11.3 二次根式的加减 同步讲义（题型归纳+知识点梳理+达标测试）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

11.3 二次根式的加减 同步讲义（苏科版） ★ 题型归纳 题型1同类二次根式. 题型2二次根式的加减运算. 题型3二次根式的混合运算. 题型4已知字母的值，化简求值. 题型5已知条件式，化简求值. 题型6比较二次根式的大小. 题型7二次根式的应用. 题型8达标测试15题. 💧 知识点梳理 【知识点一：同类二次根式】 1. 定义：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 例：，，是同类二次根式。 2. 合并方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变. 3. 合并依据:乘法分配律，如 【知识点二：二次根式的加减】 1. 二次根式加减法则： 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2.二次根式加减运算步骤： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变． 【知识点三：二次根式的混合运算】 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）,结果写成最简形式。 【知识点四、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别】 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式. 【知识点五、易错点提醒】 1.不化简，直接判断 “同类二次根式”； 2.混淆加减与乘除法则； 3.化简不彻底； 4.系数带负号，减法变号错误； 5.去括号时，没有变号。 ☘ 题型解读 题型1.同类二次根式 例1．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 变式2．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 题型2.二次根式的加减运算 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 变式1．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的__________段． 【答案】② 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题关键．根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 故答案为：② 变式2.已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、分式化简和二次根式的加减知识点，掌握先化简再代入求值的方法是解题的关键． 先对代数式进行因式分解和约分化简，再将已知的的值代入化简后的式子计算． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 题型3.二次根式的混合运算 例3．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 变式1．若，则________． 【答案】2 【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ． 变式2．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化． （1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值； （2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为； ②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①解： ； ②解：． . 题型4.已知字母的值，化简求值 例4．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 变式1．已知，，则_____． 【答案】10 【分析】根据二次根式的运算，先求的值，再由进行计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ． 变式2．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算． （1）根据数轴可得，，进而根据二次根式的化简，即可求解； （2）先计算出的值； ①根据平方差公式进行计算即可求解； ②先通分，再根据完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ①， ②． 题型5.已知条件式，化简求值 例5．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 变式1．若，则_____． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 变式2．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化. 根据题意可得，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 题型6.比较二次根式的大小 例6．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 变式1．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 变式2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 题型7.二次根式的应用 例7．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 变式1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长， 已知，， 则， 化简， 所以， 故答案为：． 变式2．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． ✅ 达标测试 一、单选题 1．下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化为最简二次根式，再判断被开方数即可. 【详解】解：，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数相同，可以合并. 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，二次根式减法运算，合并同类项法则判断各选项即可． 【详解】解：A：∵根据完全平方公式可得 ，与选项结果不同，∴A错误； B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 ，与选项结果不同，∴B错误； C：∵，∴，与选项结果不同，∴C错误； D：∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，可得 ，计算正确，∴D正确． 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 4．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 5．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 6．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 8．计算：______． 【答案】 【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：6． 10．已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入求的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，得 且， ． 当时，， ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】先将所有二次根式化简为最简二次根式，再按照运算顺序，利用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 13．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 14．已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【答案】(1) (2)；长方形周长大 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． （1）根据长方形的周长列式，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先求长方形的面积，可求得与长方形等面积的正方形的面积，即得该正方形的边长，再计算该正方形的周长，即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 长方形的周长为； （2）解：长方形的面积为， 与长方形等面积的正方形的面积为12， 与长方形等面积的正方形的边长为， 与长方形等面积的正方形的周长为， ， 长方形周长大． 15．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 二次根式的加减 同步讲义（苏科版） ★ 题型归纳 题型1同类二次根式. 题型2二次根式的加减运算. 题型3二次根式的混合运算. 题型4已知字母的值，化简求值. 题型5已知条件式，化简求值. 题型6比较二次根式的大小. 题型7二次根式的应用. 题型8达标测试15题. 💧 知识点梳理 【知识点一：同类二次根式】 1. 定义：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 例：，，是同类二次根式。 2. 合并方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变. 3. 合并依据:乘法分配律，如 【知识点二：二次根式的加减】 1. 二次根式加减法则： 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2.二次根式加减运算步骤： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变． 【知识点三：二次根式的混合运算】 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）,结果写成最简形式。 【知识点四、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别】 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式. 【知识点五、易错点提醒】 1.不化简，直接判断 “同类二次根式”； 2.混淆加减与乘除法则； 3.化简不彻底； 4.系数带负号，减法变号错误； 5.去括号时，没有变号。 ☘ 题型解读 题型1.同类二次根式 例1．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．若最简二次根式与可以合并，则___________． 变式2．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型2.二次根式的加减运算 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的__________段． 变式2.已知，，求代数式的值． 题型3.二次根式的混合运算 例3．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 变式1．若，则________． 变式2．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 题型4.已知字母的值，化简求值 例4．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 变式1．已知，，则_____． 变式2．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 题型5.已知条件式，化简求值 例5．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 变式1．若，则_____． 变式2．已知，，求的值． 题型6.比较二次根式的大小 例6．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 变式2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 题型7.二次根式的应用 例7．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 变式2．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） ✅ 达标测试 一、单选题 1．下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 6．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．___________． 8．计算：______． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 10．已知，则__________． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 12．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 13．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 14．已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 15．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $