第20章勾股定理综合测试培优卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

（人教2024版）八年级下册数学 《第20章勾股定理》 综合测试培优卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C． D． 2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 3．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60° 4．如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 9．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝　 ． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，连接DE，则DE的长是 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 　 　． 15．如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________. 16．如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是　 　． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60． （1）求BC的长． （2）求斜边AB边上的高． 18．（8分）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 19．（8分）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处． (1)求小凳子顶点A与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 20．（8分）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．    (1)求线段的长； (2)若点E在线段上，，且，求的值； (3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明： 22．（9分）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，求这个三角形的面积． (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 23．（10分）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点． （1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ． （2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示） （3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教2024版）八年级下册数学 《第20章勾股定理》 综合测试培优卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】D． 【分析】首先根据勾股定理，得：斜边13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高． 【详解】解：由题意得，斜边为13．所以斜边上的高＝12×5÷13． 故选：D． 【点睛】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 【答案】A． 【分析】根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2或a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【详解】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴，∠B＝180°60°，∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设a＝x，，c＝2x，且， 即a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60° 【答案】C． 【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里）， AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里， 则此时：AO2+BO2＝AB2， 故△AOB是直角三角形， 则∠BOA＝90°， ∵∠AOD＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∴2号舰的航行方向是：南偏东60°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键． 4．如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个三角形的三条边的长度分别为，根据周长为列出方程并求得三边长度；然后由勾股定理逆定理判定该三角形为直角三角形，由三角形的面积公式作答即可． 【详解】解：设这个三角形的三条边的长度分别为， ∵三角形的周长为， 则， 解得， 则该三角形的三条边的长度分别为， ∵， 则该三角形为直角三角形，两直角边长分别为， ∴面积为: ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程求得三角形的三条边的长度． 5．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数． 【详解】由题意得 ； ； ； ∵ 1≤n≤30， ∴OA3·OAn的值是整数， ∴·OAn的值可以是，， 是整数的有3个． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 7．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得： 即的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【答案】B． 【分析】延长AD到点E，使AD＝DE＝6，通过SAS可证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通过勾股定理逆定理可证明△AEC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可． 【详解】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE＝6， ∴AE＝12， ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CDBC， 在△ABD和△ECD中， ∵， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝5， ∵AE2+CE2＝169， AC2＝169． ∴AC2＝AE2+CE2， ∴△AEC为直角三角形， ∴∠E＝90°， ∴CD， ∴BC＝2CD＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】B． 【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可． 【详解】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝12， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝12，故3x+12y＝12， x+4y＝4， 所以S2＝x+4y＝4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝12求出是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝　 ． 【答案】4π． 【分析】根据△ABC是直角三角形，得出AC2＝AB2+BC2，再结合半圆的面积表达式可判断出S1＝S2+S3，从而可得出S3． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所以AC2＝AB2+BC2， ∴π（）2＝（）2+（）2， 即S1＝S2+S3， 又∵S1＝10π，S2＝6π， 所以S3＝10π﹣6π＝4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查的是勾股定理，注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：S2+S3＝S1，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 【答案】13 【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，连接DE，则DE的长是 　 ． 【答案】. 【分析】证∠ADE＝∠ACB＝90°，再由勾股定理求出AB的长，然后由面积法求出DE的长即可． 【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴∠ACD＝∠ADC，AE是CD的垂直平分线， ∴CE＝DE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB15， ∴BD＝AB﹣AD＝6． ∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE， ∴AC•BCAC•CEAB•DE， ∴9×12＝9CE+15DE， 解得：DE， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 14．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 　 　． 【答案】36． 【分析】先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积． 【详解】解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，AB＝3，DA＝4， 根据勾股定理得，BD5， 在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5， ∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2 ∴△BCD为直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD AB•ADBC•BD 3×412×5 ＝36． 故答案为：36． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形． 15．如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________. 【答案】6或 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理求出的长，即可求出的面积；②当时，设，在Rt中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出的长，进而可求出的面积. 【详解】①当时，E点与C点重合 ∵在中，，， 即 ②如图，当时，设 在Rt中, 在Rt中， 解得 ∴的面积是6或 故答案为：6或 【点睛】本题主要考查了勾股定理和求直角三角形面积，分类讨论是解题的关键. 16．如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是　 　． 【答案】1 【分析】取AC中点F，连接EF，BF，由等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC，由勾股定理可求BF的长，由三角形三边关系可求BE的最小值． 【详解】解：如图，取AC中点F，连接EF，BF， ∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点， ∴AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC ∴BF ∵∠AEC＝90° ∴点E在以AC为直径的圆上， ∴EF＝AF＝1 在△BEF中，BE≥BF﹣EF1 ∴当点E在BF上时，BE的最小值为1 故答案为：1 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，找到BE最小值时点E的位置是本题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60． （1）求BC的长． （2）求斜边AB边上的高． 【答案】（1）6；（2）4.8． 【分析】（1）根据在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，可以计算出AB的长，然后根据勾股定理即可得到BC的长； （2）根据等面积法，可以求得斜边AB边上的高． 【详解】解：（1）∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60， ∴60， 即60， 解得，AB＝10， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， ∴BC6； （2）作CF⊥AB于点F， ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，， ∴， 解得，CF＝4.8， 即斜边AB边上的高是4.8． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（8分）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处． (1)求小凳子顶点A与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)顶点与墙面的距离为； (2)凳子宽的长度为，木杆的长度为． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键． （1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离； （2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长． 【详解】（1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，， 在中，， 即顶点与墙面的距离为； （2）解：延长交墙面于点，可得， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴凳子宽的长度为，木杆的长度为． 20．（8分）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证； （2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．    (1)求线段的长； (2)若点E在线段上，，且，求的值； (3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据即可解决． （2）先证明得，所以即可解决． （3）结论：．只要证明，，在中利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）在中， ∵， ∴． （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）结论：，理由如下： 连接．∵，    ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型． 22．（9分）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，求这个三角形的面积． (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 23．（10分）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【点睛】本题考查了最短路径问题．熟练掌握勾股定理，轴对称性质，矩形判定和性质，实数的运算，是解题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点． （1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ． （2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示） （3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由． 【答案】（1），；（2）S△ABC=3m+8；（3）存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50． 【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于E，由A、B、C点的坐标可得BE=8、OE=8、AO=2、OC=4，最后根据勾股定理解答即可； （2）由0＜m＜8可得点C在OE上，然后根据面积关系求解即可； （3）分∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°三种情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E ∵点A（0，2），点B{8，8），点C（4，0） ∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=4， ∴CE=4， ∴， 故填：，； （2）∵当0＜m＜8 ∴点C在OE上时， ∴A（0，2），点B（8，8），点C{m，0） ∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=m， ∴ ； ∴，S△ABC=3m+8； （3）当∠BAC=90°时，BC2=AB2+AC2，即64+（8-m）2=64+（8-2）2+4+m2，解得m= ∴； 当∠ACB=90°时，AB2=AC2+BC2，则64+（8-2）2=4+m2+64+{8-m）2，解得m=4， ∴； 当∠ABC=90°时，AC2=AB2+BC2，则4+m2=64+（8-2）2+64+{8-m）2，解得m=14， ∴； 综上：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $