浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期数学周末练2

杭州二中2025级高一下数学周末练2 一、单选题 1、已知向最=（分，），6=(，》则下列关系正确的是 A.a B.(d-⊥(d+ c.d⊥(d- D.aL(a+B) 【答案】B 【解】因向量d=(分，9)，5=(，号》且在-衣、d+5都是非专向显， 对A了立9+9宁-9≠0，即a与5个直，A不上确： 2 对于B,卤=团=√侵+（号=1，则位-a+列=衣-产=0，即（位-1 (a+b,B正确： 对于C,d(a-=永-a6=1-≠0，即a与a-6不垂直，C不正确： 2 对于D,a1(a+)=+à石-1+5≠0，即a与a+方不垂直，D不正确 故选：B 2、若两个非零向量d,满足a+=a-=2,则向量a-与d的夹角为() A君 B. C. D.5π 6 【答案】B 【解析】设向量d+与d的夹角为0： 由a+=a-,左右两边平方得(a+=（a-,+萨+2d=+帝-2a.得 d.b=0 由a-=2,得cos0= a-列-8-0+过-，9e0,,从而0-香 a-a 2d a 故选：B. 3、A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足A 0=入 AB AC (a∈[0， +o),则点P的轨迹一定经过△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 【解析】A2=入 AB AC AB AC ·1 令A+AC =AM, IAB ACI 则A是以A为始点，向量 AB与 AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量， ABI AC 即AM在∠BAC的平分线上， :AP=AAM,.AP,AM共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 4、点M是△ABC所在平面内一点，满足M店+号+号MC=0,若D为AC中点， 则S4的值为 () SABCD 号 c号 D.5 【答案】B 【解析】店+号+号C=i→2(+d)=-店， 因D为AC中点，则MA+MC=2MD, 代入可得3M心=一M店，从而M,D,B三点共线，3M心=M, 即点M是线段BD上靠近点D的四等分点 则-呈Sau四而Su四=Sam 故Sa4BM=3 SABCD 4 故选：B B 5、如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3, MC=2,则MN.(M厉-MC)=() () 号 R号 c D号 【答案】D 【解析】方法一： 因为△ABC为等边三角形，D是边BC的中点.所以AD⊥BC.故D.C元=0. 所以MN·(M尼-MC)=(M而+D)·C元=M而·C元+DN.CB=M元.C元. 因为D是△MBC边BC上的中点，所以有M历=号(M店+MC ·2 因此MD.C=号(M+MC)·(M店-Md)=号[(M-(C]=号 故选：D 方法二： M B D C 以D为原点，DC,DA为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0). 则M=(-x,n-y),Mi=(-a-x,-),M=(a-x,-),C元=(-2a,0) 所以M.(M尼-MC)=M.C元=2ac. 又对为短=心-2高以有侣+子 两式作差得4ar=5.故孤.（应-1C)=2ar=号 故选：D 6、长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓， 历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔.如图， 为测量塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C 与D,现测得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=32m,在C点测得塔顶 A的仰角为60°，则塔的总高度为 () A.(96-32√6)mB.(96-323)m C.(92-32√2)mD.(92-32W3)m 【答案】B 【解析】设AB=h,则BC=h=方，且∠CBD=1S0-(30+45, tan60°=√5 在ABCD中，sin∠CBD=sin30°+46)=sin30'cos45°+cos30sin45°=Y2+√6 4 h sin☑CBDsint5,即，a2 CD BC √2+6 2 得h=96-32√5. 故选：B. 3· 7、已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c-a)sinA=csinC-bsinB ,b=3,则AC边上中线长度的最大值为 () A.3v2 B.4v3 C.3v3 D.42 3 2 3 【答案】C 【解析】(c-a)sinA=csinC-bsinB,由正弦定理可得(c-a)a=c2-b2, 即a2+2-分=ae,则osB=B∈0，)B= 3, 又b=3,所以a2+c2-9=ac,因为ac≤2+c,当且仅当a=c=3时等号成立， 所以a2+c-9≤a2+e,则a2+c2≤18. 2 设AC边上中线的长度为h:则2h=√a2+c2-2 accos=√2a2+c)-g≤V27= 3√5， 所以AC边上中线长度的最大值为3y 故选：C 8、已知平面向量d、不、满足ld=同=dd=2,且a+≥a-号d对任意实数恒 成立，则号+可+}-d的最小值为 A.√5+1 B.2√3 C.\sgrt5 D.25 【答案】B 【解折】由a+≥云-号，两边平方得应+2i在+识.≥-+是衣 又d-=2,且l+d≥日-分对任意实数A恒成立， 即.+41+2-子2≥0恒成立，所以△=16-4.(2-子)≤0， 即(-4≤0，所以=4，即=2 由=同=d=2,知号+=a+2列，2-=8-号引 所以2++号-d=+2+区-号≥+=√+2计衣=2w, 当且仅当d+号与2-号同向时取等号。 故选：B 关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用a+d≥ a号对任意实数恒成立，求得月=2，再利用团+同可≥+求最值，考查了转化思 想与运算能力. ·4 二、多选题 9、记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a(cosAcosB-sinCcosC)=(csinC.-bcosA)cosA,则下列说法正确的是 () A.a可能是最大边B.b可能是最大边C.a可能是最小边D.c可能是最小边 【答案】BCD 【解析】由题意可得acosAcosB-asinCcosC=csinCcosA-bcos2A, 所以acos AcosB+bcos2A=csinCcosA+asinCcosC, 由正弦定理可得(sinAcosB+sinBcosA)cosA=(sinCcosA+sinAcosC)sinC, 所以sin(A+B)cosA=sin(A+C)sinC, 即sinCcosA=sin BsinC, 即(sinB-cosA)sinC=0, 等价于[sinB-sin(A+)]sinC=0, 所以sinB-sin(A+5),则B-A+乏或B+A+乏-x(即C-】 若C=号，则c是最大边，a,b可能是最小边： 若B=A+乏，则b是最大边，Q,c可能是最小边， 综上，选项B,C,D正确 故选：BCD 10、设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判定△ABC是等腰三角 形的是 () A.acosA=bcosB B.asinB=bsinC C.cos(A+C)=cos B D.c=2acosB 【答案】BD 【解析】解：对于A,由正弦定理可知sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B, 所以A=B或A+B= 21 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，不符合题意： 对于B,由正弦定理可知sinAsinB=sin BsinC, 又因为sinB≠0，所以sinA=sinC, 所以a=c, 所以△ABC是等腰三角形，符合题意； 对于C,因为cos(A十C)=-cosB=cosB,解得cosB=0, 所以B=受，△ABC是直角三角形，不符合题意： 对于D,由正弦定理可知sinC=2 sinAcosB, 所以sin(A+B)=2 sin Acos B, ·5· sin AcosB+cosAsinB=2sinAcosB, sin AcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0, 所以A=B,△ABC是等腰三角形，符合题意 故选：BD, 11、将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且 OB·OC=20.设点T是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是 A.A1A2=√5 C? B.存在T,使得(OB+OC)·O7=-12 Cs B2 C, C.若T={B,B2,,B6},则OB·O7的所有取值的和为C6 A A3 B4 B D.若T∈{C,C2,…,C,则OC·O7的取值集合为 A A {28,26,14,4,-14,-26,-28} C12 Bo 【答案】BC 【解析】如图，连接BB4,C2C,CC2,CC6,CC1,B2B, B3B6 找C3C1中点G,CCo中点Q,作GQ⊥BB, 以O为原点，OG为y轴，OB为x轴建立平面直角坐标系， y个 C4 GC3 Cs SB2 C B A3 B A B As A C12 D /B6 C Cs OC10 对于A,设正六边形的边长为2a,故O(0,0),B(4a,0),C(5a,√3a), 则0B=(4a,0),OC=(5a,√3a),而0B1·OC=20, 得到4a×5a+√5a×0=20,解得a=1, 则正六边形的边长为2，而A1A2是正六边形的边长，得到AA2=2,故A错误， 对于B,此时OB=(4,0),OC=(5,√3)，故OB+OC=(9,√3)， 设T(a,b),故O7=(a,b),则(B+OC)·O7=9a+5b, 即9a+√3b=-12,而点T是图中所有正六边形中的任意一个顶点， ·6 当a=-2,b=2w3时，满足(0B+OC)·07=-12, 此时T(-2,23),与B重合，则存在T,使得(OB+OC)O7=-12,故B正确， 对于C,由题意得B2(2,2√5)，B3(-2,2W5),B(4,0),B(-4,0), B(-2,-2√5)，B(2,-2√5)，设OB1·O7的所有取值的和为S, 得到OB2=（2,25),OB3=（-2,25),OB1=（-4,0),OB=（-2,-25), OB=(2,-2√3)，而T={B,B2,·,B6},我们进行如下讨论， 当T与B重合时，OB·O7=OB.OB=4×4=16, 当T与B2重合时，OBO7=OB1·OB2=4×2=8, 当T与B3重合时，OB·O7=OB·OB=4×(-2)=-8, 当T与B重合时，OB1·O7=OBOB=4×(-4)=-16, 当T与B,重合时，OBO元=OB1·OB=4×(-2)=-8, 当T与B。重合时，OB1·O7=OB1OB。=4×2=8, 则S=16+8-8-16-8+8=0, 得到OB·OT的所有取值的和为0，故C正确， 对于D,由题意得C6(-5,√3)，故OC6=（-5,√3)， 而OC=(5,√5)，由题意得T∈{C,C2,,C}, 则我们进行如下讨论，当T与C重合时，OC·07=OC·OC=5×(-5)+√×√3= -22, 但-22不在{28,26,14,4，-14，-26，-28}内， 则OC·O7的取值集合不可能为{28,26,14,4，-14，-26，-28}，故D错误 故选：BC 三、填空题 12、已知d=(1,-2),=（2,入)，且d与b的夹角为锐角，则实数1的取值范围是 【答案】1<1，且1≠-4 【解析】.d与的夹角为锐角，设为0，则0<cos0<1, a-b 又cos0= V5V4+元′0<2-21 2-21 ∠1， √5W4+2 ∴.1<1且4-81+42<20+52，即1<1且≠-4. 故答案为1<1且1≠-4. 本题考查向量的数量积和两个向量的夹角公式，当两个向量的夹角为锐角时，夹角的余弦值 大于0且小于1，属于基础题. 13、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的周长为 sinA+sinB-sinC,则角C为 asinB 7 【答案】 【解析】由题意知， asinB sinA+sinB-sinC =a+b+c, 由正弦定理得， ab-=a+b+,即ab=a2+2ab+-c2,所以a2+2-c2=-b, a+b-c 由余弦定理得，cosC=2+b2-c2 -ab 1 2ab 2ab 2 又Ce(0,π，所以C=2x 3 故答案为： 2元 3 14、已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,,c,其外接圆半径为80，D 3 为边BC的中点，AD=号，∠BAC为钝角，则2b-©的取值范围是 【答案】(-1,2) 【解析】如图， B D :根据正弦定理得，2W5a。 a 所以sin∠BAC=5, 3 sin∠BAC 2 因为∠BAC为钝角，所以∠BAC=120°； 延长AD到点E,使得AD=DB,连接BE,CE,易知四边ABEC为平行四边形， 则∠ABE=180°-∠BAC=60°， 设∠BAE=&,则∠BEA=120°-a, 在△ABE中， b 2×号 2 sina sin(120°-&) 》以五之2 V5sin(120°-w, 3 sina-2 故2b-c=4 sin(120°-u)=V8sinu-cosa=2sin(a-30y, 因为0°<a<120,所以-30°<a-30<90,所以-号<sinu-30)<1, -1<2sin(&-30)<2,所以2b-c的取值范围是(-1,2). :根据正弦定理得，25 2-a 3sin∠BAC 所以sin/BAC=√ 2 因为∠BAC为钝角，所以∠BAC=120°. 因为D为边BC的中点，所以2AD=AB+AC, ·8… 两边平方，4AD=A+2AB·AC+AC,得1=+c2-bc①. 设t=2b-c,则c=2b-t,将其代入①得，3b2-3tb+-1=0②， 所以关于b的方程3b2-3tb+t2一1=0至少有1个正实数根. 当△=9t2-12(t2-1)=0,即t=±2时，经检验，不符合题意： [△=-3t2+12>0 △=-3t2+12>0 所以 号≥0 或专<0 ,解得-1<t<2, t2-1<0 故2b-c的取值范围是（-1,2)： :根据正弦定理得， 2v3a a 3 sin∠BAC 厅以sin/BAC三号，因为∠BAC为钝角，所以∠BAC=1209 则根据余弦定理得，a2=b2+c2-2 bccos∠BAC=b2+c2+bc, 又c0sB=2+e2-为，cosB=a2+o2-,0osB= (受+c?-AD 2ac 2ac 2×号×c 所以E2_号+c-士，即1=2沙- 2ac ac 将a2=b2+c2+bc代入，得1=b2+c2-bc① 设t=2b-c,则c=2b-t,将其代入①得，3b2-3tb+-1=0②， 所以关于b的方程3b2-3tb+t2-1=0至少有1个正实数根： 当△=9t2-12(t-1)=0,即t=±2时，经检验，不符合题意： △=-3t+12>0 △=-3t2+12>0 所以 克≥0 或专<0 ,解得-1<t<2, t2-1<0 故2b-c的取值范围是（-1,2)： 故答案为：（-1,2) 方法点睛：解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法： 一是将所求量表示为与边有关的形式，利用基本不等式求得最值或范围： 二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围， 四、解答题 15、已知向量d,满足d=(cos0,sin0),6=(0,2), (1)若d,6的夹角为5，求(a+26:6: (2)若(a+列⊥d,求cos0+)的值 【答案】(1)9 2号 【解析】(1)由d=(cos0,sin0),=(0,2), ·9 故向量动=1，=2， 且d,6的夹角为号，可得d6=1×2×os号=1 3 则(d+2-=d.6+26.=1+2×22=9. (2)由(a+⊥，所以(a+a=0, 又d+i=(cos0,sin0+2), (d+B)d=cos20+sin20+2sine=1+2sin0=0 所以sin0=号，故cos(0+罗)=-sin0=号 本题考查了平面向量的数量积定义、平面向量的运算公式 l6、在锐角三角形ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c,已知2 asin Bsin C =√3 bsinA (1)求C: (2)求6的取值范围。 0 【答案】1写 2号2 【解析】(1)因为2 asin BsinC=√3 bsin A,由正弦定理可得2 sin Asin BsinC= √3 sinBsinA, 因为△ABC为锐角三角形，则sinA>0,sinB>0, 所以，2nC=5,即sinC=9,所以，C-号 3 0<A<5 (2)因为△ABC为锐角三角形，可得 0<B夸-A<变'解得若<A<号， 6 则b=sinB_ sin(餐-A_9cosA+sinA 1 十 a sinA sinA sinA 2tanA千2’ 因为A∈（骨号，则amA二得以amAE0.可将<+号< 2,即2<名<2，所以名的取值范围为（号，2） 2 a 17、设AD是半径为5的半圆O的直径（如图），B,C是半圆上两点，已知AB=BC= √10. (1)求cos∠AOC的值； (2)求DC.D元的值. ·10杭州二中2025级高一下数学周末练2 一、单选题 1、已知向最=（分，），6=(，》则下列关系正确的是 A.d⊥ B.(d-⊥(d+b c.d⊥(a- D.aL(a+B) 2、若两个非零向量d,满足a+列=a-=2,则向量a-与d的夹角为 A吾 B.5 n晋 3、A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足A正=A柜+AC (a∈[0， +o),则点P的轨迹一定经过△ABC的 () A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4、点M是△ABC所在平面内一点，满足M店+号+多AMd=0,若D为AC中点， 则S△4BM的值为 () SABCD A号 B是 c号 D. 6 5、如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3, MC=2,则M.(wM厉-MC)=() 九鸟 B号 c 0.2 6、长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓， 历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔.如图， 为测量塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C 与D,现测得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=32m,在C点测得塔顶 A的仰角为60°，则塔的总高度为 () A.(96-32√6)mB.(96-32√5)m C.(92-32w2)mD.(92-32W3)m B、 7、已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c-a)sinA=csinC-bsinB ,b=3,则AC边上中线长度的最大值为 () A.3② B.4V3 C.3V3 D.4② 2 3 2 3 ·1 8、已知平面向量d、不、满足=同=.衣=2，且a+闷≥a-号对任意实数入恒 成立，则号à+可+25-d的最小值为 () A.√5+1 B.23 C.\sqrt5 D.2√5 二、多选题 9、记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a(cosAcosB-sinCcosC)=(csinC-bcosA)cosA,则下列说法正确的是 () A.a可能是最大边B.b可能是最大边C.a可能是最小边D.c可能是最小边 10、设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判定△ABC是等腰三角 形的是 () A.acosA=bcosB B.asin B=bsinC C.cos(A+C)=cos B D.c=2acosB 11、将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且 OB·OC=20.设点T是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是 A.A A,=v5 B.存在T,使得(OB1+OC)·O7=-12 B2 C, C.若T={B,B2,…,B6},则OBO7的所有取值的和为C6 B3 0 B4 D.若T∈{C,C2,…,C},则OC·O7的取值集合为 01 A {28,26,14,4,-14,-26,-28} B Bo C9 C10 三、填空题 12、已知a=(1,-2),=(2,入)，且d与的夹角为锐角，则实数1的取值范围是 13、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的周长为 asinB sinA+sinB-sing 则角C为 14、己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆半径为a,D 3 为边BC的中点，AD=之，∠BAC为钝角，则2b-c的取值范围是 ·2 四、解答题 15、已知向量d,满足d=(cos0,sin0),=(0,2), (①)若d,6的夹角为5，求(d+26 (2)若a+⊥立，求cosg+竖)的值 16、在锐角三角形ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c,已知2 asin Bsin C =√5 bsin A. (1)求C: (2)求6的取值范围。 17、设AD是半径为5的半圆O的直径（如图），B,C是半圆上两点，已知AB=BC= √10. 0 (1)求cos∠AOC的值： (2)求DC.DB的值. ·3 18、在平面四边形ABCD中，AD⊥AC,且AD=AC (1)△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanB=3tanA. ①当a=4时，求oB的值： ②当b=4时，求ac的最大值 (2)若AB=2BC=4,当∠ABC变化时，求BD长度的最大值 19、对于平面向量a=(c,)(k=1,2,…）,定义“Fg变换：a+=F(@)= (xxcos0-yxsin0,xxsing+yicos0),(0<0<) ()若向量d-(2,1)日=否，求a: (2)求证：@=a+: (3)已知OA=(,h),OB=(c2,2),且OA与OB不平行，OA=F(OA,OB- F(OB),求证：S0AB=SOAB …4