浙江温州2025-2026学年高三下学期数学自编模拟试卷（5）

2025-2026学年度高三模拟试卷（5） 数 学 考试范围：高考全部内容； 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 2．在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 7．如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，已知平面与平面垂直，且点，到平面的距离均为，则满足条件的平面的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 二、多选题 9．已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列中存在最小项 10．已知，，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（    ） A．直线的斜率为 B． C．的周长为12 D．，，三点共线 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 13．求值：___________． 14．定义域为R的函数，满足，则关于x的不等式的解集为______． 四、解答题 15．如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． (1)当时，求的长度； (2)求面积的最小值． 16．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 17．已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，， ，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面， 若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点和，且，求证：； (3)设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A C C A C D ABC BCD BCD 1．A 【详解】解不等式，得或，则或， 解不等式，即，得或，则或， 因此或，所以.故选：A 2．B 【详解】，则对应的点的坐标为，故.故选：B 3．A 【详解】由题意知，，则可知， 当时，，即充分性成立； 取，满足，，， 但是，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．C 【详解】对于①选项，设的前项和为，， 所以数据，，，…，的平均数是，故①选项正确： 对于②选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故②选项错误； 对于③选项，，，，…，的中位数是，，，，…，的中位数是， ，故③选项正确； 对于④选项，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，④选项正确． 5．C 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即，所以. 6．A 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为. 因为，所以， 的最小值为圆心到直线的 距离减去圆的半径2. ， .故选：A. 7．C 【详解】以点为球心，为半径作球，如图： 由，且，故两球相离，无交点， 将两球分别向平面作投影，如图： 点的投影为上靠近的四等分点，记为， 点的投影为上靠近的四等分点，记为， 已知，则， 两投影圆半径均为，半径之和为，故以为圆心的两圆外切， 易得应有三条公切线，如图，过这三条公切线只能作三个平面与平面垂直，所以此时对应三个平面满足条件. 8．D 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，， ，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且， 有且只有一个零点，故D正确. 9．ABC 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以 ，故C正确； 由C选项分析可得，所以， 所以 恒成立， 所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误． 10．BCD 【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为 ， 当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 11．BCD 【详解】对于A项，抛物线的焦点为，准线为， 设，，则，由抛物线的定义得到， 因为为等边三角形，则， 即，即 化简得到， 解得或（舍去），所以， 所以直线的斜率为，故A错误； 对于B，根据对称性，取直线的斜率为， 则直线方程为， 联立方程，得到， 解得（点）或（点） 由抛物线定义，，故B正确； 对于C项，由抛物线定义，所以等边的周长为，故C正确； 对于D项，根据对称性，取，则， 因为，， 所以且过原点O，故，，三点共线， 同理可得当时，，三点也共线，故D正确. 12． 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是．故答案为：． 13． 【详解】 . 14． 【详解】令，求导得， 又，所以，所以在R上单调递增. 由，得，所以，解得， 所以的解集为. 15．(1)，(2) 【详解】（1）因为，且，所以，易知，且，故， 所以 （2）因为，所以．又因为，所以． 故，，因此 而． 此时．故面积的最小值为 16．(1)，(2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布，则， ，， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 17．(1)证明见解析，(2)存在， 【详解】（1）设双曲线， 由题意得：解得故双曲线方程为.设，则 ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点. ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或） 联立方程组：消去得：. 由，即. 又，则，， 所以，即，解得. 所以直线，又，则. 联立方程组：消去得：，因为. 则上式化简为，恒成立. 设，，则，所以为AB的中点. （2）因为与相交，则切线的斜率存在， 由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得 所以，，则， . 所以. 故存在，使得恒成立. 18．(1)，(2)，(3)存在， ，理由见解析. 【详解】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， ，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，，则有， 令，则，， 则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 19．(1)极小值为，无极大值，(2)证明见解析，(3) 【详解】（1）的定义域为，， 当时，. 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取极小值，极小值为，无极大值. （2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，. 设，则. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，. 的大致图象如图所示， 可知函数的最低点为，， 直线的方程为，直线的方程为. 则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和， 设与直线和的交点的横坐标分别是和，. 解方程可得，，. 当时，， 所以函数的图象在线段的下方. 当时，. 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，其中，故函数的图象在线段的下方. 所以根据单调性，可得，，所以， 故. （3）由得，即， 所以，，两式相加，得； 两式相减，得，所以， 所以，即. 不妨令，记，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，所以. 又， 所以，即. 令，则时，，所以在上单调递增. 又， 所以，所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $