3.6 一次函数的应用之三角形面积问题（一）教学设计 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

教学目标，核心素养：

1. 通过探究点的坐标求线段长度的方法，引导学生理解并掌握不同类型（一线两轴型、两线一轴型、三线无轴型）三角形面积的求解方法，包括直接法、和差法、割补法、铅锤法等，感受多题同法、一题多法、多法归一，培养学生的数学几何直观、抽象能力及模型观念。

3. 通过小组讨论和例题练习，提升学生对一次函数与三角形面积知识综合运用的能力，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维和数学运算能力。

教学重点：根据一次函数解析式求交点坐标，进而求出三角形的底和高来计算面积；掌握不同类型三角形面积的求解策略。

教学难点：对于三线无轴型三角形，如何运用割补法将其转化为有边在坐标轴上的三角形来计算面积；理解并灵活运用铅锤法计算三角形面积。

课型：单元专题复习

教学方法：讲授法、讨论法、练习法相结合

教学过程：

一、课前热身

1. 以具体坐标点B(-2,1)、A(3,1)、C(3,-2)为例，引导学生思考如何计算线段AB、BC的长度。
2. 展示含有坐标点A(a,c)、B(b,c)、C(a,d)的坐标系，让学生计算并总结规律：

AB = |xA - xB| = |a - b|，

AC = |yA - yC| = |c - d|，

强调点的坐标与线段长度的转化关系。  

二、多题同法  

1. 类型一：一线两轴型

展示例1：直线交x轴、y轴于点A、B，请回答下面问题.

问题一：求直线l1与两条坐标轴围成的△AOB的面积

（1）写出各点坐标

  A:          B:        .

（2）△AOB面积为           .

分析：（1）引导学生求出A、B两点坐标：

令y = 0，解得x = 4，所以A(4,0)；

令x = 0，解得y = -1，所以B(0,-1) .

（2）学生准确找出三角形的底和高，再根据三角形面积公式计算出S△AOB = 2。

总结方法：对于一线两轴型三角形，直接找出直线与坐标轴的交点坐标，以交点到原点的距离为底和高，利用面积公式求解。

活动设计

学生计算并总结，教师板书与x轴或与y轴平行的线段的长计算公式。

学生独立完成（1）（2），口述方法，其余学生订正纠错。

活动设计

二次

备课

二次

备课

2. 类型二：两线一轴型

呈现例2：直线                交x轴、y轴于点A、B，过点A作直线交y轴于点C.

问题二：求直线l1 、l2与y轴围成的△ABC的面积.

（1）写出各点坐标

     A:      B:      C：      .

 (2)△ABC的面积为             .

分析：（1）让学生求出A、B、C三点坐标：A(4,0)，B(0,-1)，令x = 0，代入l2得y = 2，所以C(0,2)。

（2）计算△ABC的面积：

∵BC = |2 - (-1)| = 3，OA = 4，

∴S△ABC =×BC×OA =×3×4 = 6.

归纳思路：先求出各直线与坐标轴交点坐标，确定三角形的底和高，再计算面积，关键在于准确找出底和高对应的线段长度。

3.小组讨论：

提出问题：如果三角形有一条边与坐标轴重合，求此类三角形面积的思路是什么？

强调：利用坐标轴上的边作为底，另一点到该边所在直线（坐标轴）的距离作为高来计算面积。

变式：

△ABC的面积为                 、            .

小结1：如果三角形的边和高与坐标轴重合（或者平行），即有“横平竖直”的底和高，则直接求底和高的长，再用三角形的面积公式求解.

三、一题多法

 类型三：三线无轴型

讲解例3：直线        ，，

直线           ，直线         ，

l1、l2交x轴于点A，l2、l3交y轴

于点C，l1、l3交于点P.

求△ACP的面积.

分析：引导学生求A、C、P三点坐标：

令y = 0，对于l1得x = 4，所以A(4,0)；

学生独立完成例2，并口述过程。

教师组织学生小组讨论，鼓励学生结合前面的例题进行总结。讨论结束后，请小组代表发言，教师进行补充和完善，

学生先独立完成，再小组交流，请学生汇报解决方案.