3.2 中位数与众数讲义（知识梳理+2题型突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

3.2 中位数与众数 讲义 知识梳理 （一）中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数。 ①若数据的个数是奇数，则处于中间位置的单个数据为中位数； ②若数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数为中位数。 特点： ①优点：不受个别偏大或偏小极端值的影响，当一组数据中个别数据变动较大时，中位数能更稳定地描述数据的集中趋势； ②缺点：仅与数据的排列位置有关，不能充分利用所有数据的信息。 核心步骤：排序→找中间位置→确定中位数。 （二）众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 特点： ①优点：考察数据的频数分布，大小只与部分数据有关，当某些数据多次重复出现时，众数能直观反映数据的“多数水平”； ②缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，众数没有特殊意义；一组数据的众数可能不止一个（如数据2,2,3,3,4的众数是2和3），也可能没有（如数据1,2,3,4,5无众数）。 核心步骤：统计各数据出现的频数→找出频数最多的数据。 （三）中位数与众数的区别与联系 统计量 中位数 众数 确定方式 排序后找中间位置（或中间两数平均） 统计频数，找出现次数最多的数据 受极端值影响 不受 不受 数据利用程度 仅利用中间位置数据 仅利用高频数据 唯一性 唯一 可能多个或无 适用场景 数据有极端值，需描述“中等水平” 数据有重复出现，需描述“多数水平” 技巧总结归纳 中位数求解“三注意”： 注意1：必须先将数据按从小到大（或从大到小）排序，未排序直接找中间数会出错； 注意2：数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，需计算后得出结果； 注意3：分组数据（如频数分布表）的中位数，需先确定中位数所在组，再结合组距估算（拓展内容）。 众数求解“两关键”： 关键1：统计频数时需逐个核对数据，避免漏数或多数； 关键2：若多个数据出现次数相同且均为最多，则这些数据都是众数，不可遗漏。 实际问题选择技巧： 描述“中等水平”（如成绩、工资的中间水平）优先用中位数； 描述“多数情况”（如销量最高的商品、最受欢迎的尺码）优先用众数； 数据有极端值时，中位数比平均数更具代表性；数据重复率高时，众数比中位数更直观。 典例精讲 题型1 求一组数据的中位数 典例1在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下：85,88,85,79,77,81。则这组数据的中位数为 . 【答案】83 【解析】按照中位数求解步骤： 排序：将数据从小到大排列为77,79,81,85,85,88； 确定中间位置：数据个数为6（偶数），中间位置是第3个和第4个数据； 计算中位数：中间两个数为81和85，中位数为 。 变式1已知一组数据1,2,3,4,5，则这组数据的中位数为 . 【答案】3 【解析】排序：数据已从小到大排列为1,2,3,4,5； 确定中间位置：数据个数为5（奇数），中间位置是第3个数据； 确定中位数：第3个数据为3，故中位数为3。 【易错提醒】未排序直接找中间数是求中位数的常见错误，如典例1若不排序，直接取第3和第4个数据85和79，会得出错误结果72，务必先排序再计算。 题型2 求一组数据的众数 典例2在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下：85,88,85,79,77,81。则这组数据的众数为 . 【答案】85 【解析】统计频数：77出现1次，79出现1次，81出现1次，85出现2次，88出现1次； 确定众数：85出现的次数最多（2次），故众数为85。 变式22025年1月西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织同学捐款，依据捐款情况绘制的扇形统计图如图。则捐款的众数为 元. 【答案】100 【解析】分析“频数”：扇形统计图中，各金额的占比反映了对应金额的捐款人数比例，占比越高，捐款人数越多（即频数越大）； 确定众数：100元所占百分比为40%，是所有金额中占比最大的，故众数为100元。 【技巧点拨】众数的核心是“出现次数最多”，当数据以统计图表（如扇形图、条形图）形式呈现时，无需逐个统计，可通过“占比最高”“条形最高”直接确定众数。 题型3 中位数与众数的综合求解 典例3某中学对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查，得到一组数据，绘制的统计图中从左到右各长方形的高度之比为3:4:5:8:6，已知平均一周用出零花钱是25元和30元的学生一共42人。求这组数据的众数和中位数分别为 、 。 【答案】25， 25 【解析】求各组人数：设每份人数为，则零花钱10元（3份）、15元（4份）、20元（5份）、25元（8份）、30元（6份）的人数分别为； 列方程求：由25元和30元的学生共42人，得，解得； 确定各组实际人数：10元9人，15元12人，20元15人，25元24人，30元18人，总人数78人； 求众数：25元出现24次，次数最多，故众数为25； 求中位数：总人数78人（偶数），中间位置是第39和第40个数据，前3组总人数人，第4组（25元）从第37人到第60人，故第39和第40个数据均为25，中位数为25。 变式3某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（　　） 读书时间 6小时及以下 7小时 8小时 9小时 10小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7 【答案】A 【分析】根据中位数、众数的意义即可求出答案． 【解析】学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7； 将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8， 故选：A． 【易错提醒】并非所有数据都有唯一众数，当所有数据出现次数相同时，所有数据都是众数；当有多个数据出现次数相同且最多时，这些数据都是众数，不可只选一个。 题型4 中位数与众数的实际应用 典例4在一次招聘会上，某公司的李经理说：“我们公司的工资一半人在6000元以上。”李经理是从哪个统计量角度描述的？（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】选项A：平均数反映平均水平，无法体现“一半人在某个数值以上”； 选项B：中位数将数据分为两部分，一半数据比中位数大，一半比中位数小，“一半人工资在6000元以上”说明6000元是中位数，符合题意； 选项C：方差衡量数据波动，与描述无关； 选项D：众数是出现次数最多的工资，与“一半人以上”无关。 变式4万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况：35码6双，36码4双，37码10双，38码14双，39码8双，40码6双。若每双鞋的利润相同，专卖店老板最关心的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】老板关心的是“销量最高的鞋码”，以便确定进货数量； 众数是出现次数最多的数据，38码销量14双，是众数，符合老板需求，故选C。 【技巧点拨】实际问题中，若关注“中间水平”（如工资、成绩的中等标准）选中位数；若关注“多数情况”（如销量、受欢迎程度）选众数，需结合问题核心需求判断。 题型5 中位数与众数与其他的综合 典例5已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（　　） A．a， B．a， C．a， D．a， 【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可． 【解析】由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）5aa； 将这组数据按从小到大排列为0，a5，a4，a3，a2，a1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数． ∴其中位数为． 故选：C． 变式5 4月7日是世界卫生日．某校在七、八年级共1000名学生中开展“爱国卫生”知识竞赛，从七、八年级学生中随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，80分及以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 成绩（分） 40 50 60 70 80 90 100 抽取的七年级人数（人） 1 2 1 7 5 3 1 抽取的八年级人数（人） 2 0 4 4 6 2 2 学校对平均数、中位数、众数、优秀率进行分析，绘制成如下统计表． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 73 a 70 45% 八年级 73 b c d 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c，d的值． （2）请你从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，评价哪个年级的学生在知识竞赛中表现更加优异． 【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的意义求解即可； （2）从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，得出答案． 【解析】（1）将七年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是70分，因此中位数是70分，即a＝70， 将八年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为75，因此中位数是75分，即b＝75， 八年级20名学生成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，因此众数是80分，即c＝80， 八年级的优秀率为100%＝50%，即d＝50%， 答：a＝70，b＝75，c＝80，d＝50%； （2）七、八年级竞赛成绩的平均数相同，八年级学生竞赛成绩的中位数、众数、优秀率高于七年级，因此，八年级学生在知识竞赛中表现更加优异． 重难题型拓展（含参数的中位数与众数问题） 典例6一组数据2,1,2,x,3中，唯一的众数是x，求这组数据的中位数和方差。 【解析】求x的值：已知数据2出现2次，1和3各出现1次，唯一众数是x，故x必须是出现次数最多的数，因此x=2（此时2出现3次，成为唯一众数）； 确定数据：数据变为2,1,2,2,3； 求中位数：排序后为1,2,2,2,3，数据个数5（奇数），中间位置第3个数据为2，故中位数为2； 求方差：先求平均数：； 再代入方差公式：。 【技巧点拨】含参数的中位数与众数问题，需先根据“众数的唯一性”“数据的合理性”确定参数值，再按常规步骤求中位数、方差等统计量，参数的确定是解题关键。 变式6已知一组数据1，x，5，y，8，10的平均数是6，众数是5，则这组数据的中位数是　6　． 【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y＝12，即可得出结论． 【解析】∵一组数据1，x，5，y，8，10的众数为5， ∴x，y中至少有一个是5， ∵一组数据1，x，5，y，8，10的平均数是6， ∴（1+x+5+y+8+10）＝6， ∴x+y＝12， ∴x，y中一个是5，另一个是7， ∴这组数为1，5，5，7，8，10， ∴这组数据的中位数是6． 故答案为：6． 课堂小结 ①中位数的核心是“排序后找中间位置”，不受极端值影响，适用于描述“中等水平”； ②众数的核心是“找出现次数最多的数据”，可能多个或无，适用于描述“多数水平”； ③解题关键：求中位数先排序，求众数先统计频数； ④实际应用：根据问题需求选择合适的统计量，数据有极端值选中位数，数据重复率高选众数。 题型一．中位数 1．（2025春•北仑区校级期中）若一组数据2，4，5，1，2的中位数为a，则a＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：先把原数据按从小到大排列：1，2，2，4，5，正中间的数是2， 所以这组数据的中位数a的值是2． 故选：B． 2．（2025春•瑞安市期中）已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（　　） A．34，35 B．34，34 C．35，34 D．35，35 【答案】A 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可计算出这组数据的平均数和中位数． 【解答】解：数据：35，33，31，35，36按照从小到大排列是：31，33，35，35，36， 这组数据的平均数是：（35+33+31+35+36）170＝34， 中位数是：35， 故选：A． 3．（2025春•鹿城区校级期中）某校举办“十佳歌手”比赛，有八位评委为选手打分，其中甲选手的7个分数分别是92，90，89，88，93，90，91，则甲选手成绩的中位数是（　　） A．89分 B．90分 C．91分 D．92分 【答案】B 【分析】利用中位数的定义求解即可． 【解答】解：从小到大排列：88，89，90，90，91，92，93， 故甲选手成绩的中位数是90分． 故选：B． 4．（2025•瑞安市开学）小敏6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为（　　） A．4.5环 B．6环 C．7.5环 D．8环 【答案】C 【分析】由图可知小丽6次射击的成绩，将这组数据从小到大排列，数据个数为6是偶数，需取中间两个数的平均数作为中位数，计算即可解答． 【解答】解：由图可知小丽6次射击的成绩分别为4环、5环、7环、8环、9环、10环， 将这组数据从小到大排列为4，5，7，8，9，10， ∵数据个数6是偶数， ∴中位数是中间两个数7和8的平均数， ∴她的射击成绩的中位数为（7+8）÷2＝7.5（环）， 故选：C． 5．（2025春•温州校级月考）低碳出行已深入人心，嘉嘉某周连续5天使用交通工具碳排放量（单位：kg）数据统计如图所示，则这5天碳排放量的中位数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据中位数的意义和计算方法求出结果即可． 【解答】解：根据题意可得嘉嘉某周连续5天使用交通工具碳排放量为2，3，4，5，6， 故中位数为4， 故选：B． 6．（2025春•拱墅区校级期中）两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组数据的中位数为（　　） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先根据两组平均数可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组可得m，n的值；利用字母的值可得两组数据，把两组数据连成一组，按照从小到大的顺序排列，利用中位数的概念可得结论． 【解答】解：∵两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6， ∴， 解得， 若将这两组数据合并为一组数据， 按从小到大的顺序排列为1，4，6，7，8，8，8，一共7个数， 第四个数是7，则这组数据的中位数是7． 故选：D． 7．（2025•乐清市校级模拟）某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为x个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答． 【解答】解：当0≤x≤6时， 由题意可得， 解得x＝﹣1（舍去）； 当6＜x≤8时， 由题意可得， 解得x＝9.5（舍去）； 当8＜x≤10时， 由题意可得， 解得x＝9.5（x为整数，故舍去）； 当10＜x≤13时， 由题意可得， 解得x＝11； 当13＜x时， 由题意可得， 解得x＝11（舍去）； 故选：D． 8．（2025•景宁县二模）某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是　29　 ． 【答案】29． 【分析】将数据从小到大排序后，找出中间位置的数即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为18，27，29，30，30， ∴中位数为29， 故答案为：29． 9．（2025春•西湖区期末）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　8.5　 环． 【答案】8.5． 【分析】利用中位数的定义解答． 【解答】解：把射击运动员的10次射击训练成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10， ∴10次成绩的中位数为：8.5（环）， 故答案为：8.5． 10．（2025春•西湖区校级月考）有一列数2，3，4，4，6，若增加一个整数m后，中位数仍不变，则m的值可以是　4　 （写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一）． 【分析】根据中位数的意义求解即可． 【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4， ∵增加一个数m后，这列数的中位数仍不变， 则这组数据从小到大排列为：2，3，4，m，4，6或2，3，4，4，m，6 ∴m的值等于4或大于4， ∴m≥4． ∴m的值可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 11．（2026•浙江模拟）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表． 第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表 竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10 人数（人） 2 1 13 16 18 请根据以上信息，回答下列问题： （1）两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？ （2）求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分． 【分析】（1）根据中位数的定义判断即可； （2）根据平均数的定义求解． 【解答】解：（1）第一次的中位数是10，第二次的中位数是9； （2）平均分8.7（分）． 题型二．众数 1．（2025•丽水一模）一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．85，95 B．85，90 C．90，95 D．90，90 【答案】D 【分析】中位数需将数据排序后取中间值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列：80，85，85，90，90，90，95． ∴中位数为第4个数，即90． 90出现3次，次数最多，众数为90． 故选：D． 2．（2025•义乌市二模）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 【答案】C 【分析】根据的众数和中位数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：∵捐款80元的有12人，人数最多， ∴众数是80元， ∵九年级共有学生：5+12+10+6+1＝34（人）， 所以第17，18个数据为：80，100， ∴中位数：（80+100）÷2＝90， 故选：C． 3．（2025春•南湖区校级期中）有两位同学正在讨论他们班的视力情况，王同学：“我们班有一半的同学视力在5.0以上，一半的同学不到5.0”，李同学：“我们班大部分的同学视力都是4.9”，上面两位同学所说的话分别针对（　　） A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、平均数 D．平均数、中位数 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义进行判断即可． 【解答】解：王同学说的话以5.0为中间的标准，指的是中位数； 李同学说的话是指大部分同学的视力，指的是众数， 故选：B． 4．（2025•大理州一模）在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（　　） A．98，97 B．98，96 C．96，98 D．96，97 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【解答】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从小到大排列，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 5．（2025春•临平区月考）如图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（　　） A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15 【答案】C 【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数． 【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃； 共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，17，第4个数为14， 故中位数为14℃． 故选：C． 6．（2025春•北仑区期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】先根据这组数据有唯一的众数得出两种可能，再根据中位数的定义得出答案． 【解答】解：因为这组数据有唯一的众数， 所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10， 中位数都是9． 故选：B． 7．（2025春•鄞州区期末）某线上自习室统计了9名学生自主设置的“专注模式”时长数据（单位：分钟）：30，40，40，55，40，40，95，40，25．若平台想推荐默认时长，那么最合适的方式是（　　） A．把众数40分钟作为默认时长 B．把最少时间25分钟作为默认时长 C．把平均数45分钟作为默认时长 D．把最长时间95分钟作为默认时长 【答案】A 【分析】确定该组数据的众数及中位数即可确定正确的选项． 【解答】解：数据：30，40，40，55，40，40，95，40，25的众数和中位数均为40分钟且数据中有极端数据， ∴应该吧众数40分钟作为默认时长， 故选：A． 8．（2025•鄞州区校级模拟）小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8 【答案】D 【分析】先求出原数据的中位数和众数，分析即可得到应去掉的两个数． 【解答】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7， ∴去掉的两个数可能是是6，8或6，9或6，10，不能去掉的数是4和7， 故选：D． 9．（2025春•宁波期中）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为 　4.5　 ． 【答案】4.5 【分析】先根据众数的定义得出x的值，再根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：∵数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数为4， ∴x＝4， 将这组数据重新排列为3、4、4、4、5、5、7、9， ∴这组数据的中位数是4.5． 故答案为：4.5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 中位数与众数 讲义 知识梳理 （一）中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数。 ①若数据的个数是奇数，则处于中间位置的单个数据为中位数； ②若数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数为中位数。 特点： ①优点：不受个别偏大或偏小极端值的影响，当一组数据中个别数据变动较大时，中位数能更稳定地描述数据的集中趋势； ②缺点：仅与数据的排列位置有关，不能充分利用所有数据的信息。 核心步骤：排序→找中间位置→确定中位数。 （二）众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 特点： ①优点：考察数据的频数分布，大小只与部分数据有关，当某些数据多次重复出现时，众数能直观反映数据的“多数水平”； ②缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，众数没有特殊意义；一组数据的众数可能不止一个（如数据2,2,3,3,4的众数是2和3），也可能没有（如数据1,2,3,4,5无众数）。 核心步骤：统计各数据出现的频数→找出频数最多的数据。 （三）中位数与众数的区别与联系 统计量 中位数 众数 确定方式 排序后找中间位置（或中间两数平均） 统计频数，找出现次数最多的数据 受极端值影响 不受 不受 数据利用程度 仅利用中间位置数据 仅利用高频数据 唯一性 唯一 可能多个或无 适用场景 数据有极端值，需描述“中等水平” 数据有重复出现，需描述“多数水平” 技巧总结归纳 中位数求解“三注意”： 注意1：必须先将数据按从小到大（或从大到小）排序，未排序直接找中间数会出错； 注意2：数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，需计算后得出结果； 注意3：分组数据（如频数分布表）的中位数，需先确定中位数所在组，再结合组距估算（拓展内容）。 众数求解“两关键”： 关键1：统计频数时需逐个核对数据，避免漏数或多数； 关键2：若多个数据出现次数相同且均为最多，则这些数据都是众数，不可遗漏。 实际问题选择技巧： 描述“中等水平”（如成绩、工资的中间水平）优先用中位数； 描述“多数情况”（如销量最高的商品、最受欢迎的尺码）优先用众数； 数据有极端值时，中位数比平均数更具代表性；数据重复率高时，众数比中位数更直观。 典例精讲 题型1 求一组数据的中位数 典例1在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下：85,88,85,79,77,81。则这组数据的中位数为 . 变式1已知一组数据1,2,3,4,5，则这组数据的中位数为 . 题型2 求一组数据的众数 典例2在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下：85,88,85,79,77,81。则这组数据的众数为 . 变式2 2025年1月西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织同学捐款，依据捐款情况绘制的扇形统计图如图。则捐款的众数为 元. 题型3 中位数与众数的综合求解 典例3某中学对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查，得到一组数据，绘制的统计图中从左到右各长方形的高度之比为3:4:5:8:6，已知平均一周用出零花钱是25元和30元的学生一共42人。求这组数据的众数和中位数分别为 、 。 变式3某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（　　） 读书时间 6小时及以下 7小时 8小时 9小时 10小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7 题型4 中位数与众数的实际应用 典例4在一次招聘会上，某公司的李经理说：“我们公司的工资一半人在6000元以上。”李经理是从哪个统计量角度描述的？（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 变式4万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况：35码6双，36码4双，37码10双，38码14双，39码8双，40码6双。若每双鞋的利润相同，专卖店老板最关心的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 题型5 中位数与众数与其他的综合 典例5已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（　　） A．a， B．a， C．a， D．a， 变式5 4月7日是世界卫生日．某校在七、八年级共1000名学生中开展“爱国卫生”知识竞赛，从七、八年级学生中随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，80分及以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 成绩（分） 40 50 60 70 80 90 100 抽取的七年级人数（人） 1 2 1 7 5 3 1 抽取的八年级人数（人） 2 0 4 4 6 2 2 学校对平均数、中位数、众数、优秀率进行分析，绘制成如下统计表． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 73 a 70 45% 八年级 73 b c d 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c，d的值． （2）请你从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，评价哪个年级的学生在知识竞赛中表现更加优异． 重难题型拓展（含参数的中位数与众数问题） 典例6一组数据2,1,2,x,3中，唯一的众数是x，求这组数据的中位数和方差。 变式6已知一组数据1，x，5，y，8，10的平均数是6，众数是5，则这组数据的中位数是　 　． 课堂小结 ①中位数的核心是“排序后找中间位置”，不受极端值影响，适用于描述“中等水平”； ②众数的核心是“找出现次数最多的数据”，可能多个或无，适用于描述“多数水平”； ③解题关键：求中位数先排序，求众数先统计频数； ④实际应用：根据问题需求选择合适的统计量，数据有极端值选中位数，数据重复率高选众数。 题型一．中位数 1．（2025春•北仑区校级期中）若一组数据2，4，5，1，2的中位数为a，则a＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2025春•瑞安市期中）已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（　　） A．34，35 B．34，34 C．35，34 D．35，35 3．（2025春•鹿城区校级期中）某校举办“十佳歌手”比赛，有八位评委为选手打分，其中甲选手的7个分数分别是92，90，89，88，93，90，91，则甲选手成绩的中位数是（　　） A．89分 B．90分 C．91分 D．92分 4．（2025•瑞安市开学）小敏6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为（　　） A．4.5环 B．6环 C．7.5环 D．8环 5．（2025春•温州校级月考）低碳出行已深入人心，嘉嘉某周连续5天使用交通工具碳排放量（单位：kg）数据统计如图所示，则这5天碳排放量的中位数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025春•拱墅区校级期中）两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组数据的中位数为（　　） A．1 B．4 C．6 D．7 7．（2025•乐清市校级模拟）某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为x个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．11 8．（2025•景宁县二模）某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是　 　 ． 9．（2025春•西湖区期末）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　 　 环． 10．（2025春•西湖区校级月考）有一列数2，3，4，4，6，若增加一个整数m后，中位数仍不变，则m的值可以是　 　 （写出一个即可）． 11．（2026•浙江模拟）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表． 第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表 竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10 人数（人） 2 1 13 16 18 请根据以上信息，回答下列问题： （1）两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？ （2）求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分． 题型二．众数 1．（2025•丽水一模）一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．85，95 B．85，90 C．90，95 D．90，90 2．（2025•义乌市二模）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 3．（2025春•南湖区校级期中）有两位同学正在讨论他们班的视力情况，王同学：“我们班有一半的同学视力在5.0以上，一半的同学不到5.0”，李同学：“我们班大部分的同学视力都是4.9”，上面两位同学所说的话分别针对（　　） A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、平均数 D．平均数、中位数 4．（2025•大理州一模）在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（　　） A．98，97 B．98，96 C．96，98 D．96，97 5．（2025春•临平区月考）如图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（　　） A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15 6．（2025春•北仑区期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 A．10 B．9 C．8 D．7 7．（2025春•鄞州区期末）某线上自习室统计了9名学生自主设置的“专注模式”时长数据（单位：分钟）：30，40，40，55，40，40，95，40，25．若平台想推荐默认时长，那么最合适的方式是（　　） A．把众数40分钟作为默认时长 B．把最少时间25分钟作为默认时长 C．把平均数45分钟作为默认时长 D．把最长时间95分钟作为默认时长 8．（2025•鄞州区校级模拟）小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8 9．（2025春•宁波期中）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $