11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第十一章 立体几何初步 11.1　空间几何体 z 1.理解祖暅原理的内容. (数学抽象) 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式. (逻辑推理) 3.能够运用柱、锥、台和球的体积公式求简单几何体的体积. (直观想象) 学习目标 z 1.两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的体积有何关系? 2.等底等高的锥体的体积有何关系? 新课导入 z 继续探究: (1)正方体、长方体、圆柱的体积与这些几何体的哪些量有关? 提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关. (2)如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等,那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系? 提示:底面积和高相同的锥体与柱体的体积关系为: V锥体= V柱体. 新课导入 z 【概念生成】 1.祖暅原理 (1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积_______,那么这两个几 何体的体积一定_____”. (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积_____. 总相等 相等 相等 新课导入 z 2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径. 新课导入 z 新课导入 z 新课导入 z 探究点一　柱体、锥体、台体的体积 【典例1】如图所示三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比. 【思维导引】AB∶A1B1=1∶2→S△ABC∶ =1∶4→ 课题探究 z 【解析】设棱台的高为h,S△ABC=S, 则 =4S. 所以 S△ABC·h= Sh, 又V台= h(S+4S+2S)= Sh, 所以 所以三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4. 课题探究 z 求常见几何体体积的方法及注意的问题 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解. ②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算. 课题探究 z 探究点二　等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求三棱锥A-DED1的体积. 【思维导引】将求三棱锥A-DED1的体积转化为求三棱锥E-DD1A的体积. 【解析】 课题探究 z 【延伸探究】若本例题条件不变,求点A到平面A1BD的距离d. 【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=1,A1B=BD=A1D= , 因为 所以 所以d= . 课题探究 z 几何体体积的计算方法 (1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离. 课题探究 z 探究点三　求球的体积 【典例3】过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3 cm,求球的体积和表面积. 【思维导引】解决本题要充分利用已知条件,尤其是球半径,截面圆半径和球心距构成的直角三角形. 课题探究 z 【解析】如图,设过A,B,C三点的截面为圆O′,连接OO′,AO,AO′. 因为AB=BC=CA=3 cm, 所以O′为正三角形ABC的中心, 所以AO′= AB= cm. 设OA=R,则OO′= R, 因为OO′⊥截面ABC,所以OO′⊥AO′, 所以AO′= R= cm, 所以R=2 cm,所以V球= πR3= π cm3, S球=4πR2=16π cm2,即球的体积为 π cm3,表面积为16π cm2. 课题探究 z 求球的体积的方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据,球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法. 课题探究 z 1.若一个球的表面积为4π,则这个球的体积是 (　　)　　　　　　　　　　　　 【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= . 当堂检测 z 2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,则该组合体的表面积是________,体积是________.  当堂检测 z 【解析】该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π, 该组合体的体积V= πr3+πr2l= π×13+π×12×3= 答案:10π　 当堂检测 z 3.将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正四棱柱, 则该四棱柱的高为 (　　) A.8 cm B.80 cm C.40 cm D. cm 【解析】选B.设正四棱柱的高为h cm, 依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm). 当堂检测 z 4.若一个球的直径是12 cm,则它的体积为________ cm3.  【解析】由题意,知球的半径R=6 cm, 故其体积V= πR3= ×π×63=288π(cm3). 答案:288π 当堂检测 z 柱、锥、台体与球体的体积公式之间的关系 课堂总结 z $