第20章 勾股定理单元复习（寒假衔接讲义）（4大全章知识点总结+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

第20章 勾股定理全章复习 知识点1：勾股定理 1.文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即对于Rt△ABC，∠C=90°，有（a、b为直角边，c为斜边）。 2.核心应用：已知直角三角形任意两边，求第三边；求斜边上的高（等面积法）；计算网格中线段长度。 知识点2：勾股定理的逆定理 1.文字语言：若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足，则该三角形为直角三角形。 2.判定步骤：①找最长边；②算平方关系；③验证是否相等，相等则为直角三角形。 知识点3：勾股数与互逆命题 1.勾股数：满足的三个正整数（如3、4、5；5、12、13），其整数倍仍为勾股数。 2.互逆关系：勾股定理与逆定理互为逆定理，前者“形→数”，后者“数→形”。 知识点4：核心思想与应用场景 1.数学思想：方程思想（设未知数列勾股定理方程）、分类讨论思想（未明确斜边或图形位置时）、转化思想（立体图形→平面图形）。 2.应用场景：几何计算（边长、面积）、实际问题（航海、建筑、测量）、图形变换（折叠、拼接）。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用勾股定理求边长 1.核心知识点: 勾股定理定义； 直角三角形边的关系。 2.解题方法技巧: 明确直角边与斜边，直接代入公式计算（如）； 若未明确斜边，先判断最长边，再代入对应公式。 【例题1】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）中，，则的长为 ． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 【题型2】用逆定理判断三角形形状 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理； 最长边的识别。 2.解题方法技巧: 第一步找出三边长中的最长边（设为c）； 计算与，相等则为直角三角形，否则非直角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（    ） A．3，4，5 B．6，12，15 C．7，24，25 D．0.3，0.4，0.5 【变式题2-3】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）满足下列三边长的中，不是直角三角形的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【题型3】勾股数(树)的识别与验证 1.核心知识点: 勾股数的定义（正整数+平方关系）； 勾股数的性质。 2.解题方法技巧: 先判断是否为正整数，再验证平方关系； 对疑似勾股数可缩小整数倍后验证（如6、8、10缩小为3、4、5）。 【例题3】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【变式题3-3】.（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【培优高频题型】 【题型4】折叠问题中的勾股定理应用（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等）； 勾股定理的方程应用。 2.解题方法技巧: 设未知数表示折叠后相等的线段； 以折叠形成的直角三角形为模型，列勾股定理方程求解。 【例题4】.（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【变式题4-1】.（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． ∴． 【题型5】四边形面积计算（分割转化） 1.核心知识点: 勾股定理及逆定理； 四边形面积的分割策略。 2.解题方法技巧: 连接对角线，将四边形分割为两个三角形； 用逆定理判断是否为直角三角形，分别计算面积后求和。 【例题5】.（2023七年级下·江苏·专题练习）如图所示，在中，，，D为外一点，，． (1)求四边形的面积； (2)若D为内一点，其它条件不变，请画出图形并判断四边形的面积是否有变化．若有变化请求出四边形的面积． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·福建福州·期中）某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出： ，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西晋中·月考）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 在中，， 所以． 在中，假设， 根据秦九韶公式，得． 所以． 所以． 【题型6】网格中的综合应用（数形结合） 1.核心知识点: 网格中边长的计算（勾股定理）； 逆定理判定直角三角形。 2.解题方法技巧: 数网格边长，用勾股定理求目标线段长度； 验证三边平方关系，判定图形形状或计算角度。 【例题6】.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山东滨州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边___________． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由25个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)根据（3）的结论，在数轴上画出对应的点 【题型7】勾股定理的应用 1.核心知识点: 勾股定理的实际建模； 方位角/距离的转化。 2.解题方法技巧: 提取情境中的直角关系，构造直角三角形； 确定直角边与斜边的实际长度，代入定理计算。 【例题7】.（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【变式题7-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【压轴素养题型】 【题型8】赵爽弦图变式（文化素养） 1.核心知识点: 赵爽弦图的面积关系； 勾股定理的验证与拓展。 2.解题方法技巧: 利用“大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积”建立等式； 结合题干条件求解边长、面积或角度。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式题8-1】.（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东茂名·月考）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 【题型9】立体图形表面最短路径（转化思想） 1.核心知识点: 立体图形的平面展开； 勾股定理求平面线段长度。 2.解题方法技巧: 将立体图形（长方体、圆柱）展开为平面图形； 确定展开图中两点的位置，构造直角三角形求最短路径。 【例题9】.