9.2 坐标方法的简单应用 课件 2025-2026学年数学人教版七年级下册

9.2 坐标方法的简单应用 坐标方法的简单应用（第1课时） 　　在实际生活中，经常需要准确描述一些地点的位置，这时可以通过建立平面直角坐标系，用坐标来表示地理位置．你知道怎样用坐标表示地理位置吗？ 　　根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置． 用坐标表示地理位置 　　国家体育场：在天安门以北约 9 km 处． 　　中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约 14.5 km，再往南约 6 km处． 　　北京朝阳火车站：在天安门以东约 9.5 km，再往北约 4 km 处． 　　首钢滑雪大跳台：在天安门以西约 21 km 处． 　　颐和园：在天安门以西约 11 km，再往北约 10 km 处． 　　怎样建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定 x 轴，y 轴的位置？ 　　分析：根据题意，知国家体育场、中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置均是以天安门及东西方向、南北方向为参照来描述的，故选天安门所在位置为原点，以正东方向为 x 轴的正方向，以正北方向为 y 轴的正方向建立平面直角坐标系． 用坐标表示地理位置 y/km x/km O 　　解：如图，选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 1 km 长． 北 用坐标表示地理位置 2 4 6 8 10 －2 －4 －6 2 4 6 8 10 天安门 －20－18－16－14－12－10－8－6 －4 －2 (0，9) 　　 用坐标表示地理位置 北京朝阳火车站 (－14.5，－6) (9.5，4) (－21，0) 首钢滑雪大跳台 颐和园 (－11，10) y/km 10 8 6 4 北 2 2 4 6 8 10 x/km －2 －4 －6 天安门 点(0，0)就是天安门的位置． 点(9.5，4)就是北京朝阳火 车站的位置． 点(－14.5，－6)就是中国人 民抗日战争纪念馆的位置． 点(0，9)就是国家体育场的位置． 点(－21，0)就是首钢滑雪大跳台的位置． 点(－-－11，10)就是颐和园的位置． 国家体育场 中国人民抗日战争纪念馆 O －20－18－16－14－12－10－8－6 －4 －2 归纳 　　利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： 　　（1）建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； 归纳 　　利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： 　　（2）根据具体问题，确定单位长度； 　　（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 　　例1　某学校的平面示意图如图所示，试建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示各建筑物的位置（规定一个小正方形的边长为 1）． 北 餐厅 体育场 图书馆 教学楼 校门 国旗杆 实验楼 学生公寓 　　解：方法 1：选国旗杆所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图． 　　各建筑物的位置分别为国旗杆(0，0)，校门(－4，0)，图书馆(－3，4)，教学楼(－2，3)，实验楼(－1，－3)，餐厅(1，4)，体育场(2，2)，学生公寓(3，－3)． 图书馆 北 教学楼 餐厅 体育场 校门 国旗杆 学生公寓 实验楼 x y 　　方法 2：选校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图． 　　各建筑物的位置分别为校门(0，0)，国旗杆(4，0)，图书馆(1，4)，教学楼(2，3)，实验楼(3，－3)，餐厅(5，4)，体育场(6，2)，学生公寓(7，－3)． y 北 图书馆 餐厅 教学楼 体育场 校门 国旗杆 实验楼 学生公寓 x 　　利用平面直角坐标系描述地理位置时需要注意的问题:： 　　（1）通常选择具有标志性的地点或者较居中的位置为平面直角坐标系的原点． 　　（2）坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，以便使东、南、西、北的方向与地理位置的方向一致． 　　（3）要标明比例尺或坐标轴上的单位长度． 　　如图，一艘船在 A 处遇险后向相距 35 n mile 位于 B 处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？ 北 思考 B A 北 用表示方向的角和距离表示地理位置 　　分析：由图可知，救生船在遇险船北偏东 60°的方向上，与遇险船的距离是 35 n mile，用北偏东 60°，35 n mile 就可以确定救生船相对于遇险船的位置． 60° 35 n mile B A 遇险船 救生船 　　救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？ 北 用表示方向的角和距离表示地理位置 B A 遇险船 救生船 60° 35 n mile 　　遇险船在救生船南偏西 60°的方向上，与救生船的距离是 35 n mile． 用表示方向的角和距离表示物体位置的步骤 　　第1步：取某个点为参照点，过参照点画出表示东西和南北方向的直线； 　　第2步：确定目标点相对于参照点的方向； 　　第3步：确定目标点与参照点之间的距离； 　　第4步：用表示方向的角和距离表示目标点的位置． 北 图书馆 超市 银行 餐馆 1.8 km 3.2 km 2.8 km 30° 40° 20° 　　例2　如图表示的是图书馆、超市、银行和餐馆的位置关系． 　　（1）以图书馆为参照点，请利用方向和图中所标示的距离分别表示出超市、银行和餐馆的位置； 北 图书馆 超市 银行 餐馆 1.8 km 3.2 km 2.8 km 30° 40° 20° 　　解：（1）超市在图书馆南偏西70°的方向上，且距离图书馆 2.8 km；银行在图书馆北偏东 30°的方向上，且距离图书馆 3.2 km；餐馆在图书馆北 偏西 50°的方向上，且距离图书馆 1.8 km． 北 图书馆 超市 银行 餐馆 1.8 km 3.2 km 2.8 km 火车站 30° 40° 20° 60° 　　（2）火车站在图书馆的南偏东 60°的方向上，并且火车站与图书馆的距离和银行与图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 　　解：（2）火车站的位置如图． 3.2 km 平面内物体位置的表示方法 用坐标表示地理位置 用表示方向的角和距离表示地理位置 坐标方法的简单应用（第2课时） 　　1．一般地，在平面内，将一个图形按___________移动____________，这样的图形运动叫作平移． 　　2．新图形与原图形的______和______完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是_______．连接各组对应点的线段______（或_________ ）且______． 　　 对应点 一定的距离 条直线上 某一方向 平行 相等 ______ 形状 大小 在同一 y x O 　　把图中的三角形向右平移 7 格后，再向下平移 5 格，请作出平移后的图形． 　　解：平移后得到的图形如图所示． 　　图形平移，图形的大小不变，但位置发生了变化．建立如图所示的平面直角坐标系，图形上点的坐标发生了怎样的变化呢？ A1 －3 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 6 7 y x A 点的平移 　　如图，将点 A(－2，－1)向右平移 5 个单位长度，得到点 A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 A1(3，－1)． －1 O 25 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x B B1 点的平移 　　如图，将点 B(1，5)向右平移 5 个单位长度，得到点 B1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 B1(6，5)． －1 O A A1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x C B C1 点的平移 　　如图，将点 C(－1，3)向右平移 5 个单位长度，得到点 C1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 C1(4，3)． B1 －1 O A A1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x C B 点的平移 平移前 平移后 A(－2，－1) B(1，5) C(－1，3) A1(3，－1) B1(6，5) C1 B1 C1(4，3) 　　将点(x，y)向右平移 a 个单位长度，得到对应点(x＋a，y)． －1 O A A1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x C B 点的平移 平移前 平移后 A1(3，－1) B1(6，5) C1(4，3) A(－2，－1) B(1，5) C1 B1 C(－1，3) 　　将点(x，y)向左平移 a 个单位长度，得到对应点(x－a，y)． －1 O A A1 E1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x E 点的平移 　　如图，将点 E(2，3)向上平移 3 个单位长度，得到点 E1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 E1(2，6)． －1 O E1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x E 点的平移 　　如图，将点 F(5，－1)向上平移 3 个单位长度，得到点 F1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 F1(5，2)． F1 F －1 O E1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x E 点的平移 　　如图，将点 G(－3，－2)向上平移 3 个单位长度，得到点 G1，在图上标出这个点，并写出它的坐标． 　　解：如图，点 G1(－3，1)． F1 F G1 －1 O G E1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x E 点的平移 F1 F G 平移前 平移后 E(2，3) F(5，－1) G(－3，－2) E1(2，6) F1(5，2) G1(－3，1) 　　将点(x，y)向上平移 b 个单位长度，得到对应点(x，y＋b)． －1 O G1 E1 3 7 5 2 4 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 6 7 y x E 点的平移 F1 F G 平移前 平移后 E1(2，6) F1(5，2) G1(－3，1) E(2，3) F(5，－1) G(－3，－2) 　　将点(x，y)向下平移 b 个单位长度，得到对应点(x，y－b)． －1 O G1 归纳 　　一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)（或(x－a， y)）；将点 (x，y)向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)（或(x，y－b)）． 图形的平移 　　如图，正方形 ABCD四个顶点的坐标分别是 A(－2，4)，B(－2，3)，C(－1，3)，D(－1，4)，将正方形 ABCD 先向下平移 7 个单位长度，再向右平移 8 个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点 E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？ 3 7 5 2 4 －1 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 y x －3 A C B O －4 D E G F H 3 7 5 2 4 －1 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 y x 图形的平移 －3 　　（1）先将正方形 ABCD 向下平移 7 个单位长度； 　　（2）再向右平移 8 个单位长度． A C B O 　　E(6，－3)，F(6，－4)，G(7，－4)，H(7，－3)． －4 D 3 7 5 2 4 －1 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 y x 图形的平移 －3 －4 O 　　如果直接平移正方形 ABCD，使点 A 移到点 E ，它和前面得到的正方形位置相同吗？ E(6，－3) 　　A(－2，4) F(6，－4) 　　B(－2，3) G(7，－4) 　　C(－1，3) H(7，－3) 　　D(－1，4) E F G H A C B D 3 7 5 2 4 －1 3 －3 1 6 2 4 1 －1 －2 5 －2 y x 图形的平移 －3 －4 A C B O 　　一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． D E G F H 　　分析：P(1，－m) (1＋2，－m＋1) 右移 2 上移 1 Q(n，3) n＝1＋2，－m＋1＝3 n＝3，m＝－2 点 K(m，n)的坐标为(－2，3) 　　例1　将点 P(1，－m)向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到点 Q(n，3)，则点 K(m，n)的坐标为_________. (－2，3) x 　　例2　已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将三角形ABC先向下平移5个单位长度，再向左平移6个单位长度，画出平移后的三角形DEF． 1 y O A C B x 1 y O A C B D F E x 　　解：先将三角形 ABC 向下平移 5 个单位长度； 　　再向左平移 6 个单位长度． 三角形 DEF 如图所示． 用坐标表示平移 点的平移 图形的平移 坐标方法的简单应用（第3课时） 　　一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点___________（或__________ ）；将点(x，y)向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点____________ （或____________ ）． (x，y－b) (x，y＋b) (x＋a，y) (x－a，y) 思考 　　如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别是 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． 3 5 2 4 3 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 －5 －4 x A C B 思考 　　（1）将三角形ABC 三个顶点的横坐标都减去 6，纵坐标不变，分别得到点 A1，B1，C1，依次连接 A1，B1，C1 各点，所得三角形A1B1C1 与三角形ABC 的大小、形状和位置有什么关系？ 3 5 2 4 3 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 －5 －4 A1(－2，3) 　　A(4，3) B1(－3，1) 　　B(3，1) C1(－5，2) 　　C(1，2) 　　分析：将三角形ABC 三个顶点的横坐标都减去 6，纵坐标不变，可得： x A C B B1 A1 C1 　　分析：将三角形ABC 三个顶点的横坐标都减去 6，纵坐标不变，可得： 3 5 2 4 3 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 －5 －4 　　三角形A1B1C1与三角形ABC 的大小、形状完全相同； 　　三角形A1B1C1 可以看作将三角形ABC 向左平移 6 个单位长度得到． x A C B B1 A1 C1 思考 　　（2）将三角形ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，分别得到点 A2，B2，C2，依次连接 A2，B2，C2 各点，所得三角形A2B2C2 与三角形ABC 的大小、形状和位置有什么关系？ 3 5 2 4 3 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 －5 －4 　　A(4，3) 　　B(3，1) 　　C(1，2) 　　分析：将三角形ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，可得： A2(4，－2) B2(3，－4) C2(1，－3) x A C B B2 A2 C2 3 5 2 4 3 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 －5 －4 　　分析：将三角形ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，可得： 　　三角形A2B2C2 与三角形ABC 的大小、形状完全相同； 　　三角形A2B2C2 可以看作将三角形ABC 向下平移 5 个单位长度得到． x A C B B2 A2 C2 归纳 　　一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移 a 个单位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形可以看作把原图形向上（或下）平移 a 个单位长度得到． 3 5 2 4 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 x 3 6 7 A C B P(a，b) P1(a－2，b＋4) 　　例　如图，在三角形ABC 中，任意一点 P(a，b)经平移后的对应点 P1(a－2，b＋4)，将 三角形ABC 作同样的平移得到 三角形A1B1C1．求 A1，B1，C1 的坐标． P(a，b) 3 5 2 4 －3 1 2 4 1 －1 －2 5 －2 －3 y －1 O －4 x 3 6 7 A C B P1(a－2，b＋4) 　　解：∵点 P(a，b)经平移后对应点 P1(a－2，b＋4)， 　　∴P 点向上平移 4 个单位长度，向左平移 2 个单位长度． 　　由图知 A(5，2)，B(－3，－2)，C(6，－4)， 　　∴A1，B1，C1 的坐标分别为 (3，6)，(－5，2)，(4，0)． 55 图形上点的坐标变化 图形的位置变化 横坐标 纵坐标 向右（或向左） 向上（或向下） 加（或减去）一个正数 a $