精品解析：吉林省吉林市第七中学校2022年4月九年级中考数学模拟试卷

吉林七中数学月考试卷 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 在数–6，3，5，–2中任取两个数相乘，所得积最小的是（ ） A. -18 B. -30 C. -10 D. -6 2. 以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（ ） A. 节能 B. 绿色环保 C. 永洁环保 D. 绿色食品 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A. π B. π C. 4π D. +π 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 使在实数范围内有意义的x的取值范围是______． 8. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就某大数据中心存储约68000000000本电子书籍，将68000000000用科学记数法表示应为______． 9. 因式分解：______． 10. 如图，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为直角三角形时，则的长为______． 11. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 12. 如图，在半圆中，半径，C、D两点在半圆上，若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积是______． 13. 如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为______． 14. 如图，已知点在抛物线上，以为圆心的圆与轴交于、两点，且、两点的横坐标是关于的方程的两根，则弦的长等于______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 化简：． 16. 某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量． 17. 某校计划在开学后第三周的星期一至星期四开展社会实践活动． （1）若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为　 　； （2）若甲、乙两位同学各随机选择1天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求这两位同学选择的两天是连续两天的概率． 18. 如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求的面积． 20. 2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A：60≤x＜70 a B：70≤x＜80 18 C：80≤x＜90 24 D：90≤x≤100 b （1）n的值为　 　，a的值为　 　，b的值为　 　． （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　 　°． （3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 21. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长长都是1，点A、B、E、F均在格点上；在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法， （1）在图①中以线段AB为边画一个等腰三角形ABC且顶角为钝角； （2）在图②中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFMN，使其面积为9． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AFBE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4） （1）求盲区中DE的长度； （2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲队在队员受伤前的速度是　 　千米/时，甲队骑上自行车后的速度为　 　千米/时； （2）当t＝　 　时，甲乙两队第一次相遇； （3）当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？ 24. 如图，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，． （1）试证明，并求的值． （2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设，其他条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点P在AC上以每秒个单位长度的速度向终点C运动．点Q沿BA方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点A重合时，连接PQ，以PQ，BQ为邻边作．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s），与△ABC重叠部分的图形面积为S． （1）点P到边AB的距离＝　 　，点P到边BC的距离＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当点M落在线段BC上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式； （4）连接MQ，当MQ与△ABC的一边平行或垂直时，直接写出t的值． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx-3m （1）当m=1时， ①抛物线的对称轴为直线______， ②抛物线上一点P到x轴的距离为4，求点P的坐标 ③当n≤x≤时，函数值y的取值范围是-≤y≤2-n，求n的值 （2）设抛物线y=x2-2mx-3m在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y0，直接写出y0与m之间的函数关系式及m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林七中数学月考试卷 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 在数–6，3，5，–2中任取两个数相乘，所得积最小的是（ ） A. -18 B. -30 C. -10 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】找出最小的负数-6和最大的正数5，则其积最小即可． 【详解】解：根据题意得：（-6）×5=-30， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2. 以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（ ） A. 节能 B. 绿色环保 C. 永洁环保 D. 绿色食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可 【详解】∵A,B,C都不是轴对称图形, ∴都不符合题意; D是轴对称图形,符合题意, 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义,准确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可． 【详解】A．，该项不符合题意； B．，该项不符合题意； C．，该项符合题意； D．，该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式等内容，解题的关键是掌握运算法则． 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6. 如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A. π B. π C. 4π D. +π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式：计算即可． 【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°， ∴∠OBC=30°， ∴OC=OB=1，BC=， 则边BC扫过的区域的面积为： =πcm2． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，三角形的性质．正确计算扇形面积是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 使在实数范围内有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解． 【详解】∵， ∴． 故答案是：． 8. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就某大数据中心存储约68000000000本电子书籍，将68000000000用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，需观察原数变为a时小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n为正数；当原数绝对值＜1时，n为负数． 【详解】解：将68000000000用科学记数法表示，可得，原数变为时小数点向左移动10位，因此，即． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式x，再根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为直角三角形时，则的长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，应用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况进行解答，即当或当时，分别画出相应的图形，利用等腰三角形的性质，特殊角的直角三角形的边角关系及翻折变换的性质求解即可． 【详解】解：①当时，如图1， ∵，， ∴， ∴， 由翻折可知， ， 在中，，， ∴； ②当时，如图2， 由翻折变换可知，，， ∴， ∴， 综上所述，的长为或4， 故答案为：或4． 11. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代入方程系数计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程中的，，． 则这个方程根的判别式的值是． 12. 如图，在半圆中，半径，C、D两点在半圆上，若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点，由菱形的性质可得，证明为等边三角形，由等边三角形的性质并结合勾股定理得出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，作于点， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 13. 如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由图象可得，点从点到点用时为，为，则，由三角形面积公式计算得出，由图象可得，当点从点到点时，用时，则，由勾股定理可得，由菱形的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 由图象可得，点从点到点用时为，为， ∵点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B， ∴， ∴， ∴， 由图象可得，当点从点到点时，用时， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴． 14. 如图，已知点在抛物线上，以为圆心的圆与轴交于、两点，且、两点的横坐标是关于的方程的两根，则弦的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】设 两点的横坐标为 ，根据根与系数的关系求得 与 、 之间的关系， 即可解答； 【详解】在抛物线上， 故有，即； 设，两点的横坐标为、，、两点的横坐标是关于的方程的两根 则有，， 而弦的长的等于， 故， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点，考查学生数形结合处理问题、解决问题的能力 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量． 【答案】原来每天加工80个零件． 【解析】 【分析】设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件， 依题意，得： 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意． 答：原来每天加工80个零件． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解决实际问题是解题的关键． 17. 某校计划在开学后第三周的星期一至星期四开展社会实践活动． （1）若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为　 　； （2）若甲、乙两位同学各随机选择1天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求这两位同学选择的两天是连续两天的概率． 【答案】（1） （2） 把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4， 画树状图如图： 共有16个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个， ∴甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可． 【详解】略 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）y＝，y＝3x﹣3；（2） 【解析】 【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积． 【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在和中 ， ∴（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ∵双曲线经过D点， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y＝， 设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得， 解得， ∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解 得或， 经检验：两组解都符合题意， ∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE＝＝，DB＝＝， ∴CN＝BD＝， ∴ 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 20. 2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A：60≤x＜70 a B：70≤x＜80 18 C：80≤x＜90 24 D：90≤x≤100 b （1）n的值为　 　，a的值为　 　，b的值为　 　． （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　 　°． （3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1）60，6，12 （2）144 （3）480人 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可； （3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：n＝18÷30%＝60， ∴a＝60×10%＝6， ∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12， 故答案为：60，6，12； 【小问2详解】 补全频数分布直方图如下： 扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°， 故答案为：144； 【小问3详解】 估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×＝480（人）． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图等知识，读懂统计图，获取有用的信息是解题的关键． 21. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长长都是1，点A、B、E、F均在格点上；在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法， （1）在图①中以线段AB为边画一个等腰三角形ABC且顶角为钝角； （2）在图②中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFMN，使其面积为9． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）作底为2和4，高为3的等腰梯形即可． 【小问1详解】 解：如图①，△ABC即为所求作． 【小问2详解】 解：如图，四边形EFMN即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AFBE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4） （1）求盲区中DE的长度； （2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】（1）盲区中DE的长度约为2.5米 （2）驾驶员能观察到物体，理由： 驾驶员能观察到物体， 理由如下：过点M作NM⊥ED，交PE于N， ∵ED＝2.5米，MD＝1.8米， .∴EM＝0.7米， 在Rt△EMN中，MN＝EM•tan∠PEB≈0.7×0.4＝0.28（米）， ∵0.3＞0.28， ∴在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据正切的定义求出DE； （2）过点M作NM⊥ED，交PE于N，根据正切的定义MN，比较大小得到答案． 【小问1详解】 解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，AFBE， ∴DF＝AC， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠PBE＝45°，AB＝米， ∴AC＝BC＝AB＝×＝1（米）， ∴DF＝AC＝1米， 在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，∠PEB＝20°， ∴DE＝（米）， 答：盲区中DE的长度约为2.5米； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲队在队员受伤前的速度是　 　千米/时，甲队骑上自行车后的速度为　 　千米/时； （2）当t＝　 　时，甲乙两队第一次相遇； （3）当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？ 【答案】（1）4，8；（2）0.8；（3）当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米 【解析】 【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲队在队员受伤前的速度和甲队骑上自行车后的速度； (2)根据函数图象中的数据，可以计算出当t为多少时，甲乙两队第一次相遇； (3)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米. 【详解】解：（1）由图象可得， 甲队在队员受伤前的速度是：2÷＝4（千米/时）， 甲队骑上自行车后的速度为：（10﹣2）÷（2﹣1）＝8（千米/时）， 故答案为：4，8； （2）由图象可得， 乙队的速度为：10÷（2.4﹣）＝5（千米/时）， 令5×（t﹣）＝2， 解得t＝0.8， 即当t＝0.8时，甲乙两队第一次相遇， 故答案为：0.8； （3）由题意可得， [5×（t﹣）]﹣[2+8（t﹣1）]＝1或[2+8（t﹣1）]﹣[5×（t﹣）]＝1或[5×（t﹣）]＝10﹣1， 解得t＝1或t＝或t＝， 即当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 24. 如图，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，． （1）试证明，并求的值． （2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设，其他条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由． 【答案】（1）证明见详解；； （2）有变化， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得到和，进一步得到，，和，连接，，设，则，，，可得到和，结合和，得到，即可得到； （2）连接，交于点，连接，，，交于，根据菱形的性质得，由（1）知，，可得和，进一步证明，，共线，再证明为平行四边形和是矩形，即可得到，设，则和，，，可求得和，即可求得． 【小问1详解】 证明：如图1中，延长交的延长线于，连接，，， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 的值有变化．理由如下， 连接，交于点，连接，，，交于，如图2， ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∵， ∴，，共线， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则与互相平分， ∵， ∴点在直线上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质常见辅助线的作法． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点P在AC上以每秒个单位长度的速度向终点C运动．点Q沿BA方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点A重合时，连接PQ，以PQ，BQ为邻边作．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s），与△ABC重叠部分的图形面积为S． （1）点P到边AB的距离＝　 　，点P到边BC的距离＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当点M落在线段BC上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式； （4）连接MQ，当MQ与△ABC的一边平行或垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）t；4﹣2t （2） （3）S＝ （4）t＝或t＝1或t＝2 【解析】 【分析】（1）过点P作PE⊥AB，根据勾股定理求出AC，运用三角函数得出，，应用解直角三角形求出PE，AE即可； （2）当点M落在线段BC上时，证明四边形PMBQ是矩形，从而得到AB＝t+2t＝4，求出t即可； （3）分两种情况讨论：①当时，与△ABC重叠面积为，根据已有数据计算即可；②当时，设PM交BC于点N，则▱PQBM与△ABC重叠面积为，根据已有数据计算即可； （4）①如图，当QM⊥AB时，则，证明四边形EPMQ是矩形，求出t即可；②当QM⊥AC时，延长QM交AC于X，利用锐角三角函数求出，再建立方程求解即可；③当时，证明四边形ACMQ是平行四边形，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点P作PE⊥AB， 由题意可知， ∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴点P到AB的距离为t，点P到BC距离为4﹣2t； 故答案为：t；4﹣2t； 【小问2详解】 如图2，当点M落在线段BC上时， ∵四边形PMBQ是平行四边形， ∴，PM⊥BC， ∴四边形PMBQ是矩形， ∴PQ⊥AB， ∴PQ＝t，AQ＝2t， ∵BQ＝t， ∴AB＝t+2t＝4， 解得：t＝； 【小问3详解】 ①当时，与△ABC重叠面积为，如图1， ∴， 由（1）可知PE＝t，BQ＝t， ∴S＝t2， ②当时，设PM交BC于点N，如图3， 则与△ABC重叠面积为， ∴， ∵PE＝t，BQ＝t，PN＝4﹣2t， ∴， 综上所述， ； 【小问4详解】 ①如图4，当QM⊥AB时，则， 由（1）得：AE＝2t，BQ＝t， ∵，QM⊥AB， ∴四边形EPMQ是矩形， ∴EQ＝PM＝BQ＝t， ∴AB＝AE+EQ+BQ＝4t＝4， 解得：t＝1； ②当QM⊥AC时，延长QM交AC于X，如图5， ∵∠MPX＝∠A，PM＝BQ＝t， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图6， ∵， ∴四边形ACMQ是平行四边形， ∴AQ＝CM＝QB＝t， ∴AB＝AQ+BQ＝2t＝4， 解得：t＝2； 综上所述，当MQ与△ABC的一边平行或垂直时，t＝或t＝1或t＝2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，几何中的动点问题．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定与性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，分类讨论思想． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx-3m （1）当m=1时， ①抛物线的对称轴为直线______， ②抛物线上一点P到x轴的距离为4，求点P的坐标 ③当n≤x≤时，函数值y的取值范围是-≤y≤2-n，求n的值 （2）设抛物线y=x2-2mx-3m在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y0，直接写出y0与m之间的函数关系式及m的取值范围． 【答案】(1)①；②点P的坐标为或或；③n的值为；(2)当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）①根据对称轴公式求出即可；②当和时，分别求出点P坐标即可；③抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，，然后可求得n值. （2）分情况讨论，当时，当时，当时，结合抛物线开口方向和对称轴，分别求出对应的与m之间的函数关系式即可. 【详解】解：（1）①． ②当时，． 由题意得：点P的纵坐标为， 当时， ，． 当时， ． 点P的坐标为或或． ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小． 当时，． 将代入得： ， (舍)，． ∴n的值为． (2) 由于抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $