3.6 一次函数的应用之三角形面积问题（一）教学设计 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

教案 课题：一次函数的应用之三角形面积问题（一）——已知坐标或解析式求面积 教学目标，核心素养： 1. 通过探究点的坐标求线段长度的方法，引导学生理解并掌握不同类型（一线两轴型、两线一轴型、三线无轴型）三角形面积的求解方法，包括直接法、和差法、割补法、铅锤法等，感受多题同法、一题多法、多法归一，培养学生的数学几何直观、抽象能力及模型观念。 3. 通过小组讨论和例题练习，提升学生对一次函数与三角形面积知识综合运用的能力，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维和数学运算能力。 教学重点：根据一次函数解析式求交点坐标，进而求出三角形的底和高来计算面积；掌握不同类型三角形面积的求解策略。 教学难点：对于三线无轴型三角形，如何运用割补法将其转化为有边在坐标轴上的三角形来计算面积；理解并灵活运用铅锤法计算三角形面积。 课型：单元专题复习 教学方法：讲授法、讨论法、练习法相结合 教学过程： 一、课前热身 1. 以具体坐标点B(-2,1)、A(3,1)、C(3,-2)为例，引导学生思考如何计算线段AB、BC的长度。 2. 展示含有坐标点A(a,c)、B(b,c)、C(a,d)的坐标系，让学生计算并总结规律： AB = |xA - xB| = |a - b|， AC = |yA - yC| = |c - d|， 强调点的坐标与线段长度的转化关系。 二、多题同法 1. 类型一：一线两轴型 展示例1：直线交x轴、y轴于点A、B，请回答下面问题. 问题一：求直线l1与两条坐标轴围成的△AOB的面积 （1）写出各点坐标 A: B: . （2）△AOB面积为 . 分析：（1）引导学生求出A、B两点坐标： 令y = 0，解得x = 4，所以A(4,0)； 令x = 0，解得y = -1，所以B(0,-1) . （2）学生准确找出三角形的底和高，再根据三角形面积公式计算出S△AOB = 2。 总结方法：对于一线两轴型三角形，直接找出直线与坐标轴的交点坐标，以交点到原点的距离为底和高，利用面积公式求解。 2. 类型二：两线一轴型 呈现例2：直线 交x轴、y轴于点A、B，过点A作直线交y轴于点C. 问题二：求直线l1 、l2与y轴围成的△ABC的面积. （1）写出各点坐标 A: B: C： . (2)△ABC的面积为 . 分析：（1）让学生求出A、B、C三点坐标：A(4,0)，B(0,-1)，令x = 0，代入l2得y = 2，所以C(0,2)。 （2） 计算△ABC的面积： ∵BC = |2 - (-1)| = 3，OA = 4， ∴S△ABC =×BC×OA =×3×4 = 6. 归纳思路：先求出各直线与坐标轴交点坐标，确定三角形的底和高，再计算面积，关键在于准确找出底和高对应的线段长度。 3.小组讨论： 提出问题：如果三角形有一条边与坐标轴重合，求此类三角形面积的思路是什么？ 强调：利用坐标轴上的边作为底，另一点到该边所在直线（坐标轴）的距离作为高来计算面积。 变式： △ABC的面积为 、 . 小结1：如果三角形的边和高与坐标轴重合（或者平行），即有“横平竖直”的底和高，则直接求底和高的长，再用三角形的面积公式求解. 3、 一题多法  类型三：三线无轴型 讲解例3：直线 ，， 直线 ，直线 ， l1、l2交x轴于点A，l2、l3交y轴 于点C，l1、l3交于点P. 求△ACP的面积. 分析：引导学生求A、C、P三点坐标： 令y = 0，对于l1得x = 4，所以A(4,0)； 令x = 0，对于l2得y = 2，所以C(0,2)； 联立l1与l3的方程，解得P(-4,-2). 然后学生讨论用三种方法求三角形的面积. 割 补 总结规律：三线无轴型三角形，常用割补法转化为有边在坐标轴上的三角形面积之和或差来求解。 四、 多法归一 展示例4：直线l1、l2交于点B(3,-1)，直线l1上的点P坐标为(-1,-2)，直线l2上的点C坐标为(-1,1) 。 (1)三角形BCP的面积为： . (2) 过点C作直线l3，交直线l1 于点D,则点D的坐标是 ， 三角形CDP的面积为： . . (3)三角形CDB的面积为： . 介绍铅锤法： =(yC-yP)(xB-xD) 即： 四、课堂小结 活动设计 学生计算并总结，教师板书与x轴或与y轴平行的线段的长计算公式。 学生独立完成（1）（2），口述方法，其余学生订正纠错。 活动设计 学生独立完成例2，并口述过程。 教师组织学生小组讨论，鼓励学生结合前面的例题进行总结。讨论结束后，请小组代表发言，教师进行补充和完善， 学生先独立完成，再小组交流，请学生汇报解决方案. 学生小组汇报，总结割补法求此类三角形面积的方法. 学生分析完成（1）、（2）、（3），教师总结并介绍 铅锤法求三角形面积的方法，教师板书。 强调水平宽是指三角形在水平方向上的跨度，铅锤高是指对应顶点在垂直方向上的距离。 二次 备课 二次 备课 作 业 布 置 1、（必做）已知,如图直线 向上平移3个单位长度， 与x 轴交于C点，与直线 y=x+2 于点D， (1)你能求出四边形 OCDB的面积吗? (2)你能用几种方法求三角形BDC的面积？ 2.（选做）如图，一次函数 的图象与两坐标轴交于A,B两点.直线 经C（-4，2），两直线交于点D（-2，-2）,连接BC，求△BCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $