第一章直角三角形的边角关系同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 2．如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 3．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）�是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（  ） A．6米 B．3米 C．3米 D．12米 5．如图，将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕，则（    ） A． B． C． D． 6．已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　） A． B． C．1 D． 7．计算的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为（    ） A．40° B．30° C．20° D．10° 9．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（     ） A． B． C． D． 10．的值等于（　　） A． B． C． D． 11．某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（   ）米. A． B． C． D． 12．在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 二、填空题 13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，设太阳光线与地面的夹角为，测得，，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 m． 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA= ． 15．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于 ． 16．如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么 ． 17．如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过 米． 三、解答题 18．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 19．一船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点处，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由．（参考数据：，，，） 20．用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 21．计算： 22．如图，在中，，于点D，，，设，求，，. 23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号） 24．如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处，用了10分钟，求山高（即AC的长度）及（即BC的长）（精确到0.01千米）． 《第一章直角三角形的边角关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B A C B C D D 题号 11 12 答案 B B 1．D 【详解】原式=2×－1=0. 故选D. 点睛：a0=1，a≠0. 2．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 4．B 【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6 m，坡度为1：2． ∴垂直高度为3m． 根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是=（m） 故选B． 【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度． 5．A 【分析】依题意，连接AC，则两条对角线交于点O，可得△ABO为直角三角形，进证得，又ABCD是菱形，所以可得； 【详解】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O， ∵ 点A沿EF折叠与点O重合，∴ EF垂直平分AO， ∵ ，，∴， ∴ EF是的中位线，∴ ， ∴，∴ ， ∵，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC平分，∴ ； 故选A； 【点睛】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，关键在利用特殊角的三角函数值进行求解； 6．C 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，利用同角的正弦的平方加它的余弦的平方等于1，即可求解． 【详解】解：A，B是两个锐角，且满足，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 7．B 【分析】本题可直接根据特殊角的三角函数值来求解的值．本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： 故选：B． 8．C 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵tan（α+10°）=1， ∴tan（α+10°）=， ∵α为锐角， ∴α+10°=30°，α=20°． 故选C． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 9．D 【详解】根据计算器求锐角的方法即可得结论． 【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF． 故选：D． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器． 10．D 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案. 【详解】解：cos60°＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键． 11．B 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 13． 【分析】作平行线，根据平行线分线段成比例定理可知，由与影子的比为，可得的长，同法由等角的正弦可得的长，从而得结论． 【详解】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴， 以点O为圆心的长为半径作圆，当与共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．/ 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=， ∴AB=， ∴cosA=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 15．1或2 【分析】设最小角为x，则最大角为x+45°，再分情况讨论：当顶角为x+45°时，由三角形内角和可求得x=45°，由此得到三角形为等腰直角三角形，从而求得三角形的面积；当顶角为x时，由三角形内角和定理可求得x=30°，再求得CD的长度，再从而求得三角形的面积． 【详解】设最小角为，则最大角为， ①当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为等腰直角三角形，则三角形的面积； ②当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为顶角为30度的等腰三角形， 如图所示：作于，则，， ， ， 三角形的面积； 综上所述，三角形的面积为：1或2． 故答案是：1或2． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用解直角三角形的方法求得三角形的边长． 16． 【分析】先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC=2，∠AED=90°， ∵∠A=45°, ∴∠ACD=45°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， ∴， ∴AB=， ∴tan∠BCD=， 故答案为：．　 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正切函数的定义是解题关键．　 17．BD的长为2. 4米． 【详解】如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A， ∵tanA=， ∴tan∠BCB′=， ∴设B′B=x米，则B′C=2.4x米， 在Rt△B′CB中，∵∠B′=90°， ∴B′B2+B′C2=BC2， 即：x2+（2.4x）2=2.62， 解得x=1（负值舍去）， ∴BD=B′C=2.4米． 故BD的长为2. 4米． 18．(1)点到旗杆的距离约为 (2)旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含直角三角形的性质； （1）过点作交于点，过点作交于点，利用，，可求出的长度，即可确定点到旗杆的距离； （2）利用，，可得，在中利用三角函数即可求出、、的长度，在中求出的长度，即可确定旗杆的高度； 【详解】（1）解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为． （2） 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为． 19．无触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．作于点，在中，由，变形得，再求解即可． 【详解】无危险． 作于点， 在中，， ， ， 轮船继续沿正东方向航行无触礁的危险． 20． 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读材料构造含的直角三角形，再作辅助线得角的直角三角形．构造，其中，延长到，使，连接，根据构造的直角三角形，设，用表示出，即可求出的值． 【详解】解：构造，其中，，延长到，使，连接， 则， ， 设则，， ， ， ． 21． 【分析】根据特殊三角函数值即可解题. 【详解】解: = 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值,属于简单题,熟悉三角函数值是解题关键. 22．，， 【分析】根据等角的余角相等，可得，再根据勾股定理求出AB的长，即可求解 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴. ∴. 在中，， ∴， ∴，，. ∴，，. 故答案为，， 【点睛】本题直角三角形中角的等量代换以及锐角三角函数的求法，要灵活应用 23．△ABC的周长是6+2 【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案． 【详解】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°， ∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴BC=2AB=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC= =2， ∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2． 答：△ABC的周长是6+2． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目． 24．1.44千米 【详解】试题分析：过D作DF⊥BC于F，先求得BD、AD的长，再在Rt△BFD中，根据正弦函数求得DF、BF的长，在Rt△ADE中，根据余弦函数求得DE、AE的长，即可求得结果. 过D作DF⊥BC于F 由已知得BD=5×=1(千米)，AD=3×=0.5(千米) 在Rt△BFD中，DF=BD·sin15°≈0.2588(千米) BF=BD·cos15°≈0.9659(千米) 在Rt△ADE中，DE=AD·cos20°≈0.4698(千米) AE=AD·sin20°≈0.1710(千米) 故AC=AE+EC=AE+DF=0.1710+0.2588=0.4298≈0.43(千米) BC=BF+CF=BF+DE=0.9659+0.4698=1.4357≈1.44(千米). 考点：解直角三角形的应用 点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注. 学科网（北京）股份有限公司 $