精品解析：江苏省泰兴市西城初级中学2021-2022学年九年级3月质量监测数学试题

九年级数学质量监测试题卷 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 在、、、、、这六个数中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若实数a的相反数是，则a倒数的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 八年级（1）班30名学生的身高情况如下表： 身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.55 1.65 1.70 人数 x y 6 8 5 3 1 关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　） A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 5. 定义运算：．方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 在抛物线（为常数）上有两个点，，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二．填空题（每题3分，共30分） 7. 0.00000203用科学记数法表示为____． 8. 小明沿着坡度为的山坡向下走了，则他下降了_________． 9. 如果，，，那么的值为 _____． 10. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走__________米才最理想． 11. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 13. 把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是_____． 14. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为_____． 15. 已知抛物线 与 轴只有一个公共点．若公共点坐标为，则，满足的等量关系式是_______． 16. 如图，将一块等腰的直角顶点C放在上，绕点C旋转三角形，使边经过圆心O，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为_____． 三．解答题（共102分） 17. 计算和解方程 （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再求值 其中满足． 19. 疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为A，B．C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园后，利用树状图或列表法求恰好选择不同通道测温进校园的概率． 20. 设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2x+2c—a=0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx—3m=0的两根，求m的值. 21. 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． （1）请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ （2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些；  ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些；  ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 22. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 23. 如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地． （1）求A地与电视塔P的距离； （2）求C地与电视塔P的距离． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 25. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝3． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方，连接MO、MB，并把△MOB沿BO翻折，得到四边形MOM'B，那么是否存在点，使四边形MOM'B为菱形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过抛物线顶点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不与A、D两点重合），直线PC、PA与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 26. 定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，完成下面的问题； ①当，时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是_________； ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是_________． （2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为．直接写出点随线段BC运动所走过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量监测试题卷 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 在、、、、、这六个数中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各数，再根据无理数的定义判断无理数个数，初中常见无理数为开方开不尽的数、含的数、无限不循环小数． 【详解】解：，是整数，属于有理数． 是分数，属于有理数． 是有限小数，属于有理数． 是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数． ，开方开不尽，故是无理数． 是无理数，因此是无理数． ∴无理数共有3个． 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可通过设比例系数的方法，将、用同一参数表示后，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴设（） 可得， 将，代入得 3. 若实数a的相反数是，则a倒数的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数、倒数、算术平方根的定义，按照定义依次计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 实数a的相反数是， 根据相反数的定义，可得， ∴ a的倒数为， ∵ 算术平方根是非负数的正平方根， ∴ 的算术平方根为． 4. 八年级（1）班30名学生的身高情况如下表： 身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.55 1.65 1.70 人数 x y 6 8 5 3 1 关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　） A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据总人数确定x+y的值，然后根据表中数据确定众数和中位数即可得出结论． 【详解】解：由表格可得，x+y=30-6-8-5-3-1=7＜8， 重复次数最多的数据是1.53， 所以众数是1.53， 根据中位数定义30个数据中从小到大排列，处于15和16两个位置上的数据的平均数 第15，第16个数据都是1.53， 中位数也是1.53， 所以众数和中位数不会随着x、y的变化而变化． 故选：A 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是确定原数据的中位数及众数． 5. 定义运算：．方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 【详解】解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选：C ． 6. 在抛物线（为常数）上有两个点，，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题先求出抛物线的对称轴和开口方向，再利用二次函数的增减性判断与的大小关系 【详解】解：抛物线 中 ， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为： ， 当时，随的增大而减小， 又， ． 二．填空题（每题3分，共30分） 7. 0.00000203用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000203用科学记数法表示为2.03×10−6， 故答案为：2.03×10−6． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8. 小明沿着坡度为的山坡向下走了，则他下降了_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度的定义，设下降高度为未知数，表示出水平宽度，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设小明下降的高度为， ， 水平宽度为， 根据勾股定理得： ， 整理得， ， 解得. 9. 如果，，，那么的值为 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】设根据题意得到各图形之间的等量关系，利用等式代换，用x表示出★与□，再计算的值即可． 【详解】解：设 ∵， ∴， ∵，即， ∴． 10. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走__________米才最理想． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义分两种情况计算主持人到黄金分割点的距离，然后利用作差法比较大小后得到最小距离即可． 【详解】解：设主持人现在站在处，应至少再走米才最理想，，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得（负值已舍去）； 若是与的比例中项， 则，即， 解得（负值已舍去）； ， ， 他应至少再走米才最理想． 11. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 【答案】上 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到的值，再求出圆的半径，比较后判断即可． 【详解】解：， 解得或， ∵点到圆心的距离为方程的一个根， ∴， ∵的直径是， ∴的半径 ， ∴， ∴点在上． 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径， 故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 13. 把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是_____． 【答案】 【解析】 【分析】关键是先求得圆锥的底面半径；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形；圆锥的侧面展开图的弧长圆锥底面周长．利用扇形的弧长公式可得圆锥侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥的高． 【详解】解：半径为的半圆围成一个圆锥的侧面， 圆锥的侧面展开图的弧长为， 圆锥的底面周长为， 圆锥底面的半径为， 圆锥的高为：． 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形． 过点作轴交轴于点，则，由线段的比例关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义可得结果． 【详解】解：过点作轴交轴于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， 故， 解得． 15. 已知抛物线 与 轴只有一个公共点．若公共点坐标为，则，满足的等量关系式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与轴只有一个公共点，可得抛物线对称轴为直线，且对应一元二次方程有两个相等的实数根，结合对称轴公式和根的判别式即可推导，的等量关系式． 【详解】解：抛物线与轴只有一个公共点， 该抛物线对称轴为直线，且方程有两个相等的实数根， ， 由①可得：， 把代入②得：， ， ． 16. 如图，将一块等腰的直角顶点C放在上，绕点C旋转三角形，使边经过圆心O，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，作，根据垂径定理得到，用表示，在等腰中求，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过O点作， ∴， 设，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或． 故的长为6． 三．解答题（共102分） 17. 计算和解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式除法，零指数幂和负整数指数幂，接着化简绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 先化简，再求值 其中满足． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子与分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后解方程求出x的值，结合分式有意义的条件确定x的值并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得或， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 当时，原式， 当时，原式． 19. 疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为A，B．C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园后，利用树状图或列表法求恰好选择不同通道测温进校园的概率． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，有9个结果，其中恰好选择不同通道测温进校园的可能结果有６种， 恰好选择不同通道测温进校园的概率． 20. 设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2x+2c—a=0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx—3m=0的两根，求m的值. 【答案】m=-12. 【解析】 【分析】由方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根，可得△=0，把对应的值代入△=0中整理即可得到a+b=2c之间的关系式，从而得a=b=c，进而可以判断方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，通过△=0即可求得m的值． 【详解】∵方程x2+2x+2c-a=0 有两个相等的实数根， ∴△=0， 即：4b-4×（2c-a）=0， ∴a+b-2c=0， 即a+b=2c， ∵a、b、c是等腰△ABC的三条边， ∴a=b=c． ∵a、b为方程x2+mx-3m=0的两根， ∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根， ∴m2-4×（-3m）=0，解得m=-12或m=0（舍去）． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式．解题关键在于掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 21. 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． （1）请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ （2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些；  ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些；  ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 【答案】（1）见解析 （2）①甲；②乙；③选乙；理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据方差公式、中位数的定义以及算术平均数的计算方法进行计算即可得解； （2）①在平均数相等的情况下，方差小的成绩稳定，比较方差可得结论； ②在平均数相等的情况下，中位数大的成绩好，比较中位数可得结论； ③根据数据特征、折线图的趋势和命中9环以上的次数来进行综合判断，继而选出参赛队员． 【小问1详解】 解：甲的方差 乙的中位数：， 平均数 方差 中位数 甲 乙 【小问2详解】 解：①从平均数和方差相结合的角度上看，甲的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，乙的成绩好些； ③选乙； 理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，应选乙． 22. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大． 【解析】 【分析】（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可； （2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【详解】解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 所以，甲种图书售价为每本元， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元． （2）设甲种图书进货本，总利润元，则 ． 又∵， 解得：． ∵随的增大而增大， ∴当最大时最大， ∴当本时最大， 此时，乙种图书进货本数为（本）． 答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键． 23. 如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地． （1）求A地与电视塔P的距离； （2）求C地与电视塔P的距离． 【答案】（1）AP=；（2）6 【解析】 【分析】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3； （2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案． 【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°， 过点B作BE⊥AP于点E，如图， 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°， ∴AE=BE， ∵， ∴AE=BE=3， 在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°， ∴PE=， ∴AP=AE+PE=； （2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°， ∴BP=， 又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6， ∴△BCP是等边三角形， ∴CP=BP=6． 【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、三角形的中位线、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）有切点，需连半径，证明垂直，即可； （2）求阴影部分的面积要把它转化成，再分别求解这两部分的面积即可． 【小问1详解】 解：连接、，如下图所示： ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， 由于 ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）得为的角平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴ 25. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝3． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方，连接MO、MB，并把△MOB沿BO翻折，得到四边形MOM'B，那么是否存在点，使四边形MOM'B为菱形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过抛物线顶点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不与A、D两点重合），直线PC、PA与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3 （2）存在，M点的坐标为 （3）是，EF+EG＝8（或EF+EG是定值） 【解析】 【分析】（1）根据OA＝1，OB＝3，OC＝3可得到点A、B、C的坐标，将三个点坐标代入函数解析式即可； （2）根据菱形的性质可知BO与MM'互相垂直且平分，则OB的中点纵坐标为点M的纵坐标，点M在抛物线上，将点M的纵坐标代入函数解析式即可求得点M的坐标； （3）结合题意，得出△CEF∽△CPQ，△APQ∽AGE，分别表示出EF和GE的长，再求和即可解答． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵OA＝1，OB＝3，OC＝3 ∴A（1，0）、B（0，3）、C（﹣3，0）， ，得， ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； 【小问2详解】 存在， 理由为：存在点M，使四边形MOM'B为菱形， 设M点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， 若使四边形MOM'B是菱形，则需要满足BO与MM'互相垂直且平分， 取BO中点H，作MH⊥BO，则点M为所求， ∵OB＝3， ∴OH＝BH， ∴﹣x2﹣2x+3， 解得，（舍去），， ∴M点的坐标为； 【小问3详解】 EF+EG＝8（或EF+EG是定值）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，点D是该抛物线的顶点， ∴点D的坐标为（﹣1，4）， ∴CE＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2， 过点P作轴交x轴于点Q，如图2所示： 设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t﹣（﹣3）＝3+t，AQ＝1﹣t， ∵， ∴△CEF∽△CPQ， ∴， ∴EF 2（1﹣t）， ∵， ∴△APQ∽AGE， ∴， ∴GE 2（t+3）， ∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8， 即EF+EG是定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，三角形相似的性质和判定，仔细理解题意，灵活运用题目条件，具有数形结合思想是解题的关键． 26. 定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，完成下面的问题； ①当，时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是_________； ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是_________． （2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为．直接写出点随线段BC运动所走过的路径长． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）过点作于，根据定义求得的最小值即可； （3）根据定义作出图形，点随线段BC运动所走过的路径长等于点走过的路程，即半径为的圆周加上2的长加上的长． 【小问1详解】 解：① ，， 当，， , 根据定义可知，的长即为线段BC与线段OA的“冰雪距离” 故答案为： ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是， 由①可知到线段的距离为 的最小值为的纵坐标减2，最大值为的纵坐标 故答案为： 【小问2详解】 根据题意，点B落在圆心为A，半径为的圆上 当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d， 根据图象可知点在的上半圆运动，过点作于，根据定义可知，当点在线段上时，，当不在线段上时， 则当位于与轴的切点位置时，最小，如图， 最小值为 即的最小值为1 【小问3详解】 依题意，的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，依题意，的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，如图 线段BC的中点为．点随线段BC运动所走过的路径长等于点走过的路程， 即， 即半径为的圆周加上2的长加上2OA． 【点睛】本题考查了新定义，点到直线的距离，平面直角坐标系中两点距离，勾股定理，理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $