福建同安第一中学2025-2026学年高二下学期数学第4周周练

同安一中2025-2026学年高二下学期数学科第4周周练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．下列判断错误的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．若均为假命题，则为假命题 D．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则” 3．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 5．某体育局为调查学生观看第33届巴黎奥运会的情况，统计了某高中高一（1）班55名学生的观看情况：55名学生观看比赛项目都集中在球类比赛、水上运动比赛、田径比赛这三类，其中8名学生只观看了球类比赛，5名学生只观看了水上运动比赛，6名学生只观看了田径比赛，既观看过球类比赛又观看过水上运动比赛的学生有24名，既观看过球类比赛又观看过田径比赛的学生有20名，既观看过水上运动比赛又观看过田径比赛的学生有18名，则该班这三类比赛都观看过的学生人数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，M为椭圆上一点，，线段的延长线交椭圆C于点N，若，，成等差数列，则椭圆Ｃ的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.    根据折线图，下列结论正确的是（    ） A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期在10月份 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（     ） A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．在平面内的射影长为 D．当与重合时，异面直线与所成的角为 三、填空题 12．设i是虚数单位.复数_______． 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为）的粮仓，宽3丈（即丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①该粮仓的高是2丈； ②异面直线与所成角的正弦值为； ③长方体的外接球的表面积为平方丈． 14．已知双曲线：，是坐标原点，，分别是的左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为________；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为________. 四、解答题 15．数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 16．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 17．如图，在三棱柱中，四边形是正方形，，，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧） （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)当时，若存在实数，使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《同安一中2025-2026学年高二下学期数学科第4周周练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D D D A D CD BC 题号 11 答案 AC 1．D 【解析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可. 【详解】，， 则.故应选D. 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题. 2．D 【分析】根据命题的充分不必要条件，全称命题的否定，复合命题的真假关系，以及逆否命题的形式，逐项判断. 【详解】对于A，由知， 不等式两边同乘以得，， 反之，若，则取时，不能得到， 故是的充分不必要条件，故A正确； 对于B，因为“”是全称命题， 故其否定是特称命题，为“”，故B正确； 对于C，若p，q均为假命题，则为假命题，故C正确； 对于D，若，则或的逆否命题为， 若且，则，D错. 故选:D. 【点睛】本题考查了四种命题的关系，命题的否定形式，充要条件的应用，属于基础题. 3．B 【分析】由已知可得，，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：. 4．D 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则或者相交或者异面，故A正确， 对于B,若则或者，故B错误， 对于C, 若，则或者或者相交，故C错误， 对于D, 若，则,D正确， 故选：D 5．D 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设该班这三类比赛都观看过的学生人数为，由图可得： ，解得， 故选：D． 6．D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 7．A 【分析】根据，，成等差数列，可得，结合椭圆的定义可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，根据离心率公式可得结果. 【详解】依题意得， 所以，又， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 又在直角三角形中，， 所以，即， 所以离心率. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量垂直的数量积表示，考查了椭圆的定义，考查了椭圆的离心率，考查了等差中项的应用，属于中档题. 8．D 【分析】由题意，，结合等比数列求和公式利用分组求和法求解即可. 【详解】因为， 故，， 所以， 所以 . 故选：D. 9．CD 【分析】根据折线图对每一个选项作出判断即可. 【详解】由折线图可知：月跑步平均里程数按从小到大的顺序排列， 可得的中位数为5月份对应的里程数，故选项A不正确； 月跑步平均里程不是逐月增加的，故选项B不正确； 月跑步平均里程高峰期在10月份，故选项C正确； 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小， 变化比较平稳，故选项D正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查了统计中的折线图，属于基础题. 10．BC 【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断. 【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误； 则月球半径为，故B正确； 则近月点与远月点的距离为，故C正确； 设椭圆方程为，则（为月球的半径）， ，故离心率为，故D错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义. 11．AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】 选项A:连接,由正方体性质知是矩形， 连接交于点 由正方体性质知平面, 所以，是点到平面的距离，即 是定值. 选项B: 连接与交于点，连接， 由正方体性质知,是中点， ,又, 的大小即为与所成的角， 在直角三角形中，为定值. 选项C: 如图，作 在直角三角形中， 选项D: 当与重合时，与重合，连接与交于点，连接, 异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角, 在三角形中，, 由余弦定理得， 异面直线与所成的角为， 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题. 求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．　 求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. 12． 【解析】先将分母展开，再利用复数的除法运算即可求解. 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题. 13．①③ 【分析】由题意①中，根据长方体的体积公式，即可求得的长；②中，根据异面直线所成的角的定义，即可求解；③中，求出长方体的对角线是外接球的直径，即可求解外接球的表面积． 【详解】在中，由题意，因为 ， 解得尺丈，故①正确； 因为，所以异面直线与所成角为， 则，故②错误， 此长方体的长、宽、高分别为丈、丈、丈， 故其外接球的表面积为（平分丈）， 所以③是正确的． 故答案为：①③ 14． 【分析】（1）明确双曲线的焦点坐标和渐近线方程，用点到直线的距离公式直接求解；（2）结合双曲线的定义和等腰三角形的性质，还有三角形中位线的长度关系求值. 【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线为，的坐标为， 所以点到渐近线的距离. 如图，延长，两直线交于点，由，且是的角平分线，    所以是等腰三角形，且，， 又有为的中位线，所以. 故答案为：； 15．(1) (2) 【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系求解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，又， 两式相减得，， 又，且， 所以是等比数列，首项为，公比为3， 所以. （2）由（1）知：， 则， ， ， ， . 16．【小题1】 【小题2】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)通过作三角形中位线的辅助线,证明线线平行,证明线面平行. (2)通过空间向量方法求面面夹角,建立空间直角坐标,求出各点坐标,利用法向量求解. 【详解】（1）设，连接， 易知四边形是平行四边形，故为的中点，又为的中点， 因此. 又平面且平面， 故平面. （2） 因为，故四边形是菱形，又， 所以为等边三角形，故， 又，， 故，故. 又因为且， 故平面. 取为的中点，连接，则， 因此，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系. ，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由,即, 令，，，此时； ，， 设平面的一个法向量为，由,即, 令，，，此时. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）结合长半轴、焦距与通径定义计算即可得； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，通过计算得到其范围后，即可得的范围；（ⅱ）结合点到直线的距离公式，由题意可得距离相等，代入计算可得点纵坐标，代入方程可得横坐标，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则：； （2）（ⅰ）设直线：，，， 联立，得， 则有，， 且，则， 则 ， 设， 则， 则. （ⅱ）设，则， 设直线，：，， 即分别为：，， 由，则到直线，的距离相等， 联立，有是其中一组解， 又与等价， 不妨设，则有， 即，即， 可得， 又，即， 则有， 通分并整理得： . 代入得 . 化简得. 故，则，则.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．(1)极小值，无极大值； (2). 【分析】(1)对函数求导，分类讨论可得极小值，无极大值； (2) 结合(1)的讨论，当时，在上递减，在上递增，且有极小值，构造函数，， ，，对参数分类讨论即可得答案. 【详解】（1）解：由题意得，， ， ①当时，则，此时无极值； ②当时，令，则；令，则； 在上递减，在上递增； 有极小值，无极大值； （2）解：当时，有（1）知，在上递减，在上递增，且有极小值， ①当时，， ， 此时，不存在实数，，使得不等式恒成立； ②当时，， 在处的切线方程为， 令，， 则， ， 令 ，， 则， 令，则；令，则； ， ， ， 当，时，不等式恒成立， 符合题意； 由①，②得实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $