河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期数学周练试卷3.22

洛一高英才部2024级数学周练试卷 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 2026.3.22 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 2.若函数在点处的切线的斜率为1，则的最小值为 3.若是函数的极值点，则的极小值为 4.已知函数的导函数为，且，则 5.【2013新Ⅱ文】函数在处导数存在，若是的极值点，则 是的充分必要条件 是的充分条件，但不是的必要条件 是的必要条件但不是的充分条件 既不是的充分条件，也不是的必要条件 6.若函数在上是增函数，则的取值范围是 7.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有，则的取值范围是 8.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 有极小值点，且 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则 .排成的“三位凹数”共有168个 .排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等 .从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为 .从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为 10.若正实数满足，则下列结论正确的有 11.设函数，则 当时，有三个零点 当时，是的极大值点 存在，使得为曲线的对称轴 存在，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设函数，若，则__________. 13．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是_____________． 14．已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题： ①；②；③；④. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 答题卡 姓名___________班级_______________分数____________________ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 12.__________________. 13._________. 14.___________. 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.【2020全国Ⅰ文21】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 16.【2024甲理21】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 洛一高英才部2024级数学周练答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A D C D B C ABC AC AD 【第8题解析】 ∵，∴. ①当时，恒成立，∴在上单调递增． ②当时，由解得， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∵函数有两个零点， ∴，∴，∴正确； ∵，∴. 设，则，， ∴. 令，则， ∴，∴，， 正确； ，∴，不一定，不正确； 在上单调递减，在上单调递增,∴有极小值点， 由图象观察可得，正确． 【第9题解析】对于中，从9个数中选3个数，有种选法， 将最小的数作为十位数字，剩下两个数随意作为百位和个位上的数字，有种，故共有（个）“三位凹数”，所以正确； 对于中，由知排成的“三位凸数”共有（个），所以排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等，所以正确； 对于中，由三位数共有个，所以“三位凸数”的概率为，所以正确； 对于中，由三位数共有个，任取两个三位数有种，其中不同非“三位凹数”的三位数有504-168=336个，任取两个非“三位凹数”有种，所以至少有一个是“三位凹数”的概率为 ，所以错误.故选. 【第10题解析】设，则在为减函数， 因为, 所以 ， 因为所以，所以，即，从而所以正确，错误；而 ,所以所以，所以正确，错误.故选. 【第11题解析】 选项，. 由于，故时，故在上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，选项正确； 选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，选项错误； 选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，选项错误； 选项， 【法1】利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，选项正确. 【方法2】直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，选项正确. 故选. 12.1 13. 14. ①③ 【第14题解析】 ∵函数，∴. 易得在递增，. ∵,∴，①正确，②不正确； ∵， ∴，③正确，④不正确． 故答案为①③． 【第15题解析】 (1)当时，，. 令，解得，令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)【法1】若有两个零点，即有两个解. 从方程可知，不成立， 当时，可得有两个解. 令，则有. 令，解得，令，解得或， 函数在,上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 当有两个解时，有， 满足条件的的取值范围是. 【法2】. 当时，，所以在上单调递增， 故至多存在1个零点，不合题意． 当时，由可得． 当时，； 当当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为． （i）若，则，在至多存在1个零点，不合题意． （ii）若，则． 由于，所以在存在唯一零点． 由（1）知，当时，，所以当且时， ． 故在存在唯一零点，从而在有两个零点． 综上，的取值范围是． 【第16题解析】 (1)当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. (2)， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上，即为减函数， 故上，不合题意，舍去. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍去； 综上，的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $