　　) A. B.- C. D.- √ 解析： sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-，故选D. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值. (1)cosπ； 解：cosπ=cos=cosπ=cos=cos=. (2)sin； 解：sin=-sin=-sin=-sin=-. (3)tan(-855°). 解：tan(-855°)=-tan 855°　=-tan(2×360°+135°) =-tan 135°　=-tan(180°-45°)=tan 45°=1. 　|思|维|建|模| 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 “负化正” 用公式①或②来转化 “大化小” 用公式①将角化为0°到360°间的角 “小化锐” 用公式③或④将大于90°的角转化为锐角 “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 针对训练 1.cos的值为(　　) A.- B.- C. D. √ 解析： cos=cos=cos=cos=. 2.求值：cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°. 解：原式=cos 120°(-sin 150°)+tan 855° =-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°) =cos 60°sin 30°+tan 135° =cos 60°sin 30°+tan(180°-45°) =cos 60°sin 30°-tan 45°=×-1=-. 题型(二)　给值求值 [例2]　已知cos=，求下列各式的值. (1)cos； 解： cos=cos=-cos=-. (2)cos. 解：cos=cos=cos=cos=. 　[变式拓展] 若本例的条件不变，求cos-sin2的值. 解：因为cos=cos=-cos=-，sin2=sin2=1-cos2=1-=， 所以cos-sin2=--=-. 　　|思|维|建|模|　解决给值求值问题的两个技巧 针对训练 3.已知cos(π-α)=-，且α是第一象限角，则sin(-2π-α)的值是(　　) A. B.- C.± D. √ 解析：因为cos(π-α)=-cos α=-，所以cos α=. 因为α是第一象限角，所以sin α>0， 所以sin α===， 所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=-. 4.已知cos(α-75°)=-，且α为第四象限角，则sin(105°+α)=________.  解析：∵cos(α-75°)=-<0，且α为第四象限角，∴α-75°为第三象限角， ∴sin(α-75°)=-=-=-. ∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=. 题型(三)　化简求值 [例3]　设k为整数，化简：. 解：法一：分类讨论　当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)， 则原式====-1； 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，同理可得原式=-1. 综上，=-1. 法二：配角法　由于kπ-α+kπ+α=2kπ，(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ， 故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α)， sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α)，sin(kπ-α)=-sin(kπ+α). 所以原式==-1. 　|思|维|建|模|　三角函数式化简的常用方法 合理转化 ①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式. ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数 切化弦 一般需将表达式中的正切函数转化为弦函数 注意“1” 的应用 1=sin2α+cos2α=tan 针对训练 5.已知f(α)=. (1)化简f(α)； 解：f(α)==-cos α. (2)若α是第三象限角，且sin(α-π)=，求f(α)的值； 解：∵sin(α-π)=-sin α=，∴sin α=-. 又α是第三象限角，∴cos α=-.∴f(α)=-cos α=. (3)若α=-，求f(α)的值. 解：∵-=-6×2π+，∴f =-cos=-cos=-cos=-. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.tan 240°等于 (　　) A. B.- C. D.- √ 解析： tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如果cos(5π+A)=-，那么cos A=(　　) A. B.- C.- D. √ 解析：由cos(5π+A)=-，得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-， 即cos A=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)已知sin(π-α)=，则cos(α-2 026π)的值为(　　) A. B.- C. D.- √ √ 解析：∵sin(π-α)=，∴sin α=，cos(α-2 026π) =cos α=±=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知tan=，则tan=(　　) A. B.- C. D.- √ 解析： tan=tan=-tan=-.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)下列化简正确的是 (　　) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由诱导公式④可得tan(π+1)=tan 1，故A正确； ==cos α，故B正确； ==-tan α，故C不正确； ==-1，故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若角α顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边一点P的坐标为，则角α为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为sin=sin=sin=-sin=-<0，cos=cos=-cos=-<0，所以点P在第三象限. 所以角α为第三象限角.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)化简：·tan(π+α)=______.  -1 解析：原式=·tan α=·tan α=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知sin(45°+α)=，则sin(135°-α)=_________.  解析：sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知f(x)=则f+f的值为_____.  -2 解析：f=sin=sin=sin=， f=f-1=f-1=f-2=f-2 =sin-2=-sin-2=--2=-， 所以f+f=-=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)记cos(-80°)=k，那么tan 280°=_________.  - 解析：∵cos(-80°)=k，∴sin(-80°)=-. 那么tan 280°=tan(-80°)==-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若f(n)=sin(n∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=_______.  解析：f(1)=sin=，f(2)=sin=， f(3)=sin π=0，f(4)=sin=-， f(5)=sin=-，f(6)=sin 2π=0， f(7)=sin=sin=f(1)，f(8)=f(2)，…， 因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=f(1)+f(2)+f(3)+337×0=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)设f(θ)=. (1)化简f(θ)；(5分) 解：原式===-cos θ. (2)若θ=660°，求f(θ)的值.(5分) 解：因为θ=660°，所以f(θ)=f(660°)=-cos 660° =-cos(720°-60°)=-cos(-60°)=-cos 60°=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知sin(π-α)-cos(π+α)=，求下列各式的值. (1)sin α-cos α；(5分) 解：由sin(π-α)-cos(π+α)=，得sin α+cos α=. ∴1+2sin αcos α=，2sin αcos α=-. ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=， 又<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α-cos α>0.∴sin α-cos α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)sin3(2π-α)+cos3(2π-α).(5分) 解：原式=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos αsin α+sin2α) =(cos α-sin α)(1+cos αsin α) =-×=-×=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在△ABC中，若sin(2π-A)=-sin(π-B)，cos A=-cos(π-B)，求△ABC的三个内角. 解：由题意，得sin A=sin B，cos A=cos B. 由平方关系整理，得2cos2A=1，cos A=±. 又因为A∈(0，π)，所以A=或A=.当A=时，cos B=-<0， 所以B∈.所以A，B均为钝角，不合题意，舍去. 所以A=，cos B=.所以B=.所以C=.综上所述，A=，B=，C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知=3+2，求[cos2(π-θ)+sin(π+θ)cos(π-θ)+2sin2 (θ-π)]·的值. 解：由=3+2，得(4+2)tan θ=2+2. 所以tan θ==. 故[cos2(π-θ)+sin(π+θ)cos(π-θ)+2sin2(θ-π)] =(cos2θ+sin θcos θ+2sin2θ)·=1+tan θ+2tan 2θ =1++2×=2+. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $