精品解析：湖北荆州市2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

荆州市2026届高三3月调研考试 数学试卷 2026.3 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，解得，则， 又， 所以. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 4. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，可判断D. 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，， 由于在上单调递增，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得， 当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性： 当时，令，当时，， 则时，，则； 时，，则； 即可知为奇函数，D正确. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 【答案】D 【解析】 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 6. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知M为的中点，而O是的中点， 所以，由于⊥，所以是线段的中垂线， 故，由双曲线的对称性知，所以， 故. 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 8. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列为等差数列即可求出. 【详解】过点， 则可作出的图象. 当n＝1时，作出的图象， 因为，故的图象与图象有3个交点； 注意到的周期为4，， n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A. 依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C. 随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【详解】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确. 记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则， 记事件表示抽到的学生是男生，， 所以，故C正确. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人， 则7人中有男生人，有女生人， 从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有， 所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为， 所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 10. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的正切值为2 D. 直线与平面所成角为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断CD. 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ，， 故不垂直，A错误； 设平面的法向量为，, 则，可取，而， ，故和平面不平行，B错误； ，，, 设异面直线与所成角为，则，， 则，C正确； 设平面的法向量为，,， 则，可取，而， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角为，D正确. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 13. 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 14. 在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到外切球的半径关系，求出的关系式，求出最小值. 【详解】如图，过棱作正方体的截面， 由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上. 设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于， 作于P，由∽，得， 解得，同理可得，对于任意，， 又由于＝1，所以，其表面积， 所以，注意到当时， ，此时， 且，故M的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 16. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求b. （2）若D点满足，，求a. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； 【小问2详解】 因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 17. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】（1） （2）96000元 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； 【小问2详解】 一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 18. “细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD. （1）设，求证：PO⊥平面； （2）是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由； （3）求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小. 【答案】（1）证明：由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以O为的中点 又由于，，所以，， 平面，，所以平面； （2）不存在，理由：假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高， 因为底面是菱形，则， 所以， 解得， 此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥； （3）500， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）假设存在符合条件的四棱锥，设其高，根据假设求出h的值，即可判断结论； （3）方法一：求出相关线段的长，根据棱锥体积公式可得四棱锥体积的表达式，结合基本不等式可求得最值；再根据二面角的定义可求解平面与平面所成二面角的大小.方法二：建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，利用体积公式以及基本不等式可求解最值问题，利用空间角的向量求解方法可求二面角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：过点P作直线，则l平面， 由于，所以，则l平面，所以平面平面， 作，垂足分别为E，F，则, 所以是平面与平面所成二面角或其补角 ，由于PO⊥平面， 平面，故，而O为的中点，则, 设，则， ， 由PO⊥平面，平面，故， 而平面，故平面， 平面，故， 所以 当且仅当时取等号， 故四棱锥体积的最大值为500（）， 此时平面与平面所成二面角为90° 方法二：过点O作平行线的垂线，垂足分别为F，E， 取的中点G，，由以上分析可知， 所以， 以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立坐标系， 设，，，， 由勾股定理知， ， 当且仅当时取“＝”，故所求最大值为500； 此时，，，，， ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可取； ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可得平面的一个法向量， 故，所以所求二面角为90°. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3）证明：由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 【解析】 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程， （2）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， （3）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证. 【小问1详解】 求导可得 则,， 所求切线方程为，即 【小问2详解】 求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市2026届高三3月调研考试 数学试卷 2026.3 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 6. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A. 依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C. 随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 10. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的正切值为2 D. 直线与平面所成角为 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则＝______. 13. 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 14. 在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 16. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求b. （2）若D点满足，，求a. 17. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 18. “细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD. （1）设，求证：PO⊥平面； （2）是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由； （3）求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $