11.1.3 多面体与棱柱 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.3 多面体与棱柱 z 1.了解多面体的概念及特征. 2.理解棱柱概念及结构特征. 学习目标 z 2 1.观察下列空间几何体: 以上几何体有什么共同特征? 提示:这些物体都是由若干个平面多边形围成的,这些物体统称为多面体. 新课导入 z 2.观察下面的多面体: 它们有什么共同特点? 提示:它们的共同特点是:(1)上、下两个底面是平行的且全等;(2)侧棱长都相等,侧面是平行四边形. 新课导入 z 【概念生成】 1.多面体的有关概念: (1)定义: 一般地,由若干个___________所围成的封闭几何体称为多面体. (2)各部分名称: ①面:围成多面体的各个多边形; ②棱:相邻两个面的_______; ③顶点:棱与棱的公共点. 平面多边形 公共边 新课导入 z ④面对角线:一个多面体中连接_________________的线段,如果不是多面体的 棱,就称其为多面体的面对角线. ⑤体对角线:连接_______________________的线段称为多面体的体对角线. ⑥截面:一个几何体和一平面相交所得的_________(包含它的内部),称为这个 几何体的一个截面. 同一面上两个顶点 不在同一面上的两个顶点 平面图形 新课导入 z 2.棱柱 (1)定义:有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱. 新课导入 z (2)有关概念: ①底面:_________________; ②侧面:_________; ③侧棱:_________________; ④顶点:_____________________. ⑤高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段 (或它的长度)称为棱柱的高. 两个互相平行的面 其他各面 两个侧面的公共边 侧面与底面的公共顶点 新课导入 z (3)棱柱的表示法. 用底面上的顶点来表示.如:如图所示的棱柱可以表示为棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,也可表示为棱柱AD1等. 新课导入 z (4)棱柱的分类. 按底面的_____分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱. ①斜棱柱:侧棱_______于底面的棱柱. ②直棱柱:侧棱_____于底面的棱柱. ③正棱柱:底面是正多边形的_______. 形状 不垂直 垂直 直棱柱 新课导入 z ④平行六面体:底面是___________的棱柱,即平行六面体的六个面都是平行四 边形. ⑤长方体:底面是矩形的_____________. ⑥正方体:棱长都相等的_______. 平行四边形 直平行六面体 长方体 新课导入 z 探究点一　对多面体的识别和判断 【典例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的 几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示. 【思维导引】观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题 课题探究 z 【解析】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱. 因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是平行四边形,且顶点都在这两个面上. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1. 课题探究 z 正确判断几何体类型的方法 要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对于有些四棱柱,互相平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不固定.棱柱的概念中两个面互相平行,指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不同,两个底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满足棱柱的定义. 提醒:判断棱柱的关键是看该几何体是否满足棱柱的概念,特别是看其是否存在两个互相平行的面. 课题探究 z 探究点二　几种常见四棱柱的关系 【典例2】下列说法正确的是 (　　) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 【思维导引】依据棱柱的相关概念判断. 课题探究 z 【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的侧棱相等,但是各条棱不一定都相等,故C错误;棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误. 课题探究 z 几种常见四棱柱的关系 课题探究 z 探究点三　棱柱中的有关计算 【典例3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4.M为AA1的中点,P是BC上一点, 且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为 ,设这条最短路线与CC1的 交点为N.求点P的位置. 【思维导引】把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点P到点C 的距离,即确定了点P的位置. 课题探究 z 【解析】把该三棱柱的侧面展开后如图所示. 设CP=x,则AP=3+x. 根据已知可得方程22+(3+x)2=29.解得x=2(负值舍去). 则点P为BC的三等分点,且靠近点B. 课题探究 z 立体图形的展开问题 解决空间几何体表面上两点间的最短路线问题,一般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学中的转化思想. 课题探究 z 1.在棱柱中,下列说法正确的是 (　　) A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也平行 【解析】选D.长方体也是棱柱,以长方体为例,可知A,B不正确,棱柱的两底面可以是三角形,五边形等,故C不正确. 当堂检测 z 2.下列三种说法中,正确的个数为 (　　) ①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱; ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱; ③棱柱的侧面都是平行四边形. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形,故③正确. 当堂检测 z 3.六面体的体对角线的条数为________.  【解析】以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图,其中体对角线为A1C,D1B,AC1,B1D,共4条. 答案: 4 当堂检测 z 4.一个棱柱至少有________个面;面数最少的棱柱有________个顶点,有________条棱.  【解析】面数最少的棱柱是三棱柱,有5个面,6个顶点,9条棱. 答案: 5　6　9 当堂检测 z 课堂总结 z $