（24-25八年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【变式题9-1】.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【变式题9-2】.（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式题9-3】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【题型10】新定义问题（素养应用） 1.核心知识点: 勾股定理及逆定理； 新定义的理解与转化（如“垂美四边形”）。 2.解题方法技巧: 解读新定义的本质（如“垂美四边形”即对角线垂直）； 利用勾股定理表示边的平方关系，结合定义求解。 【例题10】.（24-25八年级下·湖南怀化·期中）定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 【变式题10-1】.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形——筝形． 定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形． 性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质： 从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是______； 从边看：筝形有两组邻边分别相等； 从角看：______； 从对角线看：______． 判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明． 方法1：从边看：运用筝形的定义； 方法2：从对角线看：______； 如图，四边形中，______．求证：四边形是筝形． 应用：如图，探索筝形的面积公式______（直接写出结论）． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·贵州·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； 若三角形的三边长分别是，，，则该三角形___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·河南·期末）我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 易错点 1.应用勾股定理时未明确斜边，忽略分类讨论（如已知两边为3、4，漏解斜边为4时的）； 2.误将非正整数组合判定为勾股数（如0.3、0.4、0.5）； 3.立体图形最短路径问题中，遗漏不同的展开方式，导致最短路径求解错误； 4.折叠问题中，未准确识别对应边，列方程时线段关系出错。 重点 1.熟练掌握勾股定理与逆定理的核心应用（求边长、判形状）； 2.能准确识别勾股数及性质，快速验证； 3.学会将实际问题、折叠图形、四边形转化为直角三角形模型； 4.掌握方程思想、分类讨论思想在勾股定理中的应用。 难点 1.复杂情境（如航海、建筑）的数学建模，准确构造直角三角形； 2.立体图形的平面展开与最短路径计算，灵活运用转化思想； 3.含分类讨论的综合题，做到不重复、不遗漏； 4.赵爽弦图等文化背景题型的拓展应用，结合面积关系推导结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 4．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 7．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 8．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为 ． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是： ． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 三、解答题 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 12．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 15．（北京市通州区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 勾股定理全章复习 知识点1：勾股定理 1.文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即对于Rt△ABC，∠C=90°，有（a、b为直角边，c为斜边）。 2.核心应用：已知直角三角形任意两边，求第三边；求斜边上的高（等面积法）；计算网格中线段长度。 知识点2：勾股定理的逆定理 1.文字语言：若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足，则该三角形为直角三角形。 2.判定步骤：①找最长边；②算平方关系；③验证是否相等，相等则为直角三角形。 知识点3：勾股数与互逆命题 1.勾股数：满足的三个正整数（如3、4、5；5、12、13），其整数倍仍为勾股数。 2.互逆关系：勾股定理与逆定理互为逆定理，前者“形→数”，后者“数→形”。 知识点4：核心思想与应用场景 1.数学思想：方程思想（设未知数列勾股定理方程）、分类讨论思想（未明确斜边或图形位置时）、转化思想（立体图形→平面图形）。 2.应用场景：几何计算（边长、面积）、实际问题（航海、建筑、测量）、图形变换（折叠、拼接）。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用勾股定理求边长 1.核心知识点: 勾股定理定义； 直角三角形边的关系。 2.解题方法技巧: 明确直角边与斜边，直接代入公式计算（如）； 若未明确斜边，先判断最长边，再代入对应公式。 【例题1】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长． 【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4， ∴ 斜边长c满足 ， ∴． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）中，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 代入已知值，，即， ∴， 因此． 故答案为：5． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 【题型2】用逆定理判断三角形形状 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理； 最长边的识别。 2.解题方法技巧: 第一步找出三边长中的最长边（设为c）； 计算与，相等则为直角三角形，否则非直角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解． 【详解】解：选项A：，， ， 故选项A不符合题意； 选项B：，， ， 故选项B不符合题意； 选项C：，， ， 故选项C不符合题意； 选项D：，， ， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（    ） A．3，4，5 B．6，12，15 C．7，24，25 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）满足下列三边长的中，不是直角三角形的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理的逆定理判断每组边长是否满足两边的平方和等于第三边的平方，从而确定是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：A.，， 是直角三角形，故不符合题意； B.，， 不是直角三角形，故符合题意； C.，， 是直角三角形，故不符合题意； D.，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 【题型3】勾股数(树)的识别与验证 1.核心知识点: 勾股数的定义（正整数+平方关系）； 勾股数的性质。 2.解题方法技巧: 先判断是否为正整数，再验证平方关系； 对疑似勾股数可缩小整数倍后验证（如6、8、10缩小为3、4、5）。 【例题3】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理的应用是做题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理可知， 正方形与的面积和等于正方形的面积，正方形与的面积和等于正方形的面积，并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积， 因此，四个小正方形A、B、C、D的面积之和为最大的正方形的面积． 最大的正方形的边长是， 最大的正方形的面积为， 即图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 【培优高频题型】 【题型4】折叠问题中的勾股定理应用（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等）； 勾股定理的方程应用。 2.解题方法技巧: 设未知数表示折叠后相等的线段； 以折叠形成的直角三角形为模型，列勾股定理方程求解。 【例题4】.（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中， ∵将长方形纸片沿折叠， ∴，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式题4-1】.（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型5】四边形面积计算（分割转化） 1.核心知识点: 勾股定理及逆定理； 四边形面积的分割策略。 2.解题方法技巧: 连接对角线，将四边形分割为两个三角形； 用逆定理判断是否为直角三角形，分别计算面积后求和。 【例题5】.（2023七年级下·江苏·专题练习）如图所示，在中，，，D为外一点，，． (1)求四边形的面积； (2)若D为内一点，其它条件不变，请画出图形并判断四边形的面积是否有变化．若有变化请求出四边形的面积． 【答案】(1)四边形的面积36 (2)有变化；四边形的面积24 【分析】（1）由勾股定理可求，进而推出是直角三角形，所以四边形的面积； （2）先画出图形，由图可知四边形的面积． 【详解】（1）解： ，，， ， ，， ， 是直角三角形， 四边形的面积 ； （2）解：有变化；如图所示， 同（1）可证，是直角三角形， 故四边形的面积 ． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，能够根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解题的关键． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·福建福州·期中）某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出： ，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据该饰品部件平面图的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴该饰品部件平面图的面积 ， 答：该饰品部件平面图的面积为． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西晋中·月考）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)I．；II． (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）I．直接代入海伦公式计算即可； II．直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出的长度，进而求出的面积，再利用秦九韶公式算出的面积，两者相加即可． 【详解】（1）I．三角形的三边长分别为7，8，9， 假设，根据海伦公式，得． 所以该三角形的面积 II．三角形的三边长分别为， 假设， 根据秦九韶公式，得． 所以该三角形的面积 （2）如图，连接． 在中，， 所以． 在中，假设， 根据秦九韶公式，得． 所以． 所以． 【题型6】网格中的综合应用（数形结合） 1.核心知识点: 网格中边长的计算（勾股定理）； 逆定理判定直角三角形。 2.解题方法技巧: 数网格边长，用勾股定理求目标线段长度； 验证三边平方关系，判定图形形状或计算角度。 【例题6】.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据全等三角形的判定判定即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴ ， 同理可得， ， ， ∴这样的“好点”的个数为， 故选∶． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山东滨州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形，即边长为，据此即可画出图形； （3）根据得到与的小数部分，代入，进行求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴（负值已舍去）， 故答案为：； （2）解：如图，四边形是边长为的格点正方形， ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵a是的小数部分，b是的小数部分， ∴，， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【答案】(1)角边角 （ASA）；全等三角形的对应边相等 (2)详见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据全等三角形的判定方法与全等三角形的性质可得答案； （2）令 与 交于点 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论； （3）如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 【详解】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2）解：令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键. 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边___________． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由25个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)根据（3）的结论，在数轴上画出对应的点 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格、勾股定理与实数等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接运用勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理画图即可； （3）根据勾股定理画图即可； （4）如图：过原点作，以数轴上的3为圆心A，以为半径画弧，与x轴交点C即为所求． 【详解】（1）解：如图：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴画出边长为的格点正方形如下： （3）解：∵， ∴画出边长为的格点正方形如下： （4）解：如图：点C即为所求． 【题型7】勾股定理的应用 1.核心知识点: 勾股定理的实际建模； 方位角/距离的转化。 2.解题方法技巧: 提取情境中的直角关系，构造直角三角形； 确定直角边与斜边的实际长度，代入定理计算。 【例题7】.（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【压轴素养题型】 【题型8】赵爽弦图变式（文化素养） 1.核心知识点: 赵爽弦图的面积关系； 勾股定理的验证与拓展。 2.解题方法技巧: 利用“大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积”建立等式； 结合题干条件求解边长、面积或角度。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的基础知以及三角形中线的性质等知识，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得，同理可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东茂名·月考）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据四边形的面积的求法一：，四边形的面积的求法二：，即可求解； （2）①设，则，根据勾股定理列方程即可求解；②在上取一点，使得，连接，结合等腰三角形的判定与性质可推出，，证明得到，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， 即， ，， 四边形的面积的求法一：， 四边形的面积的求法二：， ， 化简得； （2）①设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ； ②如图3，在上取一点，使得，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， 又 ，， ， ， ， 在中，． 【题型9】立体图形表面最短路径（转化思想） 1.核心知识点: 立体图形的平面展开； 勾股定理求平面线段长度。 2.解题方法技巧: 将立体图形（长方体、圆柱）展开为平面图形； 确定展开图中两点的位置，构造直角三角形求最短路径。 【例题9】.（24-25八年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式题9-3】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 【题型10】新定义问题（素养应用） 1.核心知识点: 勾股定理及逆定理； 新定义的理解与转化（如“垂美四边形”）。 2.解题方法技巧: 解读新定义的本质（如“垂美四边形”即对角线垂直）； 利用勾股定理表示边的平方关系，结合定义求解。 【例题10】.（24-25八年级下·湖南怀化·期中）定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，设，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）证明：过点作，垂足为，在上截取，连接， 是的垂直平分线， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 为“类勾股三角形”． 【变式题10-1】.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形——筝形． 定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形． 性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质： 从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是______； 从边看：筝形有两组邻边分别相等； 从角看：______； 从对角线看：______． 判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明． 方法1：从边看：运用筝形的定义； 方法2：从对角线看：______； 如图，四边形中，______．求证：四边形是筝形． 应用：如图，探索筝形的面积公式______（直接写出结论）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了筝形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是：读懂题意理清关系，用数学的语言合理的叙述．理解筝形的定义是解答本题的关键． 性质：根据图形及定义可以得出结论； 判定：结合图形与筝形的性质，可得出判定定理．利用线段垂直平分线的性质和勾股定理证明即可； 应用：拆分筝形成两个三角形即可得出结论． 【详解】解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线， 从角看：筝形只有一组对角相等； 从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分， 判定：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分， 如图，四边形中，垂直平分于O点，且， 证明：按照题意，画出图形1， ∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由筝形定义得，四边形是筝形， 应用：筝形面积为对角线乘积的一半， ∵ ， ∴筝形面积为对角线乘积的一半． 故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；垂直平分于O点，且． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·贵州·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； 若三角形的三边长分别是，，，则该三角形___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)是； 是； (2)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、实数的混合运算、勾股定理，解决本题的关键是根据新定义运算进行判断． 根据等边三角形的三边都相等可知等边三角形是“可爱三角形”； 根据运算可得，可以判断这个三角形是“可爱三角形”； 根据是可爱三角形，，，可知，根据“可爱三角形”的定义分两种情况进行讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时； 【详解】（1）设等边三角形的三边长分别是、、， ， 等边三角形是“可爱三角形”， 故答案为：是； ，，， 其中， ， 这个三角形是“可爱三角形”， 故答案为：是； （2）解：在中，， ， ， ， ， 是可爱三角形， 当时，， 可得：， 解得：； 当时，， 可得：， 解得：， 综上所述，若是可爱三角形，则的长度为或． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·河南·期末）我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 【答案】(1)，且平分 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）：根据，，得到垂直平分； （2）利用线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）求得，的长，根据图形，得，解答即可． （4）连接，过点O作于点K，得到，证明，设，则，，，利用勾股定理，解方程求解即可． 【详解】（1）解：根据，， 故垂直平分， 故答案为：，且平分． （2）证明：如图，连接，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且平分． （3）解：筝形中，，，， ∴，， ∴， ∵筝形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （4）解：如图，连接，过点O作于点K， ∵筝形中，，，对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了筝形的定义和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握定义，勾股定理，正三角形的性质是解题的关键． 易错点 1.应用勾股定理时未明确斜边，忽略分类讨论（如已知两边为3、4，漏解斜边为4时的）； 2.误将非正整数组合判定为勾股数（如0.3、0.4、0.5）； 3.立体图形最短路径问题中，遗漏不同的展开方式，导致最短路径求解错误； 4.折叠问题中，未准确识别对应边，列方程时线段关系出错。 重点 1.熟练掌握勾股定理与逆定理的核心应用（求边长、判形状）； 2.能准确识别勾股数及性质，快速验证； 3.学会将实际问题、折叠图形、四边形转化为直角三角形模型； 4.掌握方程思想、分类讨论思想在勾股定理中的应用。 难点 1.复杂情境（如航海、建筑）的数学建模，准确构造直角三角形； 2.立体图形的平面展开与最短路径计算，灵活运用转化思想； 3.含分类讨论的综合题，做到不重复、不遗漏； 4.赵爽弦图等文化背景题型的拓展应用，结合面积关系推导结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴的周长． 故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形即可得答案． 【详解】解：A．∵， ∴最大角为，故不是直角三角形，符合题意， B．∵， ∴设，，，则，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 7．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其判定定理，连接，可证明垂直平分，得到，则可推出当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，可证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，将问题转化为求，先过点作于A，得出为的中点，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于A，如图： 由题意知：， ， 由对称性知，点是点P的像，关于对称，则P与之间的距离为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 可根据正方形的性质和全等三角形的判定证明，则，，由勾股定理，结合线段中点定义可求得，，， 同理可得，然后根据三角形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为5，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则，， 同理可得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：15． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是： ． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形． 在上截取，在上截取，连接，证明，则，，由，得，则，可得．故正确；由，通过角度关系，可得，故正确；先证，可得，．由等腰三角形的判定和性质，可得的周长比的周长大3．故正确；设，由勾股定理可得，可求，，则可得，故正确． 【详解】解：在上截取， ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ， ．故正确； 平分， ． ， ． ， ， ， ． 即，故正确； 在上截取，连接， 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ． 的周长为，的周长为， 的周长比的周长大3．故正确； ， ． ． ，， ． 设， ． ，， ． ，， ． ． 解得，即． ． ．故正确． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，建立适当的直角坐标系是解题的关键． （1）先根据球员A，球员C的坐标建立直角坐标系即可； （2）由（1）中直角坐标系确定球员B的坐标即可； （3）利用勾股定理即可求得距离． 【详解】（1）解：∵球员A的位置为，球员C的位置为， ∴以点A所在的直线上方1个单位的直线为x轴，点C所在直线为y轴建立直角坐标系， 如图所示，平面直角坐标系即为所求： （2）解：由（1）图象可知，此时球员B的坐标为． （3）解：∵，， ∴． 12．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2） ，， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 15．（北京市通州区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可． 【详解】解：证明：连接， ∵，于点， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵与交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $