精品解析：上海市复旦大学附属中学2027届高三上学期第三次模拟检测数学试题（A卷）

2027届复旦附中高三数学模拟（3） A卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合为正整数，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，为正整数， 则集合， 集合， 表示既属于集合又属于集合的元素构成的集合， 观察可得两集合的公共元素为，故. 2. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式，转化为解不等式即可. 【详解】因为不等式,解得或, 所以，不等式的解集为 3. 已知，，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】， . 所以. 4. 已知数列是不具有单调性的等比数列，，则其前2026项和_____． 【答案】0 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，，解得， 当时，等比数列为常数列，不符合题意， 当时，等比数列为正负交替，符合题意， . 5. 在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则，即为各项系数之和， 又因为各项系数之和为16， 所以，解得， 由二项式定理可得，其展开式的通项公式为， 要求项的系数，所以，系数为. 6. 方程组只有两组实数解，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】变形给定方程组，再利用直线与圆相切求出的值. 【详解】由方程组只有两组实数解， 得方程组和方程组各有一组实数解， 显然，因此直线与圆都相切， 则，所以. 7. 已知体积相等的圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱高为，则圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据体积相等求得圆锥的高为，进而求得圆锥的母线长，再计算表面积即可. 【详解】根据圆柱体积公式得 因为圆柱和圆锥的体积相等，即 ， 设圆锥的高为，根据圆锥体积公式得，即，解得： 所以，圆锥的母线长 所以，圆锥的表面积等于底面积与侧面积之和，公式为，即： 所以，圆锥的表面积为 8. 已知是等差数列的前项和，若，则______． 【答案】13 【解析】 【详解】设等差数列公差为， 则. 化简得，即， 等差数列前项和公式：， 所以， 代入，得. 9. 已知函数 的减区间为，则实数 的取值集合为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,所以的单调递增区间为， 因为函数 的减区间为， 根据复合函数的单调性可得：，解得：, 所以实数 的取值集合为 10. 已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用抛物线的定义用表示进而得出之间的关系，最后代入到弦长公式里即可求解. 【详解】 设，， 因此：，得，​ ，得，​ 因此，直线斜率必然存在， 由弦长公式，代入，解得. 所以直线的斜率为. 11. 已知，，三角形的面积，若，则__________．（保留2位小数） 【答案】1.21或0.92 【解析】 【分析】由得到，又因为，得到，得到，由得到，推出或，分类讨论，再由正弦定理即可得出答案. 【详解】因为， 所以，即， 因为， 所以，因为在中，， 所以，所以，即 因为，所以， 因为，所以或，即或， 若，则， 由正弦定理可得， 所以，，解得； 若，同理可得，，解得， 综上所述，或 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，结合已知条件分析得出，由绝对值三角不等式分析得出，令，分析其奇偶性，可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，令，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，其中，则恒成立， 所以函数在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 由结合图可知，，由，可得， 对任意的，， 所以，故，即， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，即， 令，其中，则， 则不满足， 则， 所以函数为偶函数， 所以当时，由可得，可得， 令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，则, 由题意可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，如下图所示： 所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析函数的单调性以及得出，然后再求解不等式整数解的个数时，利用图象能够清晰地将不等关系利用图形的形式呈现得更为具体、直观. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的标准代数形式即可求解. 【详解】对于复数的标准代数形式（其中）， 规定为复数的实部，记作；为复数的虚部，记作， ，对应可得虚部. 14. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可. 【详解】一方面：， 另一方面：，但， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D． 【详解】 对于选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故A正确； 对于选项B，若，则，故B错误； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：A． 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 【答案】C 【解析】 【分析】利用曲线方程的代换法判断对称性，借助一元二次方程判别式求解变量取值范围，结合基本不等式研究曲线上点到原点距离；通过举反例判断命题真假，综合运用代数推理，逐项甄别四个选项，找出错误命题即可. 【详解】选项A：将 ， 方程：，不变，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于原点对称，A 正确； 选项B：等轴双曲线渐近线：、， 将、互换，方程变为，与原方程相同，曲线关于对称； 同理可验证曲线关于对称，B正确； 选项C：设，，方程化为：，则， 所以关于的方程有实根，则， 所以，可得，此时， 取两点横坐标都取最大值为，所以， 存在两点横坐标之和大于，故C错误； 选项D：设曲线上点，到原点距离平方， 由基本不等式：， 所以，即，可得， 曲线上所有点到原点距离不超过，没有点在圆外，故D正确. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. （1）求实数的值； （2）设，当时，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，知， ， ∴. 【小问2详解】 由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 18. 如图，已知平面，，为等边三角形，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求：直线和平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面，平面，所以. 以点为原点，以为轴，以在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，因为，为等边三角形， 则，，，，， 因为为的中点，所以， 则，，，所以. 取的中点，则，所以，故. 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面平行的向量证法证明即可. （2）根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量， 又，设和平面所成的角为， 则， 故直线和平面所成角的大小为． 19. 2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）这组数据的极差为________，中位数为_________； （2）从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上的概率为__________； （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006， ①预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）； ②试判断该回归方程的预测精度随着年份x的增大提高还是降低，并说明理由． 【答案】（1）10.15；210.015 （2） （3）①秒；②降低，因为年份越大，与样本年份均值2006的距离越远，线性回归外推的预测误差越大，因此预测精度降低. 【解析】 【分析】（1）根据极差及中位数的定义求解即可. （2）根据古典概型概率计算公式及组合知识求解即可. （3）求出这组数据的平均数，进而求出线性回归方程，从而进行预测；结合回归模型的局限性回答即可. 【小问1详解】 这组数据的最小值为206.78，最大值为216.93， 故极差为. 这组数据共10个数据，中位数为第5、第6个数的平均数， 故中位数为. 【小问2详解】 大于211的数据有4个， 故从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上的概率为. 【小问3详解】 ①：由题意，成绩的平均数为： ， 由直线过，则， 故回归直线方程为. 当时，. 故预测年冠军队的成绩为秒. ②：降低，因为年份越大，与样本年份均值2006的距离越远，线性回归外推的预测误差越大，因此预测精度降低. 20. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点． （1）设点，若直线过点F，当时，求：点A的坐标； （2）若原点是的重心，求：的值； （3）若与交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知斜边的中点，则，进而得到点在线段的垂直平分线上即可求解； （2）设，，，由焦点弦公式可得，，，结合重心的性质得即可求解； （3）分或垂直于轴、和不垂直于轴两种情况，结合弦长公式和基本不等式计算范围即可． 【小问1详解】 因为，且直线过点，设椭圆左焦点为， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点， 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或； 【小问2详解】 设，，， 则，即， ， 同理，， 又是的重心，所以， 所以，； 【小问3详解】 ①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， 则， 因为，所以， 综上，的取值范围是． 21. 定义：若函数的图像上存在有限的个不同点处的切线重合（），则称该切线为函数的一条“点切线”，函数具有“点切线性质”．（注：若该切线为函数的一条“点切线”，则不称其为的一条“点切线”，） （1）已知函数具有“点切线性质”，请直接写出满足条件的的值与对应的“点切线”方程； （2）试判断与是否具有“点切线性质”并说明理由； （3）若函数在上可导，求证：不存在使的所有切线都为“点切线”． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）） 【答案】（1）时，切线；时，切线 （2）不具有“点切线性质”，具有“2点切线性质”，理由如下： 由题意得，记，则， 故在定义域上单调递增， 故不可能存在且使得， 因此不具有“点切线性质”． 由题意得，先证明在上存在唯一解， 记，则，故在上单调递增， 又当时，，当时，， 故在上存在唯一零点，即在上存在唯一解， 取，则仅在和处切线均为， 因此具有“2点切线性质”． （3）证明：假设存在使的所有切线都为“点切线”，记， 则对任意，存在与相关的满足且， 将①两边对求导得③， 将②两边对求导并整理得④， 将③代入④得， 又，故恒成立， 因此由可用结论得，为任意常数， 构造函数，则， 再次用可用结论，可得，为任意常数， 则，此时上任意点切线重合，这与有限矛盾， 综上，不存在使的所有切线都为“点切线”． 【解析】 【分析】（1）令可得具有“2点切线性质”，“3点切线性质”，再证明唯二性即可； （2）由于在定义域上单调递增，故不可能存在且使得，故不具有“k点切线性质”；取，则仅在和处切线均为，故具有“2点切线性质”； （3）采用反证法，利用在与处切线重合的充要条件推出矛盾即可证明． 【小问1详解】 由题意得， 令，解得， 由于在处切线均为，在切线均为， 故具有“2点切线性质”，“3点切线性质”． 下面证明唯二性：若一条直线与相切于个不同点， 则每个切点处多项式至少为二重根（即为原函数根也为导函数根）， 故总重根数至少为，而该多项式的次数为6，，故， 因此的值只能为2或3． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届复旦附中高三数学模拟（3） A卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合为正整数，，则__________． 2. 不等式的解集为__________． 3. 已知，，则__________． 4. 已知数列是不具有单调性的等比数列，，则其前2026项和_____． 5. 在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为__________． 6. 方程组只有两组实数解，则__________． 7. 已知体积相等的圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱高为，则圆锥的表面积为__________． 8. 已知是等差数列的前项和，若，则______． 9. 已知函数 的减区间为，则实数 的取值集合为__________． 10. 已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 11. 已知，，三角形的面积，若，则__________．（保留2位小数） 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 4 D. 5 14. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. （1）求实数的值； （2）设，当时，，求的值. 18. 如图，已知平面，，为等边三角形，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求：直线和平面所成角的大小． 19. 2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）这组数据的极差为________，中位数为_________； （2）从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上的概率为__________； （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006， ①预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）； ②试判断该回归方程的预测精度随着年份x的增大提高还是降低，并说明理由． 20. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点． （1）设点，若直线过点F，当时，求：点A的坐标； （2）若原点是的重心，求：的值； （3）若与交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围． 21. 定义：若函数的图像上存在有限的个不同点处的切线重合（），则称该切线为函数的一条“点切线”，函数具有“点切线性质”．（注：若该切线为函数的一条“点切线”，则不称其为的一条“点切线”，） （1）已知函数具有“点切线性质”，请直接写出满足条件的的值与对应的“点切线”方程； （2）试判断与是否具有“点切线性质”并说明理由； （3）若函数在上可导，求证：不存在使的所有切线都为“点切线”． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $