精品解析：天津市滨海新区塘沽第二中学2025--2026学年下学期九年级数学收心练习卷

塘沽二中2025——2026学年度第二学期九年级数学学科 一、选择题： 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 6 D. 9 2. 下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）． A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 5. 化简的结果是（　　） A. a B. a+1 C. a﹣1 D. a2﹣1 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2 7. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在边上，点，，在一条直线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 计算的结果等于______. 14. 计算的结果等于_________． 15. 有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________． 16. 一次函数的图像不经过第__________象限. 17. 已知二元一次方程组，则的值为________． 18. 如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于__________． 三、解答题： 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________ 20. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的的值为 ； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （3）若该校八年级学生有人，估计参加社会实践活动时间大于天的学生人数． 21. 已知是的直径，过圆上一点作的切线，与的延长线交于点，弦与交于点，连接，，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若，弦，求弦的长． 22. 如图，小丽瞭望远处的建筑物．已知小丽的高度为1.6米，在点M处测得建筑物最高点A的仰角为，沿方向前进24米到达点N处，测得点A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：，，）． 23. 李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 600 1500 （2）填空： ①李磊家到学校的路程是______； ②李磊在文具店停留了______； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是______米/分钟； （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． （4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案） 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； （3）如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽二中2025——2026学年度第二学期九年级数学学科 一、选择题： 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】两个有理数相除，异号得负，据此解题． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2. 下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，本选项错误； B是轴对称图形，本选项正确； C不是轴对称图形，本选项错误； D是轴对称图形，本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合． 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的意义判断即可． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是 ， 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键． 4. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】估算出的大小即可确定答案． 【详解】∵， ∴， ∴估计的值在4和5之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是关键． 5. 化简的结果是（　　） A. a B. a+1 C. a﹣1 D. a2﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】先把原式转化成同分母的分式，然后相加，运用平方差公式把分子因式分解，然后分子分母同时除以公因式（a-1）即可. 【详解】解：原式= ， 故本题答案为：B. 【点睛】分式的化简是本题的考点，运用平方差公式把分子进行因式分解找到分子分母的公因式是解题的关键. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 7. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，有反比例函数解析式得出反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， ， 故选：D． 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 11. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在边上，点，，在一条直线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由旋转的性质得出，，，，，，即可判断A；由等边对等角即可判断C；由等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理即可判断D，由已知条件不能推出，即可判断B，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把以点为中心逆时针旋转得到， ，，，，，，故A错误，不符合题意； ，，故C错误，不符合题意； ，， ， ， ， ，故D正确，符合题意； 由已知条件不能推出，故B错误，不符合题意； 故选：D． 12. 如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 二、填空题 13. 计算的结果等于______. 【答案】x. 【解析】 【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【详解】=x . 故答案为x. 【点睛】此题考查积的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 14. 计算的结果等于_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： = =13-16 =-3 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用平方差公式是解答此题的关键． 15. 有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答． 解答：解：在8只型号相同的杯子中， 一等品有5只， 则从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P=． 故答案为． 16. 一次函数的图像不经过第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数经过或不经过的象限． 【详解】解： 一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键，，图像经过第一、二、三象限；，图像经过第一、三、四象限；，图像经过第一、二、四象限；，图像经过第二、三、四象限． 17. 已知二元一次方程组，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】方程组两方程相加后再在左右两边同除以3，求出所求即可． 【详解】解：， ①+②得：3x-3y=6， 左右同除以3得：x-y=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18. 如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点F作，交DE于H，过点C作，交的延长线于M，连接，先证明是的中位线，得，再证明，得，在中计算和的长，再证明是中位线，可得的长，由勾股定理可得的长，从而得结论． 【详解】如图，过点F作，交于H，过点C作，交的延长线于M，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 三、解答题： 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________ 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解即可； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可； （4）找出公共部分，写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 移项得， 合并同类项得，， 系数化1得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的的值为 ； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （3）若该校八年级学生有人，估计参加社会实践活动时间大于天的学生人数． 【答案】（1） ；（2）这组样本数据的众数为，这组样本数据的中位数为，这组数据的平均数是；（3）该校名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于天的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为5；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位置处于中间的是两个数都是6，从而可得中位数为6；求出数据的总和再除以80即可得到平均数； （3）利用样本估计总体的方法可得该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，然后可得答案． 【详解】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷10%=40， m%=100%-25%-35%-10%-10%=20%， 则m=20， 故答案为：40，20． （2）∵在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多， 这组样本数据的众数为： 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是， 有 这组样本数据的中位数为. 观察条形统计图， 这组数据的平均数是 （3）在名学生中，参加社会实践活动的时间大于天的人数比例为， 由样本数据， 估计该校200名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于天的人数比例约为， 于是，有 该校名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于天的人数约为人． 【点睛】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 21. 已知是的直径，过圆上一点作的切线，与的延长线交于点，弦与交于点，连接，，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若，弦，求弦的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质定理推出，由圆周角定理得到，求出，得到，即可证明． （2）连接，由含角的直角三角形的性质推出，得到，由含角的直角三角形的性质得到，再由勾股定理得出，最后由垂径定理得到. 【小问1详解】 证明∶如图①，连接， ∵切圆于B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【小问2详解】 如图②，连接， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练切线的性质和圆周角定理． 22. 如图，小丽瞭望远处的建筑物．已知小丽的高度为1.6米，在点M处测得建筑物最高点A的仰角为，沿方向前进24米到达点N处，测得点A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：，，）． 【答案】建筑物的高度为17.6米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．如图，延长交于点E，则，米，米，设米，则米，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， 由题意，得，米，米， 设米， ∵， ∴米， 米， 在中，， 米， ， 解得， （米）， 建筑物的高度为17.6米． 23. 李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 600 1500 （2）填空： ①李磊家到学校的路程是______； ②李磊在文具店停留了______； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是______米/分钟； （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． （4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案） 【答案】（1）1200，600 （2）①1500；②4；③450． （3） （4）她在途中遇到李磊时是离开家分钟或分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据函数图象提供的信息求出解析式． （1）直接根据函数图象提供的信息填写即可； （2）根据图象可以看出，①李磊家到学校的距离为；②在文具店停留时，路程不变时间在变，从第8分钟到第12分钟，共计4分钟；③从文具店到学校用了2分钟，路程是900米，利用求出； （3）分三段，当，，时，逐一分析求解即可； （4）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 1200 600 600 1500 【小问2详解】 ①由图像可知，李磊家到学校的路程是； ②李磊在文具店停留了； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是（米/分钟）； 故答案为：①1500；②4；③450． 【小问3详解】 从图中可以看出，在时，图象分为三段． 当时，设函数解析式为， 由图得， 解得， ∴， 当时， 图象为平行于x轴的线段，所以． 当时，设函数解析式为， 由图得， 解得 ∴． 综上所述，． 【小问4详解】 设王淼在途中遇到李磊时是离开家x分钟，根据题意得： 或， 解得或， 即她在途中遇到李磊时是离开家分钟或分钟． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； （3）如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，． （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可； （2）先求解直线为，证明，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形，求解，，可得，可得，如图，设，，，则，作关于轴的对称点，连接，则的最小值为的长，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； 【小问2详解】 把代入可得， ∴， 设直线为，把代入可得：， ∴直线为， ∵，， ∴，， ∵，则轴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴． 【小问3详解】 如图，过作轴于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，而， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 如图，设，，， 则， 作关于轴的对称点，连接， ∴的最小值为的长， ∴最小值为： ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $