精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2026届高三下学期第一次大练习集中训练数学试卷

2025—2026学年下学期高三年级 第一次大练习集中训练数学学科 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解绝对值不等式，可得，即； 又，所以. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. , 使得 B. , 使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可. 【详解】命题“，使得”的否定形式为“，使得”. 故选：D. 3. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案. 【详解】，则样本数据的60%分位数为. 故选：B. 4. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为， 所以, 故选：B 6. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出，即，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 7. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面均为正方形，此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项. 【详解】正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形， 内切球的半径为，设截面圆的半径为，则，解得：， 设截面圆的外接正方形的边长为，则，正方形的面积，，由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟合方盖”内切球的关系. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，且，，下列说法正确的是（ ） A. 若为等比数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若，则数列的一个周期为6 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】针对每个选项，分别利用等比数列、等差数列的通项公式推导，结合周期数列的定义和前n项和的周期性性质，逐一验证判断对错. 【详解】对于A：若为等比数列，公比，首项， 通项公式为： ，A正确； 对于B：若为等差数列，公差， 通项公式为： ，B错误； 对于C：根据周期数列的定义：若对任意正整数，都有​，则是数列的一个周期， 故由，可知是数列的一个周期，C正确； 对于D：由，得数列是周期数列，周期为6，因此，，D正确. 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据渐近线求出焦距后可判断其正误，对于B，根据渐近线的斜率可求直线的倾斜角后可判断其正误，对于C，根据双曲线的定义转化线段和后可求其最小值，从而判断其正误，对于D，根据余弦定理结合计算的值后可判断其正误. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线的方程为，所以焦距，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为， 若过原点的直线与双曲线相交，则必与左支、右支各有一个交点， 则直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围为，B正确； 对于C，， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时取等号，C错误； 对于D，由对称性不妨设为上支上的任意一点， 当点为双曲线的上顶点时，； 当点不在双曲线的上顶点时，因为， 则，由余弦定理得， 又，所以， 因为，则， 即. 综上，恒为定值，D正确， 故选：ABD. 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】化简复数，即可求出. 【详解】解：由题意 在中， 故答案为：. 13. 在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】由且，可得， 则由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则， 设外接圆半径为，则，得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 14. 如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用分步乘法计数原理和列举法求出事件数，再利用条件概率公式求概率即可. 【详解】设“每行都放置两枚棋子”为事件A，“每列都有两枚棋子”为事件B， 则所求概率为， 根据题意，每行都放置两枚棋子,即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有种方法， 所以，. 对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此时第二行有种放置方法，则第三、四行的放置方法如图， 图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法，图6中，第三行有种放置方法，其选定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以总共有种方法. 因为第一行棋子有种放置方法，其他5种情况同理，故. 所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题可知，， 当时，，由得， 由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 16. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 17. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆方程； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上两点列方程可求出，即可得出椭圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，由根与系数的关系得出弦长，再由点到直线距离得出高，求出三角形面积，解方程即可得解． 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 如图， 当的斜率不存在时，， ，到距离， 此时不满足条件． 当直线斜率存在时，设， 设， 则，消可得， 当时， ，又， 所以， ， 又点到直线的距离， 所以， 整理可得或（无解）， 即， 解得或， 此时代入检验，均满足， 或， 即或． 18. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为X，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2） （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明； （ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案. 【小问1详解】 小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. 【小问2详解】 设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． 【小问3详解】 （i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 19. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）证明：若，则， 所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 于是. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零，结合余弦函数性质，即可得答案. （2）（i）利用导数求出的单调区间和极值，分析即可得证. （ii）分别讨论和两种情况，导数求出的单调区间，进而可得其极值点个数，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 由，解得， 所以的定义域为 【小问2详解】 当时， （i）略. （ii）由题意可知， 若，当时，由（i）可知， 再由为奇函数可知， 当时，． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时存在唯一的极大值点． 若，令， 则， 令，函数， 则，故在上单调递增． 因为，故存在使得． 当时，； 当时，． 记且，则当或时，单调递减； 当时，单调递增． 又因为， 当时，，当时，， 再由为奇函数可知， 存在，使得． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减， 此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点． 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期高三年级 第一次大练习集中训练数学学科 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. , 使得 B. , 使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 4. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，且，，下列说法正确的是（ ） A. 若为等比数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若，则数列的一个周期为6 D. 若，，则 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 14. 如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 16. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆方程； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程． 18. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为X，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 19. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $