广西壮族自治区贵港市达开高级中学2025-2026学年高一下学期3月自主练习（2）数学试题

2028届高一（下)数学自主练习（2) 注意：请在20：10-21：10完成1-15题，剩余大题下周内完成 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知向量a=(2,3),b=(-1,-2),则2a-b= () A.(3,5) B.(-5,-7) C.(5,8) D.(3,4) 2.向量ā，石互为相反向量，已知=3，则下列结论正确的是 A.a=b B.a+b为实数0C.a与b方向相同D.ad=3 3.已知向量ā=1,2)，五=(-1，x),若a1i,则6 A.⑤ C.√5 D.5 2 B. 4.已知2，∈R,则在下列各命题中，正确的命题有 ①<0，a≠0时，a与a的方向一定相反： ②1>0，a≠0时，a与a的方向一定相同： ③u>0,a≠0时，a与ua的方向一定相同； ④u<0,a≠0时，ā与ua的方向一定相反. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.己知向量a=(1,0),b=(0,1),则向量2a+五与向量a+36的夹角为 A.君 B.8 c. D. 6.已知集合A=k,B=xlo(s0,则AnGB)- A.☑ D.1或 7.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=,CD=n,则CB= A.3m-22 B.-2+3n C.3m+2n D.2m+3n 8.若M为△ABC所在平面内一点，且满足|MB-MC曰MB+MC-2MA,则△ABC为 A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形 试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、 9.下列说法正确的有 A.函数f(x)=二在其定义域内是减函数 B.命题3xeR,x2+x+1>0的否定是xeR,x2+x+1≤0” C.函数f(x)=2在R上单调递增，其值域为R D.若y=f(x)为奇函数，则y=f(x)为偶函数 10.已知f(x)=sinx-cosx,则 (〉 A.f(x)的最大值为√2 B.曲线=)关于直线x牙对称 C.f倒在（到上单调递增 D.f(x)在(-2,2π)上有4个零点 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若sinA>sinB,则A>B B.若2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形 C.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形 D.若b=2,A=牙，这样的三角形有两解，则a的取值范围为(N5,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 l2.己知ā，是平面内的两个单位向量，且其夹角为5，则向量方在向量a上的投影向量为 13.设a,b是两个不共线的向量，若AB=2a+b,BC=a+b,且A,B,C三点共线，则实数k的值 为 14.在△1BC中，已知角A-牙，角A的平分线AD与边BC相交于点D,AD2则AB2AC的 最小值为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=V3,inA=6imC. (1)求a的值： 2)若cosA3,求b的值及△ABC的面积 16.(15分)已知在△ABC中，A+B=3C,2si(A-C)=sinB. (1)求sin4; (2)设AB=5,求AB边上的高. 7.15分)设△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C已知△ABC的面积为，B cosC 2a-c (1)求B; (2)若AM=2MC,求BM的最小值，并判断此时△ABC的形状. 试卷第3页，共4页 18.(17分)在△ABC中，sin2A-sinB-sin2C=sinBsinC. (1)求A; (2)若a=3,求△ABC周长的最大值； (3)若a=3,求△ABC面积的最大值」 19.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=1,且bcosC+V3 csinB=1+2c. (1)求∠B的大小： (2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B,CD=√3，AC=AD,求△ACD外接圆 半径R的长. 试卷第4页，共4页 《2028届高一（下）数学自主练习(2)》参考答案 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D A D D B y BD ACD AD 1.C【详解】因为向量a=(2,3),6=(-1,-2),则2a-万=2(2,3)-（←1，-2）=(4，-(-1，-2)=(5,8. 2.D【详解】向量a,互为相反向量，则a,6模相等、方向相反，所以a=-b,故A错误： a+6=0,故B错误：a与8方向相反，故C错误：同-=3，故D正确， 3.A【详解】由题意符a612r0,舒符x则6-月则--旷-付5 4.D【详解】由入与向量a的积ā的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当>0时， ,u同正或同负，∴.a与a或者都与a同向，或者都与a反向..a与d同向，当<0 时，则1与u异号，a与a中，一个与a同向，一个与a反向，.ā与uā反向，故③④也 正确.故选：D. 5.D【详解】因为a=(1,0),b=(0,1),所以2a+i=(2,1),a+36=(1,3), 2x1+1x35V 所以cos<2a+6,a+3b2xt352 2，所以<2a+.a+36 6c【详解】因为4华1长<，e司=0什合到 所以B=≤行或x>多，则4nG={1<x 7.B【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA,所以BD=2DA,即CD-CB=2(CA-CD), 所以C8=3CD-2CA=3n-2m=-2+3n.故选：B. 8.A【详解】由M-Md=MB+Mc-2MA,得cE=M-MA+Mc-MA,所以CE=AB+AC, 即AB-AC=B+AC,两边平方并化简得AB.AC=0,则AB1AC,即AB⊥AC,故∠BAC=90, 所以△ABC是直角三角形. 9.BD【详解】选项A中，函数f()的定义域是(-0U(0,+,如图所 示，函数f(x)=1在定义域内不是连续的，在(-0,0)上是减函数，在(0，+∞) 上是减函数，不能说在定义域内是减函数，故A错误；选项B中，根据 含有一个量词的命题的否定可知，命题“x∈R,x2+x+1>0的否定是 x∈R,x2+x+1≤0”，故B正确：选项C中，函数f(x)=2在R上单调 递增，其值域为(0，+o),故C错误：选项D中，若y=f(x)为奇函数，则满足f(-x)=-f(c), 故函数y=g(x)=f(x)中，g(-x)=-f(-x)=-x-f(x)门=f(x)=8(x),故y=g()=f(x)是偶 函数，故D正确. 10.ACD【详解】f)-5m-》Afy的最大值为万，故A正确：Bf图-sm0=0, 所以线=)关于0对称，板B错误：Cx引牙（受 ,正弦函数 =mx在区间（号0单试选城，所以e在（晋引上单闲选增，故C正确：De(-22, 9r7π 4444，共4 当x-元-2元-元0，时，都能使f国)=0，此时x=-7元，3π5亚， 4 个零点，故D正确 11.AD【详解】对于A,因为sinA>sinB,由正弦定理可得a>b,所以A>B,故A正确； 答案第1页，共4页 对于B,由余弦定理cosC=￠+c>0,可知C为锐角，但是无法判断角A和角B是否 2ab 为锐角，所以无法判断△ABC是否为锐角三角形，故B错误；对于C,因为acosA=bcosB, 所以sinAcosA=sin Bcos B,即sin2A=sin2B,又A,B∈(0，π)，所以2A,2B∈(0,2r),所以2A=2B 或2A+2B=元，即A-B或A+B=,即△ABC为等腰角形或直角三角形，故C错误：对 于D,因为三角形有两解，所以bsm4<a<b,即2x=5<a<2,即a的取值范围为(5,2， 故D正确 12.a【详解】a6是平面内的两个单位向量，且其夹角为，则向量6在向量a上的投影向 某为cw滑五，放答米为：五 13.2【详解】由AB=2a+k6,BC=a+b,由A,B,C三点共线，得AB11BC,则2a+b=t(a+b), 又a5不共线，国此解得&=2，所以实数的值为2放答案为：2 14.6+4√2【详解】AB=c,AC=b,BC=a,AD=2,依题意AD是角A的角平分线，由三角形的 面秘公式符宁x2cn写2xxm号加山受，化简得2x边C,。日行 32 2c-c4-24+6日-8后）438-54w 当且仅当-2功c=V2,22b+2b=b.26.b=2+5,c=2W2+2时等号成立. b c 15.(1)“c=V5,smA=V6simC,由正弦定理a=c sinA sinc,…1分 得a=√6c=√6x√3=32.…5分 (3分)(4分) 3因为oA=9.a-W2,c=5， 由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,6分 代入得b2-2b-15=0.…8分 解得b=5或b=-3（舍负).…9分 又因为imA=V-osA=5…10分 3 Se=Ibe sinA=x5x5×655 2 32 .…13分 2 (11分)(12分) 16.（1)A+B=3C,…1分 -C=3C，即C=平，2分 又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),3分 .2sin AcosC-2cos AsinC sin AcosC+cos Asin C,..4 .sin AcosC=3 cos Asin C,.sinA=3cosA,…5分 即mA=3,所以0<A<受，（不写范围扣1分）…6分 sin 4=3310 .…7分 1010 答案第2页，共4页 1√10 (2)由（1)知，cosA= 1010 …8分 由simB=sim4+9=sim4cosC+cos4snC-20,0)2√5， …10分 2 1010 5 (9分) 25 5x 由正弦定理， sinc sinB'可得b= 5=20,…12分 (11分) 2 Bh=4B-AC6m4,…13分 1 h=bin4=20×30=6.…15分（公式1分，结果1分） 10 17.（1)由条件得：(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理，得(2sinA-sinC)cosB=sin B cosC,…1分 即2 sin AcosB=cos Bsin C+sin B cosC,所以2 sin Acos B=sin(B+C),…2分 因为A+B+C=元，所以sin(B+C)=sinA,即2 sin AcosB=sinA,3分 因为4为三角形内角，故mA0,所以coB=号，…4分 因为0<B<元，所以B=牙…6分 3 2》由1D符ms9 3,解得ac=6,…7分 2 因为B成=BA+M=BA+2c-ABa+Bc,…8分 3 3 9 -e+4+2am5aa+2m)-4+2am)-ac=4,…11分 0 3 (10分) 当且仅当c=2a即a=√5，c=25时，|BM|取得最小值2，此时sinC=2sinA,…13分 (12分) 又因为c行4，所以m(-24,整理得m4=,…11分 3 因为0<4：2，所以4=专，所以c-号，所以△5C是直角三角形…15分 18.（1)由正弦定理可得：2-b-c2=bc,…1分 ..cosA= b2+c2-a21 2bc 2…2分 :A(0,,A=2F…4分（不写范围扣1分） 3 (2)【方法一余弦+不等式： 由余弦定理得：d=b2+C2-2 becosA=b2+c2+bc=9,…6分 (5分) 即(b+c)'-bc=9,bc≤ b+c 2 (当且仅当b=c时取等号)，…7分 96+e-如26+i-生6-，…8分 解得：b+c≤2W3(当且仅当b=c=√3时取等号)…10分 (9分) 答案第3页，共4页 ∴.△ABC周长L=a+b+c≤3+2W5,∴.△ABC周长的最大值为3+2√5.…11分 [方法二]：正弦化角（通性通法） 由知，B+C-行C-号B,…5分 根据正弦定理可知4g心2W3,…6分 e3(sinB+in c)=2mB3sin =25n+A5camn-m8…7分 -26smB+3cosB=25m(B+学，8分 又0管B<号0<B胥0c8<至至B+号于9分 3 31 3 33 33 25sm(8+孕s26…10分 ,此时△ABC周长的最大值为3+2√5.…11分 (3)由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,…13分 (12分) 即bc≤3.（当且仅当b=c时取等号），…14分 8cm4s353(当且仅当6=c时取等号》，…16分 2 2 24 MBC面积的最大值为35.…17分 4 19.（1)由正弦定理得。a=2Rsin4,b=2 RsinB,c=2 RsinC,…1分 :bcosC+√3 csinB=l+2c=a+2c.sinBcosC+V3 sinCsinB=sinA+2sinC,，…2分 .sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC......3 (结果对，没写正弦定理不扣分) .√3 sinCsinB=cosBsinC+2sinC,…4分（结果对，没写3分这步不扣分) sinC≠0，.V3sinB=cosB+2,…5分 即W3sinB-cosB=2sin(B-30)=2,.sin(B-30=1,…6分 0<B<180°，.B-30°=90°B=120°.…7分 (2)设∠BAC=6,在△ABC中，由正弦定理得AC=b=asinB-V5 …8分 sin 2sin 0 :AC=AD,∠B=120,∠DCB=∠B=120 在△ACD中，∠ACD=∠DCB-∠ACB=120°-(60°-0=60°+0， ∠CAD=180-2(60°+6)=60°-28，…10分 由余弦定理得CD2=AC2+AD-2AC·ADcos.∠CAD,…11分 即3=2冰-2沙cw-0-3g-co(0-2】],…12分 .2sim20=1-cos(60°-28)=2sin2(30-0),…13分 由8和30°-0均为锐角，.0=30°-0，解得0=15°，…14分 .∠CAD=60°-26=30°，…15分 正弦定理得2RC0.26,解得Rg,…6分 sin∠CAD1 2 ∴.△4CD的外接圆半径为R=V3.…17分 答案第4页，共4页