7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.2.2 单位圆与三角函数线 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(比较大小、解不等式等). CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.单位圆 定义 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足_________的点组成的集合称为_______ P的 坐标 如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α).这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和_______ x2+y2=1 单位圆 横坐标 纵坐标 2.三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M. 由三角函数的定义知点P(cos α，sin α)，其中cos α=±||，sin α=±||，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α=±||.我们称__________分别为α的余弦线、正弦线、正切线. 各象限内的三角函数线如下表所示：   第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图 形 3.三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示. (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆. (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点. (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值. 1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 (　　) A.正弦线，正切线 B.正弦线，正切线 C.正弦线，正切线 D.正弦线，正切线 √ 基础落实训练 2.下列角的正切线不存在的是 (　　) A.- B. C. D. √ 解析：因为的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在. 3.若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos α=_____.  - 解析：因为α的余弦线方向与x轴负方向相同， 所以cos α<0，所以cos α=-. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　作已知角的三角函数线 [例1]　分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线. 解：如图(1)，在平面直角坐标系中作单位圆以及直线x=1，单位圆与x轴交于点A(1，0). 作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线， 垂足为M，延长线段PO，交直线x=1于T， 则的正弦线为，余弦线为，正切线为. 同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线，如图(2). -的正弦线为，余弦线为，正切线为. |思|维|建|模| 三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线.要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线. 针对训练 1.画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值. 解：如图所示，其中sin=-，cos=-，tan=. 题型(二)　利用三角函数线比较大小 [例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小. (1)sin和sin； 解：如图所示，设的终边与单位圆交于点P1， 的终边与单位圆交于点P2. 过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2，则分别是的正弦线. ∵||>||，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin>sin. (2)cos和cos； 解：易知分别是的余弦线. ∵||<||，且与的方向都与x轴的正方向相反，∴cos>cos. (3)tan和tan. 解：过点A(1，0)作x轴的垂线，交的终边的反向延长线于点T1，交的终边的反向延长线于点T2， 则分别是的正切线. ∵||>||，且与的方向都与y轴的正方向相反，∴tan<tan. |思|维|建|模|　　利用三角函数线比较同名三角函数值大小的策略 (1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小. (2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小. (3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1，0)作垂线，设与角α，β的终边(或终边的反向延长线)分别交于点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小. 针对训练 2.已知cos α>cos β，那么下列结论成立的是 (　　) A.若α，β是第一象限角，则sin α>sin β B.若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α，β是第三象限角，则sin α>sin β D.若α，β是第四象限角，则tan α>tan β √ 解析：由图(1)可知，当cos α>cos β时，sin α<sin β，A错误；由图(2)可知，当cos α>cos β时，tan α<tan β，B错误；由图(3)可知，当cos α >cos β时，sin α<sin β，C错误；由图(4)可知，当cos α>cos β时，tan α>tan β，D正确. √ 3.设a=sin(-1)，b=cos(-1)，c=tan(-1)，则有 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 解析：如图，作出角α=-1的正弦线、余弦线及正切线， 显然b=cos(-1)=||>0，c=tan(-1)=-||<0， a=sin(-1)=-||<0，由图可知-||>-||， ∴c<a<b. 题型(三)　利用三角函数线解不等式 [例3]　根据条件利用单位圆写出θ的取值范围. (1)cos θ<； 解：根据题意，画出单位圆，如图所示. 在单位圆中cos θ=OM，其中OM为有向线段， 当与x轴正方向相同时结果为正，反向时结果为负， 故cos θ<在[0，2π]的角是<θ<.所以θ的取值范围是. (2)≤sin θ<. 解：根据题意，画出单位圆，如图所示. 在单位圆中，MA，NB为有向线段， 与y轴正方向相同时， sin θ=||，与y轴正方向相反时，sin θ=-||. 因为≤sin θ<，所以在[0，2π]上满足条件的θ是≤θ<或<θ≤， 所以θ的取值范围是. |思|维|建|模| 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置. (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值. (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求. 针对训练 4.已知A是△ABC的一个内角，且tan A-≥0，则sin A的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 解析： tan A-≥0⇔tan A≥，令tan A=，又0<A<π，所以A=，作出角的正切线，如图所示.由图可得，当≤A<时，tan A≥，此时，≤sin A<1，即sin A的取值范围是.故选A. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列判断正确的是 (　　) A.α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 √ √ √ 解析： A正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为α与α+π的终边互为反向延长线；D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如果分别是角α=的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是(　　) A.||<||<0 B.||<0<|| C.||>||>0 D.||>||>0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：角β=的余弦线与正弦线的长度相等，结合图象可知角α=的余弦线和正弦线满足||>||>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若a=sin 2，b=cos 2，则a，b的大小关系为 (　　) A.a<b B.b<a C.a=b D.不能确定 √ 解析：因为<2<π，作出2的正弦线、余弦线如图所示.显然sin 2>cos 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若α是第一象限角，则sin α+cos α的值与1的大小关系是 (　　) A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 √ 解析：作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α+cos α>1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.角和角有相同的(　　) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 √ 解析：∵=π+，∴角和角的终边互为反向延长线， 即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l.因此， 过点A(1，0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个 交点T(如图)，可得tan=tan，都等于有向线段AT的长， 即两角有相同的正切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈，使tan θ<sin θ的角θ∈∪，故θ的取值范围是.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若-<α<-，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α √ 解析：如图，作出角α的正弦线，余弦线， 正切线，观察可知sin α<cos α<tan α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为________.  - 解析：由题意知|sin α|=，且正弦线方向与y轴正方向相反，∴sin α=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若α∈，且sin α<，cos α>，利用三角函数线，得到α的取值范围是_________.  解析：如图所示单位圆，由于sin=，cos=， 若终边为OA(不可取)，所以满足α∈， 且sin α=CB<DA=，cos α=OC>OD=. 所以α的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)函数y=的定义域为 __________________________________.  解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示，含边界).所以定义域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)比较下列各组数的大小： (1)sin和sin；(5分) 解：如图①，在单位圆中作出和的正弦线 和.因为||>||， 且和的正弦均为正数，所以sin>sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)sin和tan.(5分) 解：如图②，分别作出的正弦线和正切线， 由图知，角的正弦线和正切线分别为， 因为||<||，且的正弦和正切均为正数， 所以tan>sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥；(5分) 解：作直线y=交单位圆于A，B两点， 连接OA，OB，则角α的终边在如图(1)所示的 阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)cos α≤-.(5分) 解：作直线x=-交单位圆于C，D两点， 连接OC，OD，则角α的终边在如图(2) 所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合 为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)求不等式组的解集. 解：由得 在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示，由三角函数线可得 解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)利用三角函数线说明： (1)当α∈时，求证：sin α<α<tan α；(7分) 解：证明：在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT， 如图所示，则MP=sin α，AT=tan α. 因为S△AOP=OA·MP=sin α，S扇形AOP=αOA2=α，S△AOT=OA·AT=tan α，又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若0<β<α<，则α-β>sin α-sin β.(8分) 解：如图所示，设单位圆与角α，β的终边分别交于P1，P2， 作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2， 作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2，则sin α=M1P1， sin β=M2P2，α-β= .所以α-β= >P1P2>CP1 =M1P1-M1C=M1P1-M2P2=sin α-sin β，即α-β>sin α-sin β. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $