7.2.1 三角函数的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义.　 2.能利用定义求三角函数值及参数值. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r= 定义 正弦 称为角α的正弦，记作sin α，即sin α=____ 余弦 称为角α的余弦，记作cos α，即cos α=____ 续表 定义 正切 称为角α的正切，记作tan α，即tan α=(x≠0) 三角 函数 对于每一个角α，都有唯一确定的____________与之对应；当α≠___________时，有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数 正弦、余弦 +kπ(k∈Z) |微|点|助|解| (1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集. (2)当α=+kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x=0，所以tan α=无意义. (3)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos ，tan 等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积. (4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数. 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 (1)当且仅当α的终边在第一、二象限或_____________时，sin α>0； 当且仅当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，sin α<0. (2)当且仅当α的终边在第一、四象限或_____________时，cos α>0； 当且仅当α的终边在第二、三象限或x轴负半轴上时，cos α<0. y轴正半轴上 x轴正半轴上 (3)当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0. |微|点|助|解| (1)由三角函数的定义知，sin α=，cos α=，tan α=(x≠0，r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦. (1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tan α不存在. (　　) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点， 则cos α=-. (　　) (3)正切函数y=tan x的定义域为. (　　) 基础落实训练 × × × 2.已知角α的终边经过点P，则tan α=(　　) A. B.- C. D.- √ 3.已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定 (　　) A.小于零 B.大于零 C.等于零 D.不确定 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用定义求三角函数值 [例1]　(1)已知角α的终边过点，则sin α=(　　) A.- B.± C.± D.± √ 解析：由题意，得+y2=1.所以y=±.所以sin α=y=±.故选C. √ (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则角α的余弦值为 (　　) A. B.± C. D.± 解析：因为角α的终边在直线3x-y=0上，则角α在第一象限或第三象限，可设点(x0，3x0)为角α的终边上一点，所以cos α=±=±. |思|维|建|模| 利用定义求三角函数值的类型及解法 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α=y，cos α=x，tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r= ，再求sin α=，cos α=. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 针对训练 1.已知角α的终边经过点M(1，)，则cos α=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由三角函数的定义可得cos α ==. √ 2.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合.若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α=(　　) A.- B.- C. D. 解析：由P，得P. 则sin α==，tan α==-.故sin αtan α=-. 3.已知角α的终边落在直线2x+y=0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解：直线2x+y=0，即y=-2x，经过第二、第四象限. 在第二象限取直线上的点(-1，2)，则r==3. 所以sin α=，cos α=-，tan α=-2. 在第四象限取直线上的点(1，-2)，则r= =3. 所以sin α=-，cos α=，tan α=-2. 题型(二)　已知某一三角函数值求参数 [例2]　已知角α终边经过点P(-8m，-6cos 60°)，且cos α=-，则m的值为(　　) A. B.- C.- D. √ 解析：由点P的坐标可化为(-8m，-3)， 得r==. 由三角函数的定义知，cos α===-. 即100m2=64m2+9，解得m=±. 当m=-时，点P的坐标为(4，-3)， 则cos α为正，不符合题意.故m=. |思|维|建|模| 　　当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 针对训练 4.已知角α的终边上有一点P，OP=25，且sin α=-，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为(x，y)，r=OP=25.∵π<α<，∴x<0，y<0. ∵sin α=-，∴sin α===-，解得y=-20. ∵r=OP=25，∴=25， 即=25.又x<0，解得x=-15. 故点P的坐标为(-15，-20). 题型(三)　三角函数值的符号及应用 角度1　三角函数值符号的判断 [例3]　(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π √ √ √ 解析： -100°在第三象限，故sin(-100°)<0；-220°在第二象限，故cos(-220°)<0；10∈，在第三象限，故tan 10>0；cos π=-1<0. 　|思|维|建|模|　判断三角函数值符号的两个步骤 定象限 确定角α所在的象限 定符号 利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断 角度2　三角函数值符号的应用 [例4]　(1)若sin α<0，cos α<0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 解析：因为sin α<0，所以α在第三象限或第四象限， 或α终边为y轴非正半轴. 因为cos α<0，所以α在第二象限或第三象限， 或α终边为x轴非正半轴.所以α是第三象限角. (2)点A(cos 2 025°，tan 8)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：因为2 025°=360°×5+225°，180°<225°<270°， 所以2 025°为第三象限角，故cos 2 025°<0. 因为8与8-2π≈1.72终边相同， 又<1.72<π，所以8是第二象限角， 故tan 8<0.则点A在第三象限. |思|维|建|模| 　　对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决. 针对训练 5.若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：因为α是第四象限角，所以cos α>0，tan α<0， 即点P(cos α，tan α)在第四象限. 6.若角α满足sin αcos α<0，cos α-sin α<0，则α在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：∵sin αcos α<0，∴α是第二或第四象限角. 当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α-sin α<0； 当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α-sin α>0， 不合题意.综上所述，α是第二象限角. √ 7.sin 4，sin 2，cos 2，tan 2这四个数中最大的是 (　　) A.sin 4 B.sin 2 C.cos 2 D.tan 2 解析：因为4∈，2∈，则2在第二象限，4在第三象限，因此sin 4<0，sin 2>0，cos 2<0，tan 2<0，故选B. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(m，1)，若tan α=-2，则m= (　　) A.-2 B.- C. D.2 √ 解析：由题意，tan α==-2，解得m=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)若sin θcos θ>0，则θ的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ √ 解析：因为sin θcos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0.所以θ的终边在第一象限或第三象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数y=ax+3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cos α= (　　) A. B.- C. D.- √ 解析：令x+3=0，求得x=-3，y=4，函数y=ax+3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过点P(-3，4)，角α的终边经过点P，则cos α==-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知角α终边过点P(3a，-4a)(a<0)，则sin α+cos α的值为 (　　) A. B. C.- D.- √ 解析：由题意得，点P(3a，-4a)(a<0)到原点的距离r==-5a. 根据三角函数的定义可知sin α==， cos α==-，所以sin α+cos α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知角α的终边经过点(1，-3)，若角α与θ的终边关于y轴对称，则2sin θ-cos θ= (　　) A.- B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵角α的终边经过点(1，-3)，角α与θ的终边关于y轴对称， ∴角θ的终边经过点(-1，-3).∴sin θ=-=-，cos θ=-=-. ∴2sin θ-cos θ=-+=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)下列函数值的符号为正的是 (　　) A.sin 105° B.cos 325° C.tan D.tan √ √ √ 解析：∵105°为第二象限角，∴sin 105°>0. ∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0. ∵∈，∴为第二象限角.∴tan<0. ∵∈，∴为第三象限角.∴tan>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 √ 解析：在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，∵sin A>0，∴cos Btan C<0. ∴B，C一个为锐角，另一个为钝角.∴△ABC为钝角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(2025·天津高考)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由x=0⇒sin 2x=sin 0=0，则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件； 又当x=π时，sin 2x=sin 2π=0，可知sin 2x=0⇒/ x=0，故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件. 综上可知，“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若使得tan α有意义，则α的取值范围为______________________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果已知角α的终边上一点，角β的终边上一点，那么sin αtan β=________.  - 解析：由任意角的正弦、正切的定义知sin α=，tan β==-， 所以sin αtan β=×=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角α的面度数为，则角α的正弦值是______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设角α所在的扇形的半径为r，面积为S， 则由题意可得==，解得α=， 所以sin α=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)求的正弦、余弦和正切值. 解：如图，在的终边上取一点P， 使OP=，作PM⊥y轴，则在Rt△OPM中，∠POM=.因此PM=1，OM=1. ∴P(-1，-1).∴sin=-，cos=-，tan=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)判断下列各式的符号. (1)sin αcos α(其中α是第四象限角)；(2分) 解：因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，所以sin αcos α<0. (2)sin 285°cos(-105°)；(3分) 解：因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0， 因为-105°是第三象限角，所以cos(-105°)<0， 所以sin 285°cos(-105°)>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)sin 3cos 4tan.(5分) 解：因为<3<π，π<4<，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为-=-6π+，所以tan>0. 所以sin 3cos 4tan<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称，求++的值. 解：由题意可知点P(a，-b)， 则sin α=，cos α=，tan α=-； 由题意可知点Q(b，a)，则sin β=，cos β=，tan β=， 所以++=-1-+=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知sin θ<0，tan θ>0. (1)求角θ的集合；(5分) 解：因为sin θ<0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上， 因为tan θ>0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角， 故角θ的集合为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的终边所在的象限；(5分) 解：由(1)可得，kπ+<<kπ+，k∈Z. 当k是偶数时，终边在第二象限； 当k是奇数时，终边在第四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)试判断sincostan的符号.(5分) 解：由(2)可得，当k是偶数时，sin>0，cos<0，tan<0， 所以sincostan>0；当k是奇数时，sin<0，cos>0，tan<0， 所以sincostan>0.综上知，sincostan>0. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $