精品解析：2026年甘肃武威市凉州区武威十二中、中坝中学一模数学试题

2026年中考一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 选项D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 2. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是 ． 3. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 4. 一元二次方程的两根为、，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由根与系数的关系可求得，，再对所求分式通分后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 一元二次方程的两根为、， ，， ． 5. 如图，是直径，是弦且，垂足为 ．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理的运用，解题的关键是根据题意，求出，根据垂径定理，则，，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ） A. 10 B. 0.3 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、两点，若的面积等于，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点 ，交于点 ，作轴于点，设点的坐标为，则 ，．容易证明四边形是矩形，则，由等腰三角形的性质可得，因此点的坐标为．容易证明四边形是矩形，则，从而得到，结合的面积等于，求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点 ，交于点 ，作轴于点，设点的坐标为， ∵，轴于点 ， ∴ ，， ， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 ． 8. 如图， 与 相交于点 ，点在线段上，且，若 ， ， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求出 ，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵ ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴． 9. 如图，在直角三角形中， ，点D为 的中点，连接 ，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 的长，利用勾股定理求出的长，求出的余弦值，进而可求出的长． 【详解】解：∵在直角三角形中， ，点D为 的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：① ；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得 的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把 ，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由 可得，再计算 的值，可判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴ ，故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把 ，代入得：， ∴， 解得或， ∴当，则或，故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴ ， ∴， ∴，故④错误． 故选：C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式完成因式分解． 【详解】解： 12. 一元二次方程 有两个不等实根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于． 【详解】解：因为 是一元二次方程， 所以 ． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以方程根的判别式 ，即 解得 . 所以的取值范围为且 ． 13. 已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标为． 14. 如图， 为 直径， 为 的一条弦，于E，连接 ，．，则的大小为 _______ °． 【答案】70 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 【答案】16 【解析】 【详解】解：如图，作，垂足为H． ∵， ∴． 设A，则根据反比例函数的对称性得到 B， ∴ ∴ 16. 如图，在矩形中，为 的中点，连接，过点作，与 的延长线交于点， 平分，且点在边上，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解： 四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为 的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ， 平分， ， ， ，即， 解得， ． 17. 如图，在中，，点D为中点，连接 ，过点D作交 于点E，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作 于点F，构造，利用相似三角形的性质和已知线段比例关系，设、，则、，再分别在和中利用勾股定理建立方程，求出线段之间的数量关系，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点E作 于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设、，则、， 点D为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 、 ， ， 在中， ． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有________个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，分别确定对应位置最小的小立方块数量即可得到答案． 【详解】解：根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，从左边数第一列其中一行必须有2个小正方形，剩下的两行最少有1个小正方形，中间一列只有中下两层有小正方形，且其中一行必须有2个小正方形，另外一行最少有1个小正方形，第三列下面一层有1个小正方形， ∴这个几何体的小立方块至少有个， 故答案为：9． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）若与关于原点O中心对称，请画出； （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）． 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）如图所示，即为所求，， 点A旋转时走过的路程为 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到的坐标，然后描点连线即可； （2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A、B、C的对应点，然后利用扇形弧长公式进行计算点A旋转时走过的路程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵线段， ∴点A旋转时走过的路程为：． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入特殊角的三角函数值计算，再代入求解即可． 【详解】解： , ∴原式. 21. 已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率是 【解析】 【分析】设该商品每次降价的百分率为x，利用原价每次降价的百分率该商品经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为．由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率是 ． 22. 如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到 ，点C在 上，连接交边 于点G． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：延长 到H，使得， ∵， 则， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）设 ，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （2）延长 到H，使得，则，想办法证明即可解决问题． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知 ， 设 ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图， 为 的直径，的边，分别与 交于D，E，若 ． （1）求证： ； （2）若 ，，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接、 ， ∵E为的中点 ∴， ∴ ，， ∵是直径所对的圆周角， ∴， 即 ， ∴ 在 和 中 ， ∴ ∴ ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、 ，由E为的中点可得， ，，再由直径所对的圆周角为直角可知 ，故可证，即可得出结论； （2）设半径为r，则可得，则，在中运用勾股定理求解，在中运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， 设半径为r，则， ∵ ∴， ∵ ， ∴ 在中 ∴ 解得：． 24. 如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是x轴上一点，若的面积是 面积的6倍，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）点或点 【解析】 【分析】（1）先求出，得到，则，进而推导出反比例函数的解析式为，得到当时，；当时，，再根据，得到，求出m的值，即可解答； （2）先求出，点，得到，推导出，得到，解得或，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 当时， ， ∴； 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去，此时点与点 重合）， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D， ∴点，点， ∴， ∴， ∵点是x轴上一点， ∴． ∵的面积是 面积的6倍， ∴， 解得或， ∴点或点． 25. 如图，已知中，以为直径的 交于点 ， ． （1）求证：为 的切线； （2）若 为中点， ，，求的长． 【答案】（1） 解：证明如下： ∵是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ， ∵是半径， ∴为 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得 ，推出 ，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则 ，等量代换，即可； （2）连接，直径所对的圆周角是直角， ，据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则 ，根据，求出直径，再根据等腰三角形的判定，，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵ 为中点， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴． 26. 为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、 《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； （2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）先根据种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出种类的人数，据此可补全图形，最后用乘以种类人数所占比例； （2）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率． 【小问1详解】 解：∵被调查的总人数为： （人）， ∴种类的人数为： （人）， 补全图形略 ∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女1女2 女1女3 女1男 女2 女2女1 女2女3 女2男 女3 女3女1 女3女2 女3男 男 男女1 男女2 男女3 由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种， ∴抽到一男一女的概率为：． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； （3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为 ； （2）过P作 轴于D，交于Q，过P作 于H，由 可得，故 ，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：过P作 轴于D，交于Q，过P作 于H，如图所示： 在 中，令得： ， 解得：或， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为 ，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 抛物线 对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 3. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根为、，则的值为（     ） A. B. C. D. 5. 如图，是直径，是弦且，垂足为．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ） A. 10 B. 0.3 C. 3 D. 7 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、 两点，若的面积等于，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，与相交于点，点在线段上，且，若 ， ， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角三角形中， ，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：① ；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 12. 一元二次方程 有两个不等实根，则的取值范围是______． 13. 已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为_______． 14. 如图，为直径，为的一条弦，于E，连接 ，．，则的大小为 _______ °． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 16. 如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点， 平分，且点在边上，则 的长为______． 17. 如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为_________． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有________个． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）若与关于原点O中心对称，请画出； （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 21. 已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 22. 如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G． （1）若，，求的长； （2）求证：． 23. 如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若 ． （1）求证： ； （2）若 ，，求的半径． 24. 如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是x轴上一点，若的面积是 面积的6倍，求点P的坐标． 25. 如图，已知中，以为直径的交于点， ． （1）求证：为的切线； （2）若为中点， ，，求的长． 26. 为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、 《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； （2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？ 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； （3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